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Posts Tagged ‘Notación numérica’

Casi todos los textos matemáticos sánscritos consisten principalmente en fórmulas concisas en verso. Este era el formato estándar para muchos tipos de tratados técnicos sánscritos, y la tarea de darle sentido a sus compactas fórmulas era ayudada en todos sus géneros por comentarios en prosa. Reglas en verso sobre matemática -como sobre cualquier otro tema- fueron diseñadas para ser aprendidas de memoria, pero eso no significa necesariamente que no se esperaba nada del estudiante más allá de la memoria y la memorización. Con frecuencia las reglas se expresaban de manera ambigua, aparentemente de forma deliberada, de modo que sólo alguien que entendiera la matemática subyacente pudiera aplicarlas correctamente. Los comentarios ayudaban proporcionando por lo menos un poco de luz acerca del significado palabra por palabra  y por lo general se daban algunos ejemplos ilustrativos y en algunos casos incluso demostraciones detalladas.

El trabajo en verso en la matemática y en la astronomía enfrentó el reto especial de representar verbalmente números (que frecuentemente aparecían en tablas, constantes y ejemplos) en formatos métricos estrictos. Los «números concretos» parecen haber sido ideados para ese propósito. Otra técnica útil, desarrollada un poco más tarde (alrededor del 500 d.C.), fue el llamado sistema katapayadi en el que cada uno de los 10 dígitos decimales fue asignado a un conjunto de consonantes (comenzando con las letras k, t, p e y), mientras que las vocales no tenían significación numérica. Esto implicaba que los números podían ser representados no sólo por sílabas de sonoridad normal sino también por palabras reales sánscritas usando consonantes apropiadas en la secuencia apropiada. De hecho, algunos astrónomos construyeron tablas numéricas enteras en forma de frases o poemas katapayadi.

La apariencia física original de estos escritos matemáticos es más misteriosa que su contenido verbal, porque los tratados sobreviven sólo en copias que datan de tiempos mucho más tardíos y reflejan las convenciones de los escribas posteriores. Hay una sorprendente excepción, sin embargo, en el manuscrito de Bakhshali, encontrado en 1881 por un agricultor en su campo en Bakhshali (cerca del actual Peshawar, Pakistán). Escrito en una variante de sánscrito híbrido budista en corteza de abedul, muy probablemente alrededor del siglo VII, este manuscrito es el único documento conocido de la India sobre la matemática de este período temprano. Muestra lo que la notación matemática de ese tiempo y lugar realmente parecía. Los 10 dígitos decimales, incluyendo un punto para cero, eran estándar, y las expresiones matemáticas se escribían sin símbolos, excepto para una cruz cuadrada «+» escrita después de números negativos. Esta notación viene probablemente de la letra india para r, que significa la palabra sánscrita rhna («negativo»). Las abreviaturas silábicas -como yu para yuta («añadido») y mu para mula («raíz»)- indicaban operaciones sobre cantidades.

Debido a que hay tan pocos representantes físicos sobrevivientes de trabajos matemáticos que datan de antes de mediados del segundo milenio, es difícil decir cuándo, dónde y cómo cambiaron algunas de estas convenciones de notación. En textos posteriores se formalizó la escritura de ecuaciones para que ambos lados tuvieran el mismo número y clase de términos (con coeficientes cero donde fuera necesario). Cada incógnita fue designada por una abreviatura silábica diferente, típicamente con el nombre de un color, una palabra que significa «incógnita», o (en problemas de palabra) con el nombre de la mercancía u otra cosa que la incógnita representara. La práctica de escribir una cruz cuadrada después de un número negativo fue generalmente reemplazada por la de poner un punto sobre él.

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La invención de la geometría analítica fue, junto al cálculo diferencial e integral, el desarrollo matemático más importante del siglo XVII. Con origen en el trabajo de los matemáticos franceses Viète, Fermat y Descartes, a mediados de siglo se había consolidado como un importante programa de investigación matemática.

Dos tendencias en la matemática contemporánea estimularon el crecimiento de la geometría analítica. La primera fue un creciente interés en las curvas, lo que resulta en parte de la recuperación y la traducción latina de clásicos tratados de Apolonio, Arquímedes y Pappus, y en parte de la creciente importancia de las curvas en campos aplicados como la astronomía, la mecánica, la óptica y la estereometría. La segunda fue la aparición un siglo antes de una práctica algebraica establecida en el trabajo de los algebristas italianos y alemanes y su posterior conformación por parte de Viète en una poderosa herramienta matemática al final del siglo.

