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Posts Tagged ‘Matemática egipcia’

Los papiros egipcios dan cuenta de una tradición matemática estrechamente ligada a la práctica de la contabilidad y a actividades de prospección de los escribas. De vez en cuando los escribas se relajaron un poco: a modo de ejemplo un problema (el Problema 79 del Papiro Rhind) busca el total de siete casas, siete gatos por casa, siete ratones por gato, siete espigas de trigo por ratón, y siete hekat de granos por espiga (resultado: 19.607). Ciertamente el interés del escriba por las progresiones va más allá de las consideraciones prácticas. Aparte de esto, sin embargo, la matemática egipcia cae firmemente dentro de la gama práctica.

 Aun teniendo en cuenta la escasez de documentación que sobrevive, el logro egipcio en la matemática debe ser visto como modesto. Sus características más notables son la competencia y continuidad. Los escribas lograron calcular la aritmética y la geometría básica necesaria para sus funciones oficiales en tanto administradores civiles, y sus métodos persistieron con pocos cambios evidentes durante al menos un milenio, tal vez dos. De hecho, cuando Egipto cayó bajo la dominación griega en el período helenístico (desde el siglo III a.C. en adelante), los métodos de la antigua escuela perduraron. Muy notablemente, los antiguos métodos de las fracciones unitarias son todavía prominentes en papiros egipcios escritos en los idiomas demótico (Egipto) y griego hasta el siglo VII, por ejemplo.

La matemática egipcia dejó un legado en la emergente tradición matemática griega entre los siglos IV y VI a.C. Debido a que la documentación de este período es limitada, la forma y el significado de esta influencia sólo puede conjeturarse. Sin embargo, el informe sobre Tales y la medida de la altura de las pirámides es sólo uno de los varios relatos de intelectuales griegos que aprendieron de los egipcios. Herodoto y Platón describen con aprobación prácticas egipcias en la enseñanza y la aplicación de la matemática. Esta evidencia literaria tiene apoyo histórico, ya que los griegos mantuvieron operaciones comerciales y militares continuas con Egipto desde el siglo VII a.C. en adelante. Por tanto, es plausible que los precedentes básicos para la matemática inicial griega, como la forma en que abordaron las fracciones  o las medidas de áreas y volúmenes, o el uso de proporciones semejantes en relación con las figuras, provengan de la ciencia de los antiguos escribas egipcios.

A modo de resumen de las últimas entradas donde se reseñaron la matemática en Mesopotamia y Egipto…

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Los problemas geométricos en los papiros buscan medir figuras, como rectángulos y triángulos de una base y altura determinada, por medio de operaciones aritméticas adecuadas. En un problema más complicado, se busca un rectángulo cuya área es 12 y cuya altura es 1/2+1/4 veces su base (Problema 6 del  Papiro de Moscú). Para resolver el problema, la razón se invierte y se multiplica por el área, dando 16. La raíz cuadrada del resultado (4) es la base del rectángulo, y 1/2+1/4 veces 4, es decir 3, es la altura. Todo el proceso es análogo al proceso de resolución de la ecuación algebraica para este problema (que en notación moderna es x\times 3/4\ x=12), aunque sin el uso de una letra para la incógnita. Un interesante procedimiento se utiliza para encontrar el área del círculo (Problema 50 del papiro Rhind): se descarta 1/9 del diámetro, y el resultado se eleva al cuadrado. Por ejemplo, si el diámetro es 9, el área resulta igual a 64. El escriba reconoció que el área de un círculo es proporcional al cuadrado de su diámetro y asumió para la constante de proporcionalidad (es decir, para \pi /4) el valor 64/81. Esta es una buena estimación para la época. (Aunque la estimación ahora común de 31/7 fue propuesta por primera vez por Arquímedes.) Pero no hay nada en los papiros que indique que los escribas eran conscientes de que esta regla era sólo una aproximación y que no era exacta.

Un resultado notable es la regla para calcular el volumen de la pirámide truncada (Problema 14 del Papiro Golenischev). El escriba asume la altura como igual a  6, que la base es un cuadrado de lado 4 y que la parte superior es un cuadrado de lado 2. Multiplica un tercio de la altura por  28, encontrando el volumen igual a 56; el 28 viene a partir de 2\times 2+2\time 4+4\time 4. Puesto que esto es correcto, se puede suponer que el escriba también sabía la regla general: A=(h/3)(a^{2}+b^{2}+ab). Cómo los escribas en realidad derivaron  la regla es un tema de debate, pero es razonable suponer que eran conscientes de las reglas relacionadas, como que el volumen de una pirámide  está dado por un tercio de la altura por el área de la base.

