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Posts Tagged ‘Números racionales’

En la entrada anterior hice referencia a la definición de Cardinalidad de un conjunto. Hoy nos dedicaremos a hablar de aquellos conjuntos que tienen  la misma cardinalidad que el conjunto de los números naturales.

Un conjunto A es numerable si \mathbb{N}\sim A. Un conjunto infinito que no es numerable se llama conjunto no numerable.

Cabe citar que mucha literatura se refiere a los conjuntos que están en correspondencia uno a uno con el conjunto de los números naturales como “infinitos” numerables, de modo que los conjuntos finitos son considerados también numerables. No hilaremos tan fino aquí, al menos por el momento.

Por ejemplo, el conjunto E de todos los números enteros pares así como \mathbb{Z} son conjuntos numerables. Poner un conjunto en una correspondencia 1-1 con \mathbb{N} significa poner todos los elementos en una infinitamente larga lista o sucesión. Es fácil ver que esto es sumamente sencillo de hacer para E (verdad?). Una pregunta natural que surge es si todos los conjuntos infinitos son numerables. Dado un conjunto infinito como \mathbb{Q} o \mathbb{R}, podría parecer como si, con la inteligencia suficiente, debiéramos ser capaces de disponer todos los elementos de nuestro conjunto en una sola lista (es decir, en una correspondencia uno a uno con \mathbb{N}). Después de todo, esta lista es infinitamente larga así que debe haber un montón de “lugares”. Pero, por desgracia, como señala Hardy, “El tema [de la matemática] es el más curioso de todos –no hay ninguno en el que la verdad juegue tales bromas extrañas.”


Teorema. El conjunto \mathbb{Q} es numerable.

Dem. Para cada n\in\mathbb{N}, sea A_{n} el conjunto dado por

A_{n}=\left\{\pm\frac{p}{q}:p,q\in\mathbb{N}\text{ are in lowest terms con }p+q=n\right\}.

Algunos pocos, los primeros, de estos conjuntos lucen como

A_{1}=\left\{\frac{0}{1}\right\},A_{2}=\left\{\frac{1}{1},\frac{-1}{1}\right\},A_{3}=\left\{\frac{1}{2},\frac{-1}{2},\frac{2}{1},\frac{-2}{1}\right\}

A_{4}=\left\{\frac{1}{3},\frac{-1}{3},\frac{3}{1},\frac{-3}{1}\right\}

y

A_{5}=\left\{\frac{1}{4},\frac{-1}{4},\frac{2}{3},\frac{-2}{3},\frac{3}{2},\frac{-3}{2},\frac{4}{1},\frac{-4}{1}\right\}.

La observación clave es que cada A_{n} es finito y todo número racional aparece exactamente en uno de estos conjuntos. Nuestra correspondencia 1-1 con \mathbb{N} es entonces alcanzada listando de manera consecutiva los elementos en cada A_{n}.

Es cierto, el lector atento estará pensando con razón que escribir una fórmula explícita para esta correspondencia sería una tarea difícil, y tratar de hacerlo no es el mejor uso del tiempo. Lo que importa es ver por qué cada número racional aparece en la correspondencia exactamente una vez. Por ejemplo, para 22/7, tenemos que 22/7\in A_{29}. Debido a que el conjunto de elementos en A_{1},\ldots,A_{28} es finito, podemos estar seguros de que 22/7 con el tiempo va a incluirse en la sucesión. El hecho de que esta línea de razonamiento se aplica a cualquier número p/q racional es nuestra prueba de que la correspondencia es sobre. Para verificar que es 1-1, se observa que los conjuntos A_{n} se construyeron disjuntos de modo que ningún número racional aparece dos veces. \clubsuit


Teorema. El conjunto \mathbb{R} es no numerable.

Dem. Supongamos que sí existe una función 1-1 y sobre f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}. Una vez más, lo que esto sugiere es que es posible enumerar los elementos de \mathbb{R}. Si hacemos x_{1}=f(1), x_{2}=f(2), y así sucesivamente, entonces nuestra suposición de que f es sobre significa que podemos escribir

\mathbb{R}=\left\{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots\right\}

y estar seguros de que todo número real aparece en algún lugar de la lista. Ahora usaremos el Principio de los intervalos encajados para producir un número real que no está allí.