Viète fue un destacado representante del movimiento humanista en la matemática que se fijó el proyecto de restaurar y promover los logros de los geómetras griegos clásicos. En su Artem analyticem isagoge de 1591 Viète, como parte de su programa de volver a descubrir el método de análisis utilizado por los antiguos matemáticos griegos, propuso nuevos métodos algebraicos que empleaban variables, constantes y ecuaciones, pero no vio esto como un avance sobre el método antiguo, una visión que se obtiene al comparar el análisis geométrico contenido en el Libro VII de la Colección de Pappus con el análisis aritmético de la Aritmética de Diofanto. Pappus había empleado un método analítico para el descubrimiento de teoremas y para la construcción de problemas. En el análisis, por el contrario a la síntesis, se parte de lo que se busca hasta que se llega a algo conocido. Al abordar un problema aritmético para el que se establece una ecuación entre magnitudes conocidas y desconocidas y luego se despeja la incógnita, uno estaba, según Viète, trabajando con un procedimiento «analítico».

Viète introdujo el concepto de variable algebraica, que él denotó usando una vocal mayúscula (A, E, I, O, U), así como el concepto de parámetro (una cantidad constante no especificada), que denotó con una consonante mayúscula  (B, C , D, y así sucesivamente). En su sistema la ecuación

5BA^{2} - 2CA + A^{3} = D

aparecería como

B_{5} \text{ en }A \text{ quad -  } C \text{ plano }2 \text{ en }A + A \text{ cub aequatur }D\text{ solido.}

Viète retuvo el principio clásico de la homogeneidad, acordando que los términos a sumar deben ser todos de la misma dimensión. En la ecuación anterior, por ejemplo, cada uno de los términos tiene la dimensión de un sólido o cubo. Por lo tanto, la constante C, que denota un plano, se combina con A para formar una cantidad que tiene la dimensión de un sólido.

Cabe señalar que en el esquema de Viète el símbolo A es parte de la expresión para el objeto obtenido operando sobre la magnitud denotada por A. Por lo tanto, las operaciones sobre las cantidades indicadas por las variables se reflejan en la misma notación algebraica. Esta innovación, considerada por los historiadores de la matemática como un importante avance conceptual en el álgebra, facilitó el estudio de la solución simbólica de ecuaciones algebraicas y dio lugar a la creación de la primera teoría consciente de las ecuaciones.

 Después de la muerte de Viète el arte analítico fue aplicado al estudio de curvas por sus compatriotas Fermat y Descartes. Los dos hombres estaban motivados por el mismo objetivo, aplicar las nuevas técnicas algebraicas a la teoría de los loci (lugares geométricos) de Apolonio como se conservaba en la Colección de Pappus. El más célebre de estos problemas consistió en la búsqueda de la curva o locus trazada por un punto cuyas distancias a varias líneas fijas satisface una relación dada.

Fermat adoptó la notación de Viète en su artículo Ad Locos Planos et Solidos Isagoge de 1636. El título del trabajo se refiere a la antigua clasificación de las curvas en planas (como líneas, rectas y círculos), sólidas (elipses, parábolas e hipérbolas) o lineales (curvas definidas cinemáticamente o por una condición locus). Fermat consideró una ecuación en dos variables. Una de las variables representaba una línea medida horizontalmente desde un punto inicial determinado, mientras que la otra representaba una segunda línea situada en el extremo de la primera línea e inclinada en un ángulo fijo respecto a la horizontal. A medida que la primera variable variaba en magnitud, la segunda tomaba un valor determinado por la ecuación, y el punto final de la segunda línea trazaba una curva en el espacio. Por medio de esta construcción Fermat fue capaz de formular el principio fundamental de la geometría analítica:

Siempre que dos cantidades desconocidas se encuentran en igualdad final, resulta un locus fijo en su lugar, y el punto final de una de estas cantidades desconocidas describe una línea recta o una curva.

El principio implicaba una correspondencia entre dos clases diferentes de objetos matemáticos: curvas geométricas y ecuaciones algebraicas. En el documento de 1636, Fermat demostró que si la ecuación es una cuadrática, entonces la curva es una sección cónica, es decir, una elipse, una parábola o una hipérbola. También demostró que la determinación de la curva dada por una ecuación se simplificaba mediante una transformación que implicaba un cambio de variables de una ecuación en forma estándar.

La Geometría de Descartes apareció en 1637 como un apéndice de su famoso Discurso del método, tratado que presenta el fundamento de su sistema filosófico. Aunque supuestamente se trataba de un ejemplo en la matemática de su método racional, La Geometría era un tratado técnico comprensible independientemente de la filosofía. Estaba destinado a convertirse en uno de los libros más influyentes en la historia de la matemática.

