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Posts Tagged ‘Números complejos’

Implícito en la definición de convergencia está un hecho simple pero muy importante: si p(a) converge, entonces su valor puede ser aproximado por la suma parcial p_{m}(a), y eligiendo un valor de m suficientemente grande podemos hacer la aproximación tan exacta como queramos. Combinando esto con la observación de la entrada anterior:

Dada una serie de potencias compleja p(z) centrada en k, existe una circunferencia \left|z-k\right|=R centrada en k tal que p(z) converge en todo punto dentro de la circunferencia, y p(z) diverge en todo punto fuera de ella.

resulta que

En cada punto z en el disco de convergencia, p(z) puede expresarse con una precisión arbitrariamente alta mediante un polinomio p_{m}(z) de grado suficientemente alto.

Para simplificar, vamos a investigar esto más a fondo en el caso en que p(z) está centrada en el origen. El error E_{m}(z) en z asociado a la aproximación p_{m}(z) puede definirse como la distancia E_{m}(z)=\left|p(z)-p_{m}(z)\right| entre la respuesta exacta y la aproximación. Para un valor fijo de m, el error E_{m}(z) variará a medida que z se mueve alrededor del disco de convergencia. Claramente, como E_{m}(0)=0, el error será extremadamente pequeño si z está cerca del origen, pero ¿qué pasa si z alcanza la circunferencia de convergencia? La respuesta depende de la serie de potencia particular, incluso puede ocurrir que el error se vuelva enorme!  Veamos un ejemplo.

Consideremos la serie geométrica de potencias p(z)=\displaystyle\sum^{\infty}_{j=0}z^{j}, de modo que los polinomios que la aproximan serán p_{m}(z)=\displaystyle\sum^{m}_{j=0}z^{j}. Recordemos que esta serie converge en el disco \left|z\right|<1. Un sencillo cálculo nos conduce al error E_{m}(z)=\displaystyle\frac{\left|z\right|^{m+1}}{\left|1-z\right|}. Si consideramos un z dentro del disco de convergencia, es claro que el error E_{m}(z) tiende a cero cuando m tiende a infinito. Por otro lado, fijado un valor de m, el error E_{m}(z) tiende a infinito cuando z se aproxima al punto z=1 sobre la circunferencia de convergencia.

Esto no contradice el resultado anterior: para cualquier z fijo, no importa cómo nos acerquemos a la circunferencia de convergencia, el error E_{m}(z) se tornará arbitrariamente pequeño cuando m tiende a infinito.

Este problema se evita si restringimos z al disco \left|z\right|\leq r, donde r<R, dado que esto impide que z se acerque arbitrariamente a la circunferencia de convergencia \left|z\right|=R. En un intento por aproximar p(z) dentro de este disco podemos hacer lo siguiente. Primero decidimos el error máximo (digamos \epsilon) que estamos dispuestos a soportar, y luego elegimos (de una vez por todas) una aproximación polinómica p_{m}(z) de grado suficientemente alto como para que el error sea menor que \epsilon a lo largo del disco. Es decir, a lo largo del disco, el punto de aproximación p_{m}(z)  está a una distancia menor que \epsilon del punto real p(z). Uno describe esto diciendo que p(z) es uniformemente convergente en este disco:

Si p(z) tiene disco de convergencia \left|z\right|<R, entonces p(z) es uniformemente convergente en el disco cerrado \left|z\right|\leq r, donde r<R.

Aunque puede que no tengamos la convergencia uniforme sobre el disco de convergencia completo, el resultado anterior muestra que esto es realmente un tecnicismo: tenemos convergencia uniforme en un disco que casi completa el disco de convergencia entero, digamos r=0,999999999R.


Fuente bibliográfica:

  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

 


 

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Vamos a considerar la convergencia de las series de potencias complejas, dejando de lado por el momento la cuestión acerca de si una función compleja dada puede ser expresada como tal serie.

Una serie de potencias complejas p(z) centrada en el origen es una expresión de la forma

p(z)=\displaystyle\sum^{\infty}_{j=0}c_{j}z^{j}=c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\cdots,

donde los coeficientes c_{j} son constantes complejas y z es una variable compleja. Las sumas parciales de esta serie infinita son precisamente polinomios ordinarios:

p_{n}(z)=\displaystyle\sum^{n}_{j=0}c_{j}z^{j}=c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\cdots+c_{n}z^{n}.

Para un valor dado z=a, se dice que la sucesión de puntos p_{1}(a), p_{2}(a),\ldots converge al punto A si para cualquier número positivo \epsilon, sin importar cuán pequeño sea, existe un entero positivo N tal que \left|A-p_{n}(a)\right|<\epsilon para todo valor de n mayor que N. La Figura 1 ilustra que esto es mucho más simple de lo que parece: todo lo que indica es que a partir de un cierto punto p_{N}(a) de la sucesión p_{1}(a), p_{2}(a),\ldots, todos los puntos a continuación de él pertenecen a un disco arbitrariamente pequeño de radio \epsilon centrado en A.

