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Posts Tagged ‘Maurice René Fréchet’

Vito Volterra ayudó a extender las ideas del cálculo diferencial e integral de conjuntos a espacios de funciones. Su trabajo en biología también contribuyó a desarrollar conceptos matemáticos, como los vinculados a las ecuaciones diferenciales parciales, que influyeron en las relaciones depredador-presa. Es más famoso por su trabajo en ecuaciones integrales, produciendo las «ecuaciones integrales del tipo Volterra», que se aplicaron ampliamente a problemas mecánicos.

Vito Volterra nació el 3 de mayo de 1860 en Ancona (una ciudad en los Estados Pontificios de Italia) en una familia pobre. Su padre murió cuando Volterra tenía solo dos años y se desconoce su formación inicial. Se interesó por la matemática después de leer Geometry de Adrien-Marie Legendre a los 11 años, y dos años más tarde comenzó a estudiar el problema de los tres cuerpos, una pregunta destacada en la teoría de los sistemas dinámicos.

Volterra asistió a conferencias en Florencia y luego se matriculó en Pisa en 1878; allí estudió bajo la dirección de Enrico Betti, y obtuvo su doctorado en 1882 con una tesis sobre hidrodinámica. Betti murió al año siguiente, y Volterra lo sucedió como profesor de matemática en la Universidad de Pisa. Luego sirvió tanto en Turín como en Roma.

Volterra fue el primer matemático en concebir lo que más tarde se conocería como «funcional», una función de funciones a valor real. Un ejemplo de funcional (esta terminología fue introducida posteriormente por Jacques Hadamard) es la operación de integración, que produce un valor real para cada función de entrada. Volterra pudo extender los métodos integrales de Sir William Rowan Hamilton y Carl Jacobi para ecuaciones diferenciales a otros problemas de mecánica, y desarrolló un cálculo funcional completamente nuevo para realizar los cálculos necesarios. Hadamard, Maurice René Fréchet y otros pensadores más tarde desarrollaron esta idea original.

De 1892 a 1894 Volterra pasó a tratar ecuaciones diferenciales parciales, investigando la ecuación de la onda cilíndrica. Sus resultados más famosos fueron en el área de ecuaciones integrales, que relacionan las integrales de varias funciones desconocidas. Después de 1896, Volterra publicó varios artículos en esta área; estudió lo que se llegó a conocer como «ecuaciones integrales del tipo Volterra». Pudo aplicar su análisis funcional a estas ecuaciones integrales con considerable éxito.

A pesar de su edad, Volterra se unió a la fuerza aérea italiana durante la Primera Guerra Mundial, ayudando con el desarrollo de dirigibles en armas de guerra. Luego regresó a la Universidad de Roma. Promovió la colaboración científica y luego recurrió a las ecuaciones depredador-presa de biología, estudiando la curva logística. En 1922, el fascismo se extendió por Italia y Volterra luchó con vehemencia contra esta ola de opresión como miembro del parlamento italiano. En 1830 los fascistas tomaron el control y Volterra se vio obligado a huir de Italia. Pasó el resto de su vida en el extranjero en Francia y España. Sin embargo, regresó a Italia antes de su muerte el 11 de octubre de 1940 en Roma.

Volterra fue importante como fundador del análisis funcional, que ha sido una de las ramas más aplicadas de las matemáticas en el siglo XX. Las ecuaciones integrales se han empleado con éxito para resolver muchos problemas científicos, y el trabajo de Volterra produjo un gran avance en el conocimiento de estas ecuaciones.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Frigyes Riesz fue uno de los principales fundadores del análisis funcional a principios del siglo XX, ya que esencialmente inventó la teoría de operadores e introdujo muchos conceptos importantes. Su trabajo tuvo aplicaciones importantes para la física, en particular en mecánica cuántica, y muchas de las ramificaciones de sus teorías se desarrollaron durante las décadas siguientes.