En las secciones iniciales de La Geometría Descartes introdujo dos innovaciones. En lugar de la notación de Viète inició la práctica moderna de denotar las variables por las letras finales del alfabeto (x, y, z) y los parámetros por las letras  al comienzo del alfabeto (a, b, c), y además utiliza la notación exponencial para indicar potencias de x. Más importante conceptualmente, dejó a un lado el principio de homogeneidad de Viète, mostrando por medio de una construcción sencilla la forma de representar la multiplicación y la división de líneas por líneas. Por lo tanto, todas las magnitudes (líneas, áreas y volúmenes) podían ser representadas independientemente de su dimensión de la misma manera.

 El objetivo de Descartes en La Geometría era lograr la construcción de soluciones a problemas geométricos por medio de instrumentos que eran generalizaciones aceptables de la regla y el compás. El álgebra era una herramienta para ser utilizada en este programa.

En el problema de Apolonio, por ejemplo, se trata de encontrar el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a una colección de líneas fijas satisface una relación dada. Utilizando esta relación para derivar una ecuación y, a continuación, utilizando un procedimiento geométrico que implique instrumentos de construcción aceptables, se  obtienen puntos en la curva dada por las raíces de la ecuación.

Descartes describió instrumentos más general que el compás para dibujar curvas «geométricas». Estipuló que las partes del instrumento sean unidas entre sí de modo que la relación de los movimientos de las partes pueda ser cognoscible. Esta restricción excluía las curvas «mecánicas» generadas por procesos cinemáticos. La espiral de Arquímedes, por ejemplo, era generada por un punto que se mueve en una línea cuando la línea gira uniformemente alrededor del origen.

Descartes llegó a la conclusión de que una curva geométrica o no mecánica era una cuya ecuación

f(x,y)=0

era un polinomio de grado finito en dos variables. Él deseaba limitar la matemática a la consideración de dichas curvas.

El énfasis de Descartes en la construcción reflejaba su orientación clásica. Su conservadurismo con respecto a qué curvas eran aceptables en la matemática más lo distinguía como pensador tradicional. En el momento de su muerte, en 1650, había sido superado por los acontecimientos, en tanto la investigación se alejaba de las preguntas sobre la construcción a problemas referidos a encontrar áreas (entonces llamados problemas de cuadratura) y tangentes. Los objetos geométricos que estaban entonces en creciente interés eran precisamente las curvas mecánicas que Descartes había querido desterrar de la matemática.

A raíz de los importantes resultados obtenidos en el siglo XVI por Gerolamo Cardano y los algebristas italianos, la teoría de las ecuaciones algebraicas llegó a un callejón sin salida. Las ideas necesarias para investigar las ecuaciones de grado mayor a cuatro eran lentas en desarrollarse. La influencia histórica inmediata de Viète, Fermat y Descartes era proporcionar métodos algebraicos para la investigación de las curvas. Una vigorosa escuela de investigación se estableció en Leiden alrededor de Frans van Schooten, un matemático holandés que editó y publicó en 1649 una traducción latina de La Geometría. Van Schooten publicó una segunda traducción de dos volúmenes de la misma obra en 1659-1661 que también contenía apéndices matemáticos de tres de sus discípulos, Johan de Witt, Johan Hudde y Hendrick van Heuraet. El grupo de matemáticos de Leiden, que también incluyó a Christiaan Huygens, fue en gran parte responsable del rápido desarrollo de la geometría cartesiana a mediados del siglo.

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El desarrollo de nuevos métodos de cálculo numérico fue una respuesta a las crecientes exigencias prácticas del cálculo numérico, en particular en la trigonometría, la navegación y la astronomía. Las nuevas ideas se propagaron rápidamente a través de Europa y para el año 1630 se convirtieron en una gran revolución en la práctica numérica.

Simon Stevin de Holanda, en su breve folleto La Disme de 1585, presentó las fracciones decimales a Europa y mostró cómo extender los principios de la aritmética hindú-arábiga al cálculo con estos números. Stevin hizo hincapié en la utilidad de la aritmética decimal «para todas las cuentas que aparecen en los asuntos de los hombres», y explicó en un apéndice cómo se podía aplicar a la topografía, la estereometría, la astronomía y  la medición. Su idea era extender el principio posicional de base 10 a números con partes fraccionarias, con una extensión correspondiente en la notación para cubrir estos casos. En su sistema denotó al número 237.578 por

en donde los dígitos a la izquierda del cero son la parte entera del número. A la derecha del cero están los dígitos de la parte fraccionaria, con cada dígito seguido por un número rodeado con un círculo que indica la potencia negativa a la que se eleva 10. Stevin demostró cómo la aritmética habitual de los números enteros podía extenderse a fracciones decimales, utilizando las reglas que determinan el posicionamiento de las potencias negativas de 10.