Figura 1

Figura 1

En este caso decimos que la serie de potencias p(z) converge a A en z=a, y escribimos p(a)=A. Si la sucesión p_{1}(a), p_{2}(a),\ldots no converge a un punto particular, entonces se dice que la serie de potencias p(z) diverge en z=a. De esta manera, para cada punto z, p(z) será convergente o divergente.

La Figura 2 muestra un zoom del disco de la Figura 1. Si n>m>N, entonces p_{m}(a) y p_{n}(a) pertenecen ambos a este disco, y en consecuencia la distancia entre ellos debe ser menor que el diámetro del disco:

\left|c_{m+1}a^{m+1}+c_{m+2}a^{m+2}+\cdots+c_{n}a^{n}\right|=\left|p_{n}(a)-p_{m}(a)\right|<2\epsilon.

Figura 2

Figura 2

Recíprocamente, podríamos demostrar que si se cumple esta condición entonces p(a) converge. Así, tenemos una nueva manera de expresar la definición de convergencia: p(a) converge si y sólo si existe un N tal que la desigualdad anterior se cumple (para \epsilon arbitrariamente pequeño) siempre que m y n sean ambos mayores que N.

La serie de potencias complejas p(z) se dice absolutamente convergente en z=a si la serie real

\tilde{p}(z)=\displaystyle\sum^{\infty}_{j=0}\left|c_{j}z^{j}\right|=\left|c_{0}\right|+\left|c_{1}z\right|+\left|c_{2}z^{2}\right|+\cdots,

converge. La convergencia absoluta es ciertamente diferente de la convergencia ordinaria. Por ejemplo, p(z)=\sum z^{j}/j es convergente en 1, pero no es absolutamente convergente allí. Por otro lado,

Si p(z) es absolutamente convergente en algún  punto, entonces también será convergente en ese punto.

Así, la convergencia absoluta es un requerimiento mucho más fuerte que la convergencia.

Para demostrar la afirmación, supongamos que p(z) es absolutamente convergente en z=a, de modo que (por definición) \tilde{p}(a) es convergente. En términos de las sumas parciales \tilde{p}_{n}(z)=\displaystyle\sum^{n}_{j=0}\left|c_{j}z^{j}\right| de la serie real \tilde{p}(z), esto dice que para valores suficientemente grandes de m y de n podemos hacer \left|\tilde{p}_{n}(a)-\tilde{p}_{m}(a)\right| tan pequeño como se quiera. Pero, de la Figura 2, vemos que

\tilde{p}_{n}(a)-\tilde{p}_{m}(a)=\left|c_{m+1}a^{m+1}\right|+\left|c_{m+2}a^{m+2}\right|+\cdots+\left|c_{n}a^{n}\right|

es la longitud total del recorrido desde p_{m}(a) a p_{n}(a) pasando por p_{m+1}(a), p_{m+2}(a), etc. Como \left|p_{n}(a)-p_{m}(a)\right| es la longitud del recorrido más corto desde p_{m}(a) a p_{n}(a),

\left|p_{n}(a)-p_{m}(a)\right|\leq\tilde{p}_{n}(a)-\tilde{p}_{m}(a).

Así, \left|p_{n}(a)-p_{m}(a)\right| debe tambien ser arbitrariamente pequeño para m y n suficientemente grande.

Habiendo demostrado la afirmación anterior, podemos ahora establecer el siguiente hecho:

Si p(z) converge en z=a, entonces también converge en todo punto dentro del disco \left|z\right|<\left|a\right|

Analicemos la Figura 3. En efecto, demostraremos que p(z) es absolutamente convergente en este disco, pues así el resultado será directo de la afirmación ya demostrada.

Figura 3

Figura 3

Si p(a) converge, de nuestro curso de análisis real seguramente sabemos que debe existir un número M tal que \left|c_{n}a^{n}\right|<M para todo n. Si \left|z\right|<\left|a\right|, entonces \rho=\left|z\right|/\left|a\right|<1 y así \left|c_{n}a^{n}\right|<M\rho^{n}. Así,

\displaystyle\tilde{p}_{n}(z)-\tilde{p}_{m}(z)\leq M\left(\rho^{m+1}+\rho^{m+2}+\vdots+\rho^{n}\right)=\frac{M}{1-\rho}\left(\rho^{m+1}-\rho^{n+1}\right),

donde el miembro de la derecha es tan pequeño como se quiera para m y n suficientemente grandes. Esto concluye la demostración de la segunda afirmación.

