En la entrada anterior, La geometría desde el punto de vista de Klein, hemos explorado inicialmente la geometría euclidiana. Para entender sus fundamentos parece que debemos estudiar su grupo de movimientos. Por el momento, este grupo se define más bien de manera abstracta como el conjunto de mapeos del plano en sí mismo que preserva distancias. Sin embargo, es bastante fácil pensar en ejemplos concretos de movimientos: una rotación del plano alrededor de un punto arbitrario, una traslación del plano, o una reflexión del plano respecto de alguna recta. Nuestro objetivo es entender los movimientos más generales posibles en términos igualmente vívidos.
Comenzamos declarando un hecho clave:
Un movimiento se determina de forma única por su efecto sobre cualquier triángulo (es decir, sobre cualesquiera tres puntos no colineales).
Con esto queremos decir que el conocimiento de lo que ocurre con los tres puntos nos dice lo que debe sucederle a cada punto en el plano. Para ver esto, primero consideremos la Figura 1, que muestra que cada punto 
se determina de forma única a través de sus distancias a los vértices 
, 
, 
de un triángulo (*). Las distancias a y producen dos círculos que (en general) se cruzan en dos puntos, y 
. La tercera distancia (a ) permite entonces escoger a .
Figura 1
Para obtener el resultado señalado arriba, miremos ahora la Figura 2. Allí se ilustra un movimiento 
que mapea a , , en 
, 
, 
. Por la propia definición de movimiento, debe mapear un punto arbitrario en un punto 
cuyas distancias a , , son iguales a las distancias originales de a , , . Por lo tanto, como se muestra, está determinado de forma única. Listo!!!
Figura 2
Un gran paso hacia una clasificación es la constatación de que hay fundamentalmente dos diferentes tipos de movimientos. En términos de nuestra concepción anterior de movimiento en el espacio, la distinción es si debe o no darse vuelta una figura antes de que pueda ser colocada en la parte superior de una figura congruente. Para ver cómo se plantea esta dicotomía en términos de la nueva definición de movimiento como mapeo dada en la entrada anterior, supongamos que un movimiento envía dos puntos y sobre y . Ver la Figura 3. Según lo que enunciamos al comienzo, el movimiento no se ha determinado aún: necesitamos conocer la imagen de un tercer punto cualquiera (no alineado), como se muestra en la Figura 3. Dado que los movimientos preservan las distancias de a y , sólo hay dos posibilidades para la imagen de , digamos, y su reflejo 
respecto de la recta 
que pasa por y . Así, hay precisamente dos movimientos ( y 
, por ejemplo) que mapean y en y : que aplica en , y que aplica en .
Figura 3
Se puede hacer una distinción entre y al ver cómo afectan ángulos. Todos los movimientos preservan la magnitud de los ángulos, pero vemos que también preserva el sentido del ángulo 
, mientras que lo invierte. La naturaleza fundamental de esta distinción se puede ver en el hecho de que debe, de hecho, preservar todos los ángulos, mientras que debe revertir todos los ángulos.
Para ver esto, consideremos el destino del ángulo 
en el triángulo 
. Si se mapea en (es decir, si el movimiento es ), entonces, llevando a cabo la construcción indicada en la Figura 2, la imagen de es 
y el ángulo se conserva. Si, por el contrario, se mapea en (es decir, si el movimiento es ) entonces la imagen de es la reflexión 
de respecto de , y el ángulo se invierte. Los movimientos que preservan los ángulos se llaman directos, y los que invierten ángulos son llamados opuestos. Así, las rotaciones y las traslaciones son directas, mientras que las reflexiones son opuestas. Resumiendo lo que hemos encontrado,
Hay exactamente un movimiento directo (y exactamente un movimiento opuesto ) que mapea un segmento de recta dado 
en otro segmento de recta 
de igual longitud. Por otra parte, 
seguida de la reflexión respecto de la recta ).
Para entender los movimientos podemos por lo tanto considerar dos segmentos dibujados al azar y de igual longitud, y luego encontrar el movimiento directo (y el movimiento opuesto) que mapea uno en el otro. Ahora es fácil demostrar que
Cada movimiento directo es una rotación, o de lo contrario (excepcionalmente) una traslación.
Tenga en cuenta que este resultado nos da un mayor conocimiento de nuestros cálculos anteriores sobre la composición de rotaciones y traslaciones: dado que la composición de dos movimientos directos es otro movimiento directo, sólo puede tratarse de una rotación o de una traslación. Por el contrario, estos cálculos nos permiten re-escribir lo anterior de una manera más ordenada (Recuerde la entrada: Trigonometría y números complejos: aliados perfectos):
Cada movimiento directo puede expresarse como una función compleja de la forma 
.
Demostremos ahora lo que nos quedó pendiente. Si el segmento de recta es paralelo a entonces los vectores 
y 
son iguales u opuestos. Si son iguales, como en la Figura 4, el movimiento es una traslación.
Figura 4
Si son opuestos, como en la Figura 5, el movimiento es una rotación de ángulo 
alrededor del punto de intersección de las rectas 
y 
.
Figura 5
Si los segmentos no son paralelos, se extienden (si es necesario) hasta que se encuentren en 
, y sea el ángulo entre las direcciones de y . Ver la Figura 6. En primer lugar recordemos una propiedad elemental de los círculos: la cuerda subtiende el mismo ángulo en cada punto del arco circular 
. A continuación, sea 
el punto de intersección de este arco con el bisector perpendicular de . Ahora vemos que el movimiento directo que mapea en es una rotación de ángulo con centro en , pues claramente es rotado en , y la dirección de se gira en la dirección de . Listo!!!
Figura 6
Las transformaciones directas serán más importantes en el contexto del Análisis de Variable Compleja. La razón del mayor énfasis en los movimientos directos se deriva del hecho de que forman un grupo (un subgrupo del grupo completo de movimientos), mientras que los movimientos opuestos no lo hacen.
(*) Así es como se ubican los terremotos. Hay dos tipos de ondas que son emitidas por el terremoto cuando comienza: «ondas P» en rápido movimiento de compresión, y «ondas S» de movimiento más lento de corte destructivo. Así, las ondas P llegarán a una estación sísmica antes que las ondas S, y el tiempo transcurrido entre estos eventos puede ser utilizado para calcular la distancia del terremoto a esa estación. Repitiendo este cálculo en otras dos estaciones sísmicas, el temblor puede ser localizado. Leer más aquí.
Fuente bibliográfica:
- Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press
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