Frigyes Riesz nació el 22 de enero de 1880 en Györ, Hungría. En el momento de su nacimiento Györ formaba parte del Imperio austro húngaro. Su padre era Ignácz Riesz, un médico; tenía un hermano menor, Marcel, que también se convirtió en un famoso matemático. Después de su educación preliminar, viajó a Budapest para estudiar, y luego viajó a las Universidades de Gotinga y Zúrich para obtener más conocimientos. Regresó a Hungría para alcanzar su doctorado en la Universidad de Budapest en 1902; el tema de su tesis fue la geometría.

Después de completar su doctorado, Riesz enseñó en escuelas locales antes de obtener una posición universitaria. En 1911 obtuvo finalmente una cátedra en la Universidad de Kolozsvár en Hungría. Su trabajo principal fue en el análisis funcional, y se basó en el trabajo de Maurice René Fréchet, basándose en su idea de distancia en un espacio funcional. Entre 1907 y 1909 desarrolló algunos teoremas de representación que expresaban funciones en términos de integrales de otras funciones. Más tarde introdujo la noción de convergencia débil para una sucesión de funciones; esto presentaba una topología conveniente para los espacios de funciones comúnmente utilizados en física e ingeniería. Riesz también desarrolló la teoría de la integración de Lebesgue, que facilitó la construcción de bases ortonormales en los espacios de Hilbert.

En 1910 el trabajo de Riesz marcó el nacimiento de la teoría de operadores; los operadores son los análogos de las matrices en espacios de funciones de dimensión infinita. El estudio y el uso de los operadores continúa hasta el presente, y ciertamente constituyen una de las herramientas matemáticas más efectivas de la estadística y la ingeniería. En 1918 Riesz desarrolló bases rigurosas para los espacios de Banach, que fueron definidos axiomáticamente por Stefan Banach dos años después.

En 1920, el territorio de Hungría se redujo severamente como parte de las consecuencias de la Primera Guerra Mundial; como resultado, Kolozsvár se ubicó en Rumania. La universidad que había estado en Kolozsvár se trasladó a Szeged, y Riesz se mudó con ella. En 1922 fundó el Instituto Matemático János Bolyai y pronto se convirtió en editor del Acta Scientiarum Mathematicarum, que se convirtió en una reconocida revista matemática. Posteriormente obtuvo una cátedra de matemática en la Universidad de Budapest en 1945.

La investigación de Riesz fue importante para el campo del análisis funcional, pero también trabajó en teoría ergódica (probó el teorema ergódico medio en 1938) y topología. Uno de sus resultados más importantes es el teorema de Riesz-Fischer de 1907, de gran importancia en análisis de Fourier y de mucha  utilidad en ingeniería y física. Además de ser un excelente investigador fue apreciado como un claro expositor de la matemática; su estilo era lúcido, con frecuentes referencias a aplicaciones relevantes. Recibió muchos honores y premios a lo largo de su vida, incluida la elección a la Academia de Ciencias de Hungría.

Riesz murió el 28 de febrero de 1956, en Budapest. Contribuyó principalmente al análisis funcional, donde sus ideas eran fundamentales; las técnicas y conceptos que desarrolló siguen teniendo un impacto e influencia en la matemática, la física, la ingeniería y la estadística.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Stefan Banach es conocido como el principal fundador del análisis funcional, el estudio de ciertos espacios de funciones. Él influenció a muchos estudiantes durante su intensa carrera como matemático en investigación, y muchos de los resultados más importantes del análisis funcional llevan su nombre. 