Si p(z) no converge en ningún punto del plano entonces debe existir al menos un punto d donde diverge. Supongamos que p(z) fuera a converger en algún punto p cuya distancia al origen es mayor que d. Retornemos a la Figura 3. Por lo que demostramos recién debería converger en todo punto dentro del disco \left|z\right|<\left|p\right|, y en particular debería hacerlo en d, lo que contradice nuestra hipótesis inicial. Por lo tanto,

Si p(z) diverge en z=d, entonces también será divergente en cada punto fuera de la circunferencia \left|z\right|=\left|d\right|.

A estas alturas hemos resuelto la cuestión acerca de la convergencia en todas partes excepto en el «anillo de la duda» que aparece en la Figura 3: \left|a\right|\leq\left|z\right|\leq\left|d\right|. Supongamos que tomamos un punto q a medio camino del anillo de la duda, es decir, en la circunferencia \left|a\right|=\frac{\left|a\right|+\left|d\right|}{2}. Analicemos si p(q) es convergente o divergente. Sin importar el resultado, las dos afirmaciones anteriores nos permiten obtener un nuevo anillo de duda que es la mitad de ancho que el anterior. Por ejemplo, si p(q) es convergente entonces p(z) es convergente para \left|z\right|<q, y el nuevo anillo de duda es \left|q\right|\leq\left|z\right|\leq\left|d\right|. Reiterando entre proceso de prueba en el nuevo anillo obtendremos uno con la mitad de ancho. Continuando de esta manera, el anillo de duda se angostará hasta alcanzar una circunferencia definitiva \left|z\right|=R (llamada la circunferencia de convergencia) tal que p(z) converge en todo punto interior a ella y diverge en todo punto exterior a la circunferencia.

Figura 4

Figura 4

Al radio R se lo llama el radio de convergencia, y al interior de la circunferencia se lo llama el disco de convergencia.

Nótese que este argumento nada dice acerca de la convergencia de p(z) sobre la circunferencia de convergencia, y es posible encontrar en la literatura ejemplos de series de potencias para las cuales la convergencia se da sobre todos, algunos o ninguno de los puntos en ella.

Cada uno de los resultados anteriores se generaliza inmediatamente a series de potencias centradas en un punto arbitrario k, de modo que resta enunciar el resultado principal (debido a Niels Abel) en forma general:

Dada una serie de potencias compleja p(z) centrada en k, existe una circunferencia \left|z-k\right|=R centrada en k tal que p(z) converge en todo punto dentro de la circunferencia, y p(z) diverge en todo punto fuera de ella.

De hecho, podemos tener una serie que sea convergente en todo punto del plano complejo, en cuyo caso pensamos en el caso límite en el que la circunferencia de convergencia es infinitamente grande.


Fuente bibliográfica:

  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

 

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Varias funciones reales f(x) pueden ser expresadas (por ejemplo mediante el Teorema de Taylor) como una serie de potencias:

f(x)=\displaystyle\sum^{\infty}_{j=0}a_{j}x^{j}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots

donde los a_{j} son constantes reales. Por supuesto, esta serie infinita normalmente será convergente a f(x) sólo en algún intervalo de convergencia centrado en el origen -R<x<R. La pregunta es… ¿cómo determinamos el valor de R, llamado el radio de convergencia, para una determinada f(x)?

Esta pregunta tiene una respuesta muy simple si la planteamos en el contexto del campo complejo, en tanto que si nos restringimos a la recta real, como sucedía en la época en que estas series comenzaron a transitar los escritos matemáticos, la relación entre $latex R$ y f(x) se torna absolutamente misteriosa. Fue precisamente este halo de misterio lo que llevó a Cauchy, mientras investigaba la convergencia de las soluciones mediante series a la ecuación de Kepler que describe dónde se ubica un planeta en su órbita en cualquier instante, a avanzar varios pasos en el ámbito del análisis complejo.

Veamos entonces cuál era el misterio en cuestión. Consideremos las representaciones en series de potencias de las funciones

g(x)=\displaystyle\frac{1}{1-x^{2}}

y
h(x)=\displaystyle\frac{1}{1+x^{2}}

La familiar serie geométrica infinita que todos conocemos de nuestro curso de cálculo nos dice que

\displaystyle\frac{1}{1-x}=\sum^{\infty}_{j=0}x^{j}

si y sólo si -1<x<1, de modo que inmediatamente deducimos que

g(x)=\displaystyle\sum^{\infty}_{j=0}x^{2j}

y

h(x)=\displaystyle\sum^{\infty}_{j=0}(-1)^{j}x^{2j},

donde ambas series tienen el mismo intervalo de convergencia}, -1<x<1.

Resulta fácil entender el intervalo de convergencia de la serie para g(x) si miramos el gráfico de la Figura 1. La serie se torna divergente en x=\pm 1 debido a que estos puntos son singularidades de la función, es decir, son lugares donde \left|g(x)\right| se vuelve infinito.

Figura 1

Pero si miramos el gráfico de la Figura 2 correspondiente a y=\left|h(x)\right|, no pareciera haber una razón para que la serie se quiebre en x=\pm 1. Sin embargo lo hace.

Figura 2

Figura 2

Para comenzar a entender esto, desarrollemos estas funciones en series de potencias centradas en x=k, en lugar de en el origen como lo hemos hecho. Es decir, buscamos series de la forma \sum^{\infty}_{j=0}a_{j}X^{j}, con X=x-k, que no es otra cosa que una medida del desplazamiento de x a partir del centro k.

Para determinar el desarrollo de la función g(x) comencemos por generalizar el desarrollo de la serie geométrica, desarrollando ahora la función x) alrededor de k:

\displaystyle\frac{1}{a-x}=\frac{1}{a-(X+k)}=\frac{1}{(a-k)}\frac{1}{\left(1-\left(\frac{X}{a-k}\right)\right)}

de modo que

\displaystyle\frac{1}{a-x}=\sum^{\infty}_{j=0}\frac{X^{j}}{(a-k)^{j+1}},

si y sólo si \left|\frac{X}{a-k}\right|<1, o lo que es lo mismo, \left|X\right|<\left|a-k\right|.

Apliquemos ahora este resultado para obtener el desarrollo buscado de g(x). El truco es expresar el denominado como x)(1+x), descomponer la función en fracciones parciales y emplear el resultado anterior. Así,

\displaystyle\frac{1}{1-x^{2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{-1-x}\right)=\frac{1}{2}\sum^{\infty}_{j=0}\left(\frac{1}{(1-k)^{j+1}}-\frac{1}{(-1-k)^{j+1}}\right)X^{j},

válido si y sólo si \left|X\right|<\left|1-k\right| y \left|X\right|<\left|1+k\right|. Por ende, el intervalo de convergencia \left|X\right|<R está dado por

R=\min\left\{\left|1-k\right|,\left|1+k\right|\right\},

es decir, R es la distancia de k a la singularidad más cercana de la función g.

Es posible que el lector se vea tentado a estas alturas de replicar el método para determinar el desarrollo de la función h(x) alrededor de k, pero de inmediato vemos que las singularidades en este caso son números complejos (más precisamente, se trata de \pm i), de modo que automáticamente debemos intentar otra alternativa.

Dibujemos la recta real embebida en un plano, que identificaremos con el plano complejo \mathbb{C}. Notemos que con  la ayuda del Teorema de Pitágoras es fácil obtener la distancia R de k a los valores que anulan el denominador  de la función h: R=\sqrt{1+k^{2}} (Véase la Figura 3.)

Figura 3

Figura 3

El misterio comienza a desentrañarse cuando miramos la función compleja h_{1}(z)=1/(1+z^{2}), que coincide con h(x) cuando restringimos los valores de z al eje real del plano complejo. De hecho, h_{1}(z) es la única función compleja que coincide con h en la recta real (hecho que develaremos más adelante en este blog).

Mientras que la Figura 2 muestra que h_{1}(z) presenta un buen comportamiento para valores reales de z, es claro que h_{1}(z) tiene dos singularidades en el plano complejo, tal como hemos observado. Estas han sido identificadas claramente en la Figura 3. La Figura 4 intenta hacer más transparente la situación describiendo el comportamiento de la superficie modular de h_{1}(z), donde las singularidades en \pm i aparecen como «volcanes» en erupción arriba de estos puntos.

Figura 4

Figura 4

El misterio ha desaparecido por completo… en ambas funciones el radio de convergencia es la distancia a la singularidad más cercana.

Si intersectamos la superficie de la Figura 4 con un plano vertical que pase por el eje real tendremos la imagen de la Figura 2. Pero si imaginariamente comenzamos a desplazar el plano a lo largo del eje imaginario entonces llegaremos a un punto en el cual aparecerá algo similar al gráfico en la Figura 1. Esto no es ningún accidente fortuito, por el contrario, debemos notar que g(x) es la restricción al eje real de la función g_{1}(z)=1/(1-z^{2}). Como g_{1}(z)=h_{1}(iz), las funciones g_{1} y h_{1} son esencialmente las mismas: Si rotamos el plano con un ángulo igual a \pi/2 y a continuación aplicamos h_{1} obtenemos g_{1}. En particular entonces, la superficie modular de g_{1} es simplemente la superficie de la Figura 3 rotada un ángulo igual a \pi/2, por lo que los «volcanes» pasan de \pm i a ubicarse en \pm 1.

 


Fuente bibliográfica:

  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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