Los egipcios emplearon el equivalente de los triángulos semejantes para medir distancias. Por ejemplo, el seked de una pirámide se expresaba como el número de palmas en la horizontal correspondiente a una altura de un codo (siete palmas). Por lo tanto, si el seked es de 51/4 y la base es de 140 codos, la altura se convierte en 931/3 codos (Problema 57 del Papiro Rhind).

Se dice que el sabio griego Tales de Mileto (siglo VI a.C.) midió la altura de las pirámides a través de sus sombras (el informe se deriva de Hieronymus, discípulo de Aristóteles en el siglo IV a.C.). A la luz de los cálculos del  seked, sin embargo, este relato indica que los egipcios se adelantaron por lo menos 1.000 años a la época de Tales.

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Los egipcios, como los romanos después de ellos, expresaron los números  de acuerdo a un esquema decimal, utilizando símbolos separados para 1, 10, 100, 1.000, y así sucesivamente. Cada símbolo aparecía en la expresión de un número tantas veces como el valor que representa aparecía en el propio número.

Se utiliza esta notación bastante engorrosa dentro de la escritura jeroglífica encontrada en inscripciones en piedra y en otros textos formales, pero en los documentos sobre papiro los escribas empleaban una escritura abreviada más conveniente, llamada  escritura hierática.

En tal sistema, para sumar y restar cantidades se contaba el número de símbolos que hay de cada tipo  en las expresiones numéricas y luego se escribía el número resultante de símbolos. Los textos que sobreviven no revelan los procedimientos especiales que los escribas utilizaban para ayudarse en estos casos. Sin embargo, para la multiplicación introdujeron un método de duplicación sucesiva.

Para dividir 308 por 28 los egipcios aplicaban el mismo procedimiento a la inversa.

En la mayoría de los casos, por supuesto, no había un resto que fuera menor que el divisor.

Para números más grandes este procedimiento puede mejorarse teniendo en cuenta los múltiplos de uno de los factores por 10, 20, ... o incluso por órdenes superiores de magnitud (100, 1000, ...), según sea necesario (en la notación decimal egipcia estas multiplicaciones son fáciles de hacer). Así, puede hallar el producto de 28 por 27 mediante los múltiplos de 28, a saber, 1, 2, 4, 8, 10, 20, se observa que los elementos 1, 2, 4 y 20 suman 27, por lo que basta sumar los múltiplos correspondientes para encontrar la respuesta.

Los cálculos con fracciones se llevaban a cabo bajo la restricción de considerar fracciones unitarias (es decir, fracciones que en notación moderna se escriben con numerador igual a 1). Expresar el resultado de dividir 4 por 7, por ejemplo, en notación moderna no es más que escribir 4/7, sin embargo el escriba escribía 1/2+1/14. El procedimiento para encontrar cocientes de esta forma se limitaba a extender el método habitual para la división de números enteros, inspeccionando ahora los  elementos en las tablas para 2/3, 1/3, 1/6, etc., y 1/2, 1/4, 1/8, etc., hasta que los múltiplos correspondientes del divisor sumaran el dividendo. (Se puede observar que los escribas incluían 2/3 como excepción a al exclusividad del uso de fracciones unitarias.) En la práctica el procedimiento a veces puede llegar a ser bastante complicado (por ejemplo, el valor de 2/29 que se da en el papiro Rhind es 1/24+1/58+1/174+1/232) y puede ser llevado a cabo de diferentes maneras (por ejemplo, la misma fracción 2/29 podría encontrarse como  1/15+1/435 o como 1/16+1/232+1/464, entre otros.). Una parte considerable de los textos en papiro está dedicada a tablas para facilitar el hallazgo de tales fracciones  unitarias.

Estas operaciones elementales son todo lo que se necesita para resolver los problemas aritméticos en los papiros. Por ejemplo, «para dividir 6 panes entre 10 hombres» (Problema 3 del papiro Rhind), simplemente se divide para obtener la respuesta 1/2+1/10. En un grupo de problemas hay un truco interesante: «Una cantidad (aha) y su séptima  parte suman 19; ¿cuál es la cantidad?» (Problema 24 del papiro Rhind). Aquí el escriba supone  primero que la cantidad es 7; dado que 1\ 1/7 de esa cantidad se convierte en 8, el resultado no es 19 como se esperaba, sino 19/8 (es decir, 2+1/4+1/8, que multiplicado  por 7 se convierte en la respuesta requerida. Este tipo de procedimiento (a veces llamado el método de «falsa posición») es conocido en muchas otras tradiciones aritméticas (por ejemplo, en chinos, hindúes, musulmanes y renacentistas europeos), a pesar de que parecen no haber tenido una relación directa con los egipcios.

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