Simon Stevin

Además de su utilidad práctica, La Disme fue significativa por la forma en que socavó el estilo dominante de la geometría clásica griega en la matemática teórica. La propuesta de Stevin requería rechazar la distinción en la geometría euclidiana entre la magnitud, que es continua, y el número, que es una multitud de unidades indivisibles. Para Euclides, la unidad, o uno, era un tipo especial de cosa, no un número sino el origen o principio del número. La introducción de las fracciones decimales parecía dar a entender que la unidad podía subdividirse y que una magnitud arbitraria continua podía ser representada numéricamente. Se suponía implícitamente el concepto de número real positivo en general.

En 1614 el escocés lord John Napier  publicó por primera vez tablas de logaritmos  en su tratado Description of the Marvelous Canon of Logarithms. Este trabajo fue seguido (postumamente) cinco años después por otro en el que Napier estableció los principios utilizados en la construcción de sus tablas. La idea básica detrás de los logaritmos es que la suma y la resta son más fáciles de realizar que la multiplicación y la división que, como observó Napier, requieren un «gasto de tiempo tedioso» y están sujetos a «errores resbaladizos». Por la ley de los exponentes,

a_{n}a_{m} = a_{n+m};

es decir, en la multiplicación de números, los exponentes se relacionan de forma aditiva. Por correlación, la secuencia geométrica de números

a, a_{2}, a_{3},\ldots

(con a la base) y la secuencia aritmética

1, 2, 3, \ldots

e interpolando valores fraccionarios, es posible reducir el problema de la multiplicación y la división a uno de sumas y restas. Para ello Napier escogió una base que fuera muy cercana a 1, que difiera de él solamente en 1/107. Por tanto, la secuencia geométrica resultante produjo un conjunto denso de valores, adecuado para la construcción de una tabla.

John Napier

En su obra de 1619 Napier presentó un modelo cinemático interesante para generar las secuencias geométricas y aritméticas utilizadas en la construcción de sus tablas. Asume dos partículas que se mueven a lo largo de líneas separadas desde puntos iniciales dados. Las partículas comienzan a moverse en el mismo instante con la misma velocidad. La primera partícula continúa moviéndose con una velocidad que va disminuyendo, proporcional en cada instante a la distancia que queda entre ella y algún punto fijo dado sobre la línea. La segunda partícula se mueve con una velocidad constante igual a su velocidad inicial. Dado cualquier incremento de tiempo, las distancias recorridas por la primera partícula en los sucesivos incrementos forman una sucesión geométricamente decreciente. Las correspondientes distancias recorridas por la segunda partícula forman una sucesión aritmética creciente. Napier fue capaz de utilizar este modelo para derivar teoremas que producen límites precisos para aproximar valores en las dos sucesiones.

El modelo cinemático de Napier indicaba cómo los matemáticos expertos se habían volcado a principios del siglo XVII al análisis del movimiento no uniforme. Las ideas cinemáticas, que aparecían con frecuencia en la matemática de la época, proporcionaban un medio claro y visible para la generación de magnitudes geométricas. La concepción de una curva trazada por una partícula que se mueve a través del espacio jugó más tarde un papel significativo en el desarrollo del cálculo.

Las ideas de Napier fueron recogidas y revisadas por el matemático inglés Henry Briggs, el primer profesor saviliano de geometría en Oxford. En 1624 Briggs publicó una extensa tabla de logaritmos comunes, o logaritmos de base 10. Debido a que la base ya no era cercana a 1, la tabla no se podía obtener en la forma más sencilla de Napier, y por tanto Briggs ideó técnicas que implicaban el cálculo de diferencias finitas para facilitar el cálculo de las entradas. También ideó procedimientos de interpolación de gran eficiencia computacional para obtener valores intermedios.

Henry Briggs

En Suiza, el fabricante de instrumentos llegó a la idea de los logaritmos de Napier de forma independiente, aunque no publicó sus resultados hasta 1620. Cuatro años más tarde, una tabla de logaritmos preparada por Kepler apareció en Marburg. Tanto Bürgi como Kepler eran observadores astronómicos, y Kepler incluyó tablas logarítmicas en su famoso Tabulae Rudolphinae de 1627, tabulaciones astronómicas del movimiento planetario derivadas mediante el uso de la suposición de órbitas elípticas alrededor del Sol.

Joost Bürgi

 

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