Conjuntos numéricos

Mientras que los antiguos griegos estaban familiarizados con los enteros positivos, los racionales y los reales, el cero (usado como un número real en lugar de denotar un número faltante) y los números negativos fueron utilizados por primera vez en la India -como se sabe- por Brahmagupta en la Siglo VII. Los números complejos fueron introducidos por el matemático y médico Gerolamo Cardano (1501-1576) del Renacimiento italiano, no sólo para resolver ecuaciones como sino porque eran necesarios para encontrar soluciones reales de ciertas ecuaciones cúbicas con coeficientes reales. Mucho más tarde, el matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855) probó el Teorema Fundamental del Álgebra, que dice que todas las ecuaciones con coeficientes complejos tienen soluciones complejas, eliminando así la principal motivación para introducir nuevos números. Sin embargo, el matemático irlandés Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) y el matemático francés Olinde Rodrigues (1794-1851) inventaron los cuaterniones a mediados del siglo XIX, aunque estos resultaron ser menos populares en la comunidad científica hasta hace poco tiempo.

Gerolamo Cardano

Carl Friedrich Gauss

Sir William Rowan Hamilton

Olinde Rodrigues

En la actualidad, una presentación lógica del sistema numérico, tal como se enseña en el nivel universitario, sería la siguiente:

Aquí las letras, introducidas por Nicolas Bourbaki, se refieren a los números naturales, los números enteros , los números racionales, los números reales, los números complejos y los cuaterniones, respectivamente, y las flechas indican la inclusión de cada sistema numérico en el siguiente. Sin embargo, como se ha mostrado, el desarrollo histórico procede de forma diferente:

donde el signo más indica la restricción a elementos positivos. Este es el desarrollo hasta  al que a menudo se adhiere en la escuela secundaria.

Anuncio publicitario

Read Full Post »

De la Grecia antigua a la iluminación

Los matemáticos han estudiado durante mucho tiempo la base lógica y filosófica de la matemática, incluyendo si los axiomas de un sistema dado aseguran su completitud y su consistencia. Debido a que la matemática ha servido de modelo para la investigación racional en Occidente y se utiliza ampliamente en ciencias, los estudios sobre sus fundamentos tienen consecuencias extremas para la fiabilidad y extensibilidad del mismo pensamiento racional.

Una notable cantidad de matemática práctica, alguna de ella incluso bastante sofisticada, ya había sido desarrollada en el año 2000 a.C. por las civilizaciones agrícolas de Egipto y Mesopotamia, y tal vez incluso más al este. Sin embargo, los primeros que mostraron interés por los fundamentos de la matemática fueron los antiguos griegos.

La filosofía griega temprana estaba dominada por una disputa sobre cuál es más básica, ¿la aritmética o la geometría?, y por lo tanto, si la matemática debería preocuparse principalmente de los enteros (positivos) o de los reales (positivos), siendo estos últimos concebidos como proporciones de cantidades geométricas. (Los griegos se confinaron a los números positivos, ya que los números negativos fueron introducidos mucho más tarde en la India por Brahmagupta). Subyacente a esta disputa se percibía una dicotomía básica, no confinada a la matemática pero que impregnaba toda la naturaleza: ¿está el universo compuesto de átomos discretos (como creía el filósofo Demócrito), que por lo tanto pueden ser contados, o consta de una o más sustancias continuas (como se cree que creía Tales de Mileto) y, por lo tanto, sólo puede medirse? Como señaló más tarde Aristóteles, en un esfuerzo por mediar entre estas posiciones divergentes, el agua se puede medir contando tazas.

La escuela pitagórica de matemática, fundada en las doctrinas del filósofo griego Pitágoras, insistía originalmente en que sólo existen números naturales y racionales. Sus miembros aceptaron a regañadientes el descubrimiento de que , la razón de la diagonal de un cuadrado a su lado, no podía expresarse como una razón de números enteros. La prueba notable de este hecho ha sido preservada por Aristóteles.

La contradicción entre los racionales y los reales fue finalmente resuelta por Eudoxo de Cnido, discípulo de Platón, quien señaló que dos razones de cantidades geométricas son iguales si y sólo si comparten el conjunto de racionales (positivos) de la misma manera, anticipándose así al matemático alemán Richard Dedekind (1831-1916), que definió los números reales como tales particiones.

La próxima vez reseñaré otra gran disputa de la época.

Read Full Post »

Influencia de la matemática griega

Notables en la fase de cierre de la matemática griega fueron Pappus (principios del siglo IV d.C.), Teón (finales del siglo IV) y su hija Hipatia. Todos estaban activos en Alejandría como profesores de matemática y astronomía, y produjeron extensos comentarios sobre las principales autoridades de la época -Pappus y Teón de Ptolomeo, Hipatia de Diofanto y Apolonio. Más tarde, Eutocio (principios del siglo VI) produjo comentarios sobre Arquímedes y Apolonio. Si bien gran parte de esta producción se ha perdido, otro tanto sobrevive. Ellos demostraron ser razonablemente competentes en materia técnica, pero poco inclinados a dar luz al tema (su objetivo era generalmente llenar pasos menores asumidos en las pruebas, anexar pruebas alternativas, y similares), y su nivel de originalidad fue muy bajo. Pero estos eruditos con frecuencia conservaron fragmentos de obras más antiguas que se han perdido, y su enseñanza y esfuerzo editorial aseguró la supervivencia de las obras de Euclides, Arquímedes, Apolonio, Diofanto, Ptolomeo y otros que ahora existen, ya sea en manuscritos griegos o en traducciones medievales (al árabe, hebreo y latín) derivados de ellos.

El legado de la matemática griega, sobre todo en los campos de la geometría y la ciencia geométrica, fue enorme. Desde los primeros tiempos los griegos formularon los objetivos de la matemática no en términos de procedimientos prácticos sino como una disciplina teórica comprometida con el desarrollo de proposiciones generales y demostraciones formales. El alcance y la diversidad de sus hallazgos geométricos, especialmente los de los maestros del siglo III a.C., suministraron material durante siglos a partir de entonces, a pesar de que la cultura que fue transmitida a la Edad Media y al Renacimiento estaba incompleta y defectuosa.

El rápido crecimiento de la matemática en el siglo XVII se basó en parte en la imitación consciente de los clásicos antiguos y en la competencia de ellos. En la mecánica geométrica de Galileo y en las investigaciones infinitesimales de Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri, es posible percibir una inspiración directa en Arquímedes. El estudio de la geometría avanzada de Apolonio y Pappus estimuló nuevos enfoques en la geometría, por ejemplo, los métodos analíticos de René Descartes y la teoría proyectiva de Girard Desargues. Los puristas como Christiaan Huygens e Isaac Newton insistieron en el estilo geométrico griego como un modelo de rigor, al igual que otros buscaban escapar de sus demandas prohibiendo completamente pruebas elaboradas. El impacto total de la obra de Diofanto es evidente sobre todo con Pierre de Fermat en sus investigaciones en álgebra y teoría de números. A pesar de que la matemática ha ido hoy mucho más allá de los logros antiguos, las obras de las principales figuras de la antigüedad, como Arquímedes, Apolonio y Ptolomeo, todavía pueden ser una gratificante lectura para ilustrarnos de su ingenio y sus puntos de vista.

Antes de abandonar la matemática griega, es interesante resumir un poco los hechos acaecidos.

Read Full Post »