Sea I_{1} un intervalo cerrado que no contiene a x_{1}. A continuación, sea I_{2} un intervalo cerrado, contenido en I_{1}, que no contiene a x_{2}. La existencia de un I_{2} de este tipo es fácil de verificar. Ciertamente I_{1} contiene dos intervalos cerrados disjuntos más pequeños, y x_{2} sólo puede estar en uno de ellos. En general, dado un intervalo de I_{n}, construimos I_{n+1} de modo que

  • I_{n+1}\subseteq I_{n}
  • x_{n+1}\notin I_{n+1}

Ahora consideramos la intersección \bigcap^{\infty}_{n=1}I_{n}. Si x_{n_{0}} es algún número real de la lista anterior, entonces tenemos x_{n_{0}}\notin I_{n_{0}}, y se deduce que

x_{n_{0}}\notin\bigcap^{\infty}_{n=1}I_{n}.

Ahora, estamos asumiendo que la lista anterior contiene todos los números reales, y esto lleva a la conclusión de que

\bigcap^{\infty}_{n=1}I_{n}=\emptyset.

Sin embargo, el Principio de los intervalos encajados afirma que \bigcap^{\infty}_{n=1}I_{n}\neq\emptyset. Así, existe al menos un x\in\bigcap^{\infty}_{n=1}I_{n} que, en consecuencia, no se puede estar en la lista dada arriba. Esta contradicción significa que es imposible una enumeración de \mathbb{R}, y llegamos a la conclusión de que \mathbb{R} es un conjunto no numerable. \clubsuit


Pero… ¿qué es exactamente lo que deberíamos hacer con este descubrimiento? Es un ejercicio importante demostrar que cualquier subconjunto de un conjunto numerable debe ser numerable o finito, lo que no debería sorprender demasiado al lector. Si un conjunto se puede organizar en una sola lista, entonces eliminar algunos elementos de esta lista da por resultado otra lista (más corta, y potencialmente con un final). Esto significa que los conjuntos numerables son el tipo más pequeño de conjunto infinito. Cualquier cosa más pequeña es aún numerable ó finita.

La fuerza del Teorema anterior es que la cardinalidad de \mathbb{R} es, hablando informalmente, un tipo más grande de infinitud. Los números reales superan en número a los números naturales por lo que no podemos mapear a \mathbb{N} sobre \mathbb{R}. No importa cómo lo intentemos, siempre sobran números reales. El conjunto \mathbb{Q}, por otro lado, es numerable. ¿Qué implica esto acerca del conjunto \mathbb{I} de los números irracionales? Al imitar la demostración de que \mathbb{N}\sim\mathbb{Z}, podemos demostrar que la unión de dos conjuntos numerables debe ser numerable. Debido a que \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}, se deduce que no puede ser numerable porque de lo contrario lo sería \mathbb{R}. La conclusión ineludible es que, a pesar de que hemos encontrado tan pocos de ellos, los números irracionales forman un subconjunto mucho mayor que \mathbb{Q} de \mathbb{R}.

Por último, los dejo una vez más con el Dr. Paenza pensando acerca de los conjuntos infinitos…


Referencias bibliográficas:

  • Abbott, Stephen (2010) Understanding Analysis. Springer.
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Nuestro título de hoy es: \mathbb{Q} es denso en \mathbb{R}, y no se trata de una persona que se torna un tanto insoportable en un determinado ambiente. Veremos que la densidad es una propiedad interesante que se da entre estos dos conjuntos, y es otra de las aplicaciones del Axioma de Completitud.

Pero antes, recordemos algunos detalles y demostremos otros.

El conjunto \mathbb{Q} es una extensión de \mathbb{N}, y \mathbb{R} es una extensión de \mathbb{Q}. Los próximos resultados indican cómo \mathbb{N} y \mathbb{Q} “encajan” dentro de \mathbb{R}.


Propiedad Arquimediana: 

  • Dado cualquier número x\in\mathbb{R}, existe un n\in\mathbb{N} que satisface n>x.
  • Dado cualquier número real y>0, existe un n\in\mathbb{N} que satisface 1/n<y.

Dem. La primera parte de la propiedad establece que \mathbb{N} no está acotado superiormente. Nunca ha habido ninguna duda acerca de la verdad de esto, y se podría argumentar razonablemente que no deberíamos tener que demostrarlo en absoluto. Este es un punto de vista legítimo, especialmente a la luz del hecho de que hemos decidido asumir otras propiedades familiares de \mathbb{N}, \mathbb{Z} y \mathbb{Q} como dadas en las entradas anteriores.