Poco se sabe de la personalidad de Banach, aparte de que era trabajador y dedicado a la matemática. Nacido en Cracovia el 30 de marzo de 1892, hijo de un funcionario ferroviario, Banach fue entregado a una lavandera por sus padres; esta mujer, que se convirtió en su madre adoptiva, lo crió y le dio su apellido, Banach. A la edad de 15 años daba lecciones particulares para apoyar su sustento. Se graduó de la escuela secundaria en 1910. Después de esto se matriculó en el Instituto de Tecnología de Lvov, en Ucrania, pero no se graduó. Cuatro años más tarde regresó a su ciudad natal. Allí conoció al matemático polaco Hugo Steinhaus en 1916. Desde entonces se dedicó a la matemática; parece que ya poseía un amplio conocimiento de la disciplina, y junto con Steinhaus escribió su primer trabajo sobre la convergencia de series de Fourier.

En 1919 Banach fue nombrado profesor en el Instituto de Tecnología de Lvov, donde enseñó matemática y mecánica. En este mismo año recibió su doctorado en matemática, a pesar de que su educación universitaria era incompleta. Su tesis, según se dice, señaló el nacimiento del análisis funcional, tratando acerca  de ecuaciones integrales. En 1922 Banach fue promovido en consideración de un excelente artículo sobre la teoría de la medida (las medidas son funciones especiales que calculan las longitudes, las áreas y los volúmenes de los conjuntos). Después de esto fue nombrado profesor asociado, y luego profesor titular en 1927 en la Universidad de Lvov. Además, en 1924 fue seleccionado para integrar la Academia Polaca de Ciencias y Artes.

Banach hizo contribuciones a series y topologías ortogonales. Investigó una versión más general de la diferenciación en los espacios de medida y descubrió resultados clásicos sobre la continuidad absoluta. El teorema de Radon-Nikodym fue estimulado por sus contribuciones en el área de medida e integración. También estableció conexiones entre la existencia de medidas y la teoría axiomática de conjuntos. 

Sin embargo, el análisis funcional fue la contribución más importante de Banach. Poco se había hecho de manera unificada en el análisis funcional: Vito Volterra tenía unos pocos papeles de las décadas de 1890 sobre ecuaciones integrales, y Erik Ivar Fredholm y David Hilbert habían observado espacios lineales. A partir de 1922, Banach investigó los espacios lineales normados con la propiedad de la completitud -ahora llamados espacios de Banach. Aunque algunos otros matemáticos contemporáneos, como Hans Hahn, Maurice René Fréchet, Eduard Helly y Norbert Wiener, desarrollaban simultáneamente conceptos de análisis funcional, ninguno realizaba la tarea tan minuciosamente y sistemáticamente como Banach y sus alumnos. Sus tres resultados fundamentales fueron el teorema sobre la extensión de funcionales lineales continuos (ahora llamado teorema de Hahn-Banach, ya que tanto Banach como Hahn lo demostraron independientemente); el teorema sobre las familias acotadas de mapeos (llamado el teorema de Banach-Steinhaus); y el teorema sobre mapeos lineales continuos de espacios de Banach. Introdujo las nociones de convergencia débil y clausura débil, que se ocupan de la topología de los espacios lineales normados.

Banach y Steinhaus fundaron la revista Studia mathematica, pero Banach se distrajo a menudo de su trabajo científico debido a su escritura de textos para la universidad y la escuela secundaria. De 1939 a 1941 se desempeñó como decano de la facultad de Lvov, y durante este tiempo fue elegido como miembro de la Academia de Ciencias de Ucrania. Sin embargo, la Segunda Guerra Mundial interrumpió su brillante carrera; en 1941 los alemanes ocuparon a Lvov. Durante tres años, Banach se vio obligado a investigar enfermedades infecciosas en un instituto alemán, donde se alimentaba de piojos. Cuando los soviéticos recapturaron Lvov en 1944, Banach regresó a su puesto en la universidad; desafortunadamente, su salud quedó destrozada por las malas condiciones bajo el ejército alemán, y murió el 31 de agosto de 1945.

La obra de Banach se hizo más ampliamente conocida por los matemáticos que trabajaban en el campo del análisis funcional. Su nombre está atado a varios objetos matemáticos y teoremas, demostrando su importancia como uno de los principales fundadores del análisis funcional.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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