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Raíz cuadrada de dos es irracional

Posted in Análisis Real, Producción propia, tagged Números enteros, Números irracionales, Números naturales, Números racionales, Números reales, Raíz cuadrada de dos on 17 septiembre 2014| 3 Comments »

Hacia el final de su distinguida carrera, el famoso matemático británico Godfrey Harold Hardy (1877 – 1947) expuso de manera elocuente una justificación para una vida dedicada al estudio de la matemática en Apología de un Matemático, un ensayo publicado por primera vez en 1940. El centro de la defensa de Hardy es que la matemática es una disciplina estética. Para Hardy, la matemática aplicada de ingenieros y economistas tiene poco encanto.

G. H. Hardy

Para explicar su punto de vista, Hardy incluye dos teoremas de las matemáticas griegas clásicas que, a su juicio, poseen un tipo escurridizo de belleza que, aunque difícil de definir, es fácil de reconocer. El primero de estos resultados es la demostración de Euclides de la existencia de un número infinito de números primos. El segundo resultado es el descubrimiento, atribuido a la escuela de Pitágoras alrededor del año 500 a.C., de la irracionalidad de $\sqrt{2}$ . Es este segundo teorema el que exige nuestra atención. (Un curso de teoría de números se centraría en el primer resultado.) El argumento solo utiliza aritmética, pero su profundidad e importancia no puede ser exagerada. Como dice Hardy, «es un simple teorema, simple tanto en su idea como en su ejecución, pero no hay duda en absoluto de que sea de una clase muy alta. Es tan fresco y significativo como cuando fue descubierto –dos mil años no han escrito ni una arruga sobre él.»

Teorema 1: No existe un número racional cuyo cuadrado es $2$ .

Dem. Un número racional es cualquier número que puede expresarse en la forma $p/q$ , donde $p$ y $q$ son enteros. Así, el teorema afirma que no importa cómo sean elegidos $p$ y $q$ , nunca resultará que $(p/q)^{2}=2$ . Atacaremos la demostración de manera indirecta, utilizando un tipo de argumento conocido como demostración por contradicción. La idea es suponer que existe un número racional cuyo cuadrado es $2$ y luego elaborar una secuencia lógica hasta llegar a una conclusión que resulte inaceptable. En este punto, nos veremos obligados a volver sobre nuestros pasos y rechazar la errónea suposición de que algún número racional elevado al cuadrado es igual a $2$ . En resumen, demostraremos que el teorema es verdadero demostrando que no puede ser falso.

Supongamos entonces, por contradicción, que existen enteros $p$ y $q$ que satisfacen

$\displaystyle\left(\frac{p}{q}\right)^{2}=2$

Podemos asumir que $p$ y $q$ no tienen factores comunes, pues, si los tuvieran, podríamos simplificarlos y escribir nuevamente la fracción sin factores comunes. Ahora, la ecuación arriba implica

$p^{2}=2 q^{2}.$

De esto vemos que el entero $p^{2}$ es un número par (por ser divisible por $2$ ), y por tanto $p$ debe ser par también dado que el cuadrado de un número impar es impar. Esto nos permite escribir $p=2r$ , donde $r$ es también un entero. Si sustituimos $2r$ por $p$ en la ecuación arriba, entonces un mínimo de álgebra establece la relación

$2r^{2}=q^{2}.$

Pero estamos ante una situación absurda. Esta última ecuación implica que $q^{2}$ es par, y de ahí que $q$ debe ser par. Resulta entonces que $p$ y $q$ son ambos pares (es decir, divisibles por $2$ ) cuando ellos originalmente no tenían factores comunes. A partir de esta secuencia lógica, sólo podemos concluir que la ecuación $\left(\frac{p}{q}\right)^{2}=2$ no puede sostenerse para cualesquiera números enteros $p$ y $q$ , y por lo tanto hemos demostrado el teorema. $\clubsuit$

Una de las componentes de la definición de Hardy de belleza de un teorema matemático es que el resultado tiene graves y serias implicaciones en un entretejido de otras ideas matemáticas. En este caso, las ideas bajo la lupa eran la comprensión de los griegos de la relación entre la longitud geométrica y el número aritmético. Antes del descubrimiento precedente, era un hecho asumido y completamente en uso que, dados dos segmentos de recta $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ , siempre sería posible hallar un tercer segmento de recta cuya longitud se divide uniformemente en los otros dos. En la terminología moderna, esto equivale a la afirmación de que la longitud de $\overline{CD}$ es un múltiplo racional de la longitud de $\overline{AB}$ . Mirando la diagonal de un cuadrado unitario (Figura 1), en la actualidad sabemos (usando el Teorema de Pitágoras) que este no es siempre el caso. Debido a que los pitagóricos interpretaron al número como número racional, se vieron obligados a aceptar que la noción de número era estrictamente más débil que la de longitud.

Figura 1

En lugar de abandonar la aritmética a favor de la geometría (como los griegos parecen haber hecho), nuestra salida a esta limitación es fortalecer el concepto de número al pasar de los números racionales a un sistema numérico más grande. Desde un punto de vista moderno, esto debe parecer un fenómeno familiar y algo natural. Comenzamos con los números naturales

$\mathbb{N}=\left\{1,2,3,4,5,\ldots\right\}.$

El influyente matemático alemán Leopold Kronecker (1823 – 1891) afirmó una vez que «Los números naturales son obra de Dios. Todo el resto es obra del hombre». Esta afirmación nos proporciona un punto de partida. Si restringimos nuestra atención a los números naturales $\mathbb{N}$ , entonces podemos realizar perfectamente bien sumas, pero tenemos que ampliar nuestro sistema a los números enteros

$\mathbb{Z}=\left\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\right\}$

si queremos tener una identidad aditiva (cero) y los inversos aditivos necesarios para definir la resta. La siguiente cuestión es la multiplicación y la división. El número $1$ actúa como identidad multiplicativa, pero con el fin de definir la división necesitamos tener inversos multiplicativos. Por lo tanto, extendemos nuestro sistema una vez más a los números racionales

$\mathbb{Q}=\left\{\mbox{todas las fracciones }\frac{p}{q}\mbox{ donde }p\mbox{ y }q\mbox{ son enteros con }q\neq0\right\}.$

En conjunto, las propiedades de $\mathbb{Q}$ discutidas en el párrafo anterior constituyen esencialmente la definición de lo que se conoce como cuerpo o campo. De manera más formal, un cuerpo es un conjunto en el que la suma y la multiplicación son operaciones bien definidas que son conmutativas, asociativas y obedecen la propiedad distributiva familiar $a(b+c)=ab+ac$ . Debe existir una identidad aditiva, y cada elemento debe tener un inverso aditivo. Por último, debe existir una identidad multiplicativa y cada elemento distinto de cero del cuerpo debe tener inverso multiplicativo. Ni $\mathbb{Z}$ ni $\mathbb{N}$ son cuerpos. El conjunto finito $\left\{0,1,2,3,4\right\}$ es un cuerpo cuando la adición y la multiplicación son calculadas módulo $5$ . Esto no es inmediatamente evidente pero resulta ser un ejercicio interesante.

El conjunto $\mathbb{Q}$ también tiene un orden natural definido en él. Dados dos números racionales cualesquiera $r$ y $s$ , exactamente uno de los siguientes hechos es verdadero:

$r<s,\quad r=s\quad\mbox{o }r>s.$

Este ordenamiento es transitivo en el sentido que si $r<s$ y $s<t$ , entonces $r<t$ , lo que nos conduce a una conveniente imagen mental de los números racionales como ubicados de izquierda a derecha a lo largo de una recta numérica. A diferencia de $\mathbb{Z}$ , no hay intervalos de espacio vacío. Dados dos números racionales $r<s$ , el número racional $(r+s)/2$ se ubica a mitad de camino entre ellos, implicando que los números racionales están densamente distribuidos.

Con las propiedades de cuerpo de $\mathbb{Q}$ estamos habilitados a efectuar con seguridad las operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación y división, pero debemos recordar en qué sentido $\mathbb{Q}$ es insuficiente. El Teorema 1 muestra que no siempre podemos tomar raíces cuadradas. Sin embargo, el problema en realidad es más fundamental que esto. Usando solo números racionales, es posible aproximarse bastante bien a $\sqrt{2}$ (Figura 2). Por ejemplo, $1,414^{2}=1,999396$ . Mediante la adición de más decimales a nuestra aproximación, podemos acercarnos aún más a un valor de $\sqrt{2}$ pero, aún así, hoy somos conscientes de que hay un «agujero» en la recta de números racionales en el que debería estar $\sqrt{2}$ . Por supuesto, hay un buen número de agujeros –en $\sqrt{3}$ y $\sqrt{5}$ , por ejemplo. Volviendo al dilema de los antiguos matemáticos griegos, si queremos que cada longitud a lo largo de la recta numérica se corresponda con un número real necesitamos entonces otra extensión de nuestro sistema númerico. Por lo tanto, a la cadena $\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}$ añadimos los números reales $\mathbb{R}$ .

Figura 2

La cuestión de cómo construir realmente $\mathbb{R}$ a partir de $\mathbb{Q}$ es un negocio bastante complicado. Lo discutiremos más adelante en este blog. Por el momento, no es demasiado inexacto decir que $\mathbb{R}$ se obtiene llenando los vacíos en $\mathbb{Q}$ . Donde quiera que haya un agujero, un nuevo número irracional se define y se ubica en el orden que ya existe para $\mathbb{Q}$ . Los números reales son entonces la unión de estos números irracionales, junto con los familiares números racionales. ¿Qué propiedades tiene el conjunto de los números irracionales? ¿Cómo encajan los conjuntos de números racionales junto a los irracionales? ¿Hay una especie de simetría entre los racionales y los irracionales, o hay algún sentido en el que podemos argumentar que un tipo de número real es más común que el otro? El único método que hemos visto hasta ahora para generar ejemplos de números irracionales es a través de raíces cuadradas. No es demasiado sorprendente que otras raíces como $\sqrt[3]{2}$ o $\sqrt[5]{3}$ son más frecuentemente irracionales. ¿Pueden todos los números irracionales expresarse como combinaciones algebraicas de raíces n-ésimas y números racionales, o hay todavía otros números irracionales más allá de estas formas?

Intentaremos responder a estas preguntas en próximas entradas…

Referencias bibliográficas:

Abbott, Stephen (2010) Understanding Analysis. Springer.

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