El argumento en contra es que vamos a probarlo porque podemos. Un conjunto puede poseer la Propiedad Arquimediana sin ser completo —\mathbb{Q} es un buen ejemplo– pero una demostración de este hecho requiere una buena dosis de escrutinio en la construcción axiomática del cuerpo ordenado en cuestión. En el caso de \mathbb{R}, el Axioma de Completitud nos proporciona un argumento muy corto. Un gran número de profundos resultados depende en última instancia de esta relación entre \mathbb{R} y \mathbb{N}, así que tener una prueba para ello añade un poco de seguridad extra para estos próximos argumentos.

De modo que sin dilatarlo más iniciamos aquí la demostración. Supongamos, por contradicción, que \mathbb{N} está acotado superiormente. Por el Axioma de Completitud, \mathbb{N} debe entonces tener una menor cota superior, digamos \alpha=\sup\mathbb{N}. Si consideramos \alpha-1, entonces ya no tenemos una cota superior (Recordar Caracterizando un supremo), y por lo tanto existe un n\in\mathbb{N} que satisface \alpha-1<n. Pero esto es equivalente a \alpha<n+1. Como n+1\in\mathbb{N}, tenemos una contradicción con el hecho de que \alpha se supone que es una cota superior de \mathbb{N}. (Observemos que la contradicción sólo depende del Axioma de Completitud y del hecho de que \mathbb{N} es cerrado bajo la adición.)

La segunda parte se sigue de la primera tomando x=1/y. \clubsuit


Esta familiar propiedad de \mathbb{N} es la clave para un hecho extremadamente importante acerca de cómo \mathbb{Q} encaja dentro de \mathbb{R}.

De más está decir que su nombre se asocia al famoso matemático griego Arquímedes de Siracusa (aproximadamente 287 a.C. – 212 a.C.)


Densidad de \mathbb{Q} en \mathbb{R}.

Para cualesquiera dos números reales a y b con a<b, existe un número racional r que satisface a<r<b.

Dem. Por simplicidad, asumimos que 0\leq a<b. El caso en que a<0 se sigue rápidamente de este. Un número racional es un cociente de enteros, de modo que debemos producir m,n\in\mathbb{N} de modo que

a<\frac{m}{n}<b

El primer paso es elegir el denominador n suficientemente grande como para que incrementos sucesivos de tamaño 1/n estén suficientemente cerca al “pararse sobre” el intervalo (a,b).

Usando la Propiedad Arquimediana, podemos tomar n\in\mathbb{N} suficientemente grande de modo que

\frac{1}{n}<b-a

Multiplicando la desigualdad anterior por n obtenemos na<m<nb. Con el n ya elegido, la idea ahora es elegir m como el menor número natural mayor que na. En otras palabras, tomamos m\in\mathbb{N} tal que

m-1\leq na

y

na<m

Ahora, de la desigualdad anterior inmediatamente se cumple que a<m/n, que es la mitad del objetivo. Teniendo en mente que la desigualdad anterior es equivalente a a<b-1/n, podemos usar una de las desigualdades anteriores para escribir

Como m<nb implica m/n<b, tenemos a<m/n<b, como queríamos. \clubsuit


Este Teorema puede ser redactado de otra manera diciendo que \mathbb{Q} es denso en \mathbb{R}. Sin mayor esfuerzo, podemos usar este resultado para demostrar que también los números irracionales son densos en \mathbb{R}.

Pero antes de irnos hoy, los invito a pensar la relación de lo que hemos visto y el siguiente planteo del Dr. Paenza en su programa Alterados por Pi


Referencias bibliográficas:

  • Abbott, Stephen (2010) Understanding Analysis. Springer.

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Hacia el final de su distinguida carrera, el famoso matemático británico Godfrey Harold Hardy (1877 – 1947) expuso de manera elocuente una justificación para una vida dedicada al estudio de la matemática en Apología de un Matemático, un ensayo publicado por primera vez en 1940. El centro de la defensa de Hardy es que la matemática es una disciplina estética. Para Hardy, la matemática aplicada de ingenieros y economistas tiene poco encanto.

G. H. Hardy

Para explicar su punto de vista, Hardy incluye dos teoremas de las matemáticas griegas clásicas que, a su juicio, poseen un tipo escurridizo de belleza que, aunque difícil de definir, es fácil de reconocer. El primero de estos resultados es la demostración de Euclides de la existencia de un número infinito de números primos. El segundo resultado es el descubrimiento, atribuido a la escuela de Pitágoras alrededor del año 500 a.C., de la irracionalidad de \sqrt{2}. Es este segundo teorema el que exige nuestra atención. (Un curso de teoría de números se centraría en el primer resultado.) El argumento solo utiliza aritmética, pero su profundidad e importancia no puede ser exagerada. Como dice Hardy, “es un simple teorema, simple tanto en su idea como en su ejecución, pero no hay duda en absoluto de que sea de una clase muy alta. Es tan fresco y significativo como cuando fue descubierto –dos mil años no han escrito ni una arruga sobre él.”


Teorema 1: No existe un número racional cuyo cuadrado es 2.

Dem. Un número racional es cualquier número que puede expresarse en la forma p/q, donde p y q son enteros. Así, el teorema afirma que no importa cómo sean elegidos p y q, nunca resultará que (p/q)^{2}=2. Atacaremos la demostración de manera indirecta, utilizando un tipo de argumento conocido como demostración por contradicción. La idea es suponer que existe un número racional cuyo cuadrado es 2 y luego elaborar una secuencia lógica hasta llegar a una conclusión que resulte inaceptable. En este punto, nos veremos obligados a volver sobre nuestros pasos y rechazar la errónea suposición de que algún número racional elevado al cuadrado es igual a 2. En resumen, demostraremos que el teorema es verdadero demostrando que no puede ser falso.

Supongamos entonces, por contradicción, que existen enteros p y q que satisfacen

\displaystyle\left(\frac{p}{q}\right)^{2}=2

Podemos asumir que p y q no tienen factores comunes, pues, si los tuvieran, podríamos simplificarlos y escribir nuevamente la fracción sin factores comunes. Ahora, la ecuación arriba implica

p^{2}=2 q^{2}.

De esto vemos que el entero p^{2} es un número par (por ser divisible por 2), y por tanto p debe ser par también dado que el cuadrado de un número impar es impar. Esto nos permite escribir p=2r, donde r es también un entero. Si sustituimos 2r por p en la ecuación arriba, entonces un mínimo de álgebra establece la relación

2r^{2}=q^{2}.

Pero estamos ante una situación absurda. Esta última ecuación implica que q^{2} es par, y de ahí que q debe ser par. Resulta entonces que p y q son ambos pares (es decir, divisibles por 2) cuando ellos originalmente no tenían factores comunes. A partir de esta secuencia lógica, sólo podemos concluir que la ecuación \left(\frac{p}{q}\right)^{2}=2 no puede sostenerse para cualesquiera números enteros p y q, y por lo tanto hemos demostrado el teorema. \clubsuit


Una de las componentes de la definición de Hardy de belleza de un teorema matemático es que el resultado tiene graves y serias implicaciones en un entretejido de otras ideas matemáticas. En este caso, las ideas bajo la lupa eran la comprensión de los griegos de la relación entre la longitud geométrica y el número aritmético. Antes del descubrimiento precedente, era un hecho asumido y completamente en uso que, dados dos segmentos de recta \overline{AB} y \overline{CD}, siempre sería posible hallar un tercer segmento de recta cuya longitud se divide uniformemente en los otros dos. En la terminología moderna, esto equivale a la afirmación de que la longitud de \overline{CD} es un múltiplo racional de la longitud de \overline{AB}. Mirando la diagonal de un cuadrado unitario (Figura 1), en la actualidad sabemos (usando el Teorema de Pitágoras) que este no es siempre el caso. Debido a que los pitagóricos interpretaron al número como número racional, se vieron obligados a aceptar que la noción de número era estrictamente más débil que la de longitud.

Figura 1

En lugar de abandonar la aritmética a favor de la geometría (como los griegos parecen haber hecho), nuestra salida a esta limitación es fortalecer el concepto de número al pasar de los números racionales a un sistema numérico más grande. Desde un punto de vista moderno, esto debe parecer un fenómeno familiar y algo natural. Comenzamos con los números naturales

\mathbb{N}=\left\{1,2,3,4,5,\ldots\right\}.

El influyente matemático alemán Leopold Kronecker (1823 – 1891) afirmó una vez que “Los números naturales son obra de Dios. Todo el resto es obra del hombre”. Esta afirmación nos proporciona un punto de partida. Si restringimos nuestra atención a los números naturales \mathbb{N}, entonces podemos realizar perfectamente bien sumas, pero tenemos que ampliar nuestro sistema a los números enteros

\mathbb{Z}=\left\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\right\}

si queremos tener una identidad aditiva (cero) y los inversos aditivos necesarios para definir la resta. La siguiente cuestión es la multiplicación y la división. El número 1 actúa como identidad multiplicativa, pero con el fin de definir la división necesitamos tener inversos multiplicativos. Por lo tanto, extendemos nuestro sistema una vez más a los números racionales

\mathbb{Q}=\left\{\mbox{todas las fracciones }\frac{p}{q}\mbox{ donde }p\mbox{ y }q\mbox{ son enteros con }q\neq0\right\}.

En conjunto, las propiedades de \mathbb{Q} discutidas en el párrafo anterior constituyen esencialmente la definición de lo que se conoce como cuerpo o campo. De manera más formal, un cuerpo es un conjunto en el que la suma y la multiplicación son operaciones bien definidas que son conmutativas, asociativas y obedecen la propiedad distributiva familiar a(b+c)=ab+ac. Debe existir una identidad aditiva, y cada elemento debe tener un inverso aditivo. Por último, debe existir una identidad multiplicativa y cada elemento distinto de cero del cuerpo debe tener inverso multiplicativo. Ni \mathbb{Z} ni \mathbb{N} son cuerpos. El conjunto finito \left\{0,1,2,3,4\right\} es un cuerpo cuando la adición y la multiplicación son calculadas módulo 5. Esto no es inmediatamente evidente pero resulta ser un ejercicio interesante.

El conjunto \mathbb{Q} también tiene un orden natural definido en él. Dados dos números racionales cualesquiera r y s, exactamente uno de los siguientes hechos es verdadero:

r<s,\quad r=s\quad\mbox{o }r>s.

Este ordenamiento es transitivo en el sentido que si r<s y s<t, entonces r<t, lo que nos conduce a una conveniente imagen mental de los números racionales como ubicados de izquierda a derecha a lo largo de una recta numérica. A diferencia de \mathbb{Z}, no hay intervalos de espacio vacío. Dados dos números racionales r<s, el número racional (r+s)/2 se ubica a mitad de camino entre ellos, implicando que los números racionales están densamente distribuidos.

Con las propiedades de cuerpo de \mathbb{Q} estamos habilitados a efectuar con seguridad las operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación y división, pero debemos recordar en qué sentido \mathbb{Q} es insuficiente. El Teorema 1 muestra que no siempre podemos tomar raíces cuadradas. Sin embargo, el problema en realidad es más fundamental que esto. Usando solo números racionales, es posible aproximarse bastante bien a \sqrt{2} (Figura 2). Por ejemplo, 1,414^{2}=1,999396. Mediante la adición de más decimales a nuestra aproximación, podemos acercarnos aún más a un valor de \sqrt{2} pero, aún así, hoy somos conscientes de que hay un “agujero” en la recta de números racionales en el que debería estar \sqrt{2}. Por supuesto, hay un buen número de agujeros –en \sqrt{3} y \sqrt{5}, por ejemplo. Volviendo al dilema de los antiguos matemáticos griegos, si queremos que cada longitud a lo largo de la recta numérica se corresponda con un número real necesitamos entonces otra extensión de nuestro sistema númerico. Por lo tanto, a la cadena \mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q} añadimos los números reales \mathbb{R}.

Figura 2

La cuestión de cómo construir realmente \mathbb{R} a partir de \mathbb{Q} es un negocio bastante complicado. Lo discutiremos más adelante en este blog. Por el momento, no es demasiado inexacto decir que \mathbb{R} se obtiene llenando los vacíos en \mathbb{Q}. Donde quiera que haya un agujero, un nuevo número irracional se define y se ubica en el orden que ya existe para \mathbb{Q}. Los números reales son entonces la unión de estos números irracionales, junto con los familiares números racionales. ¿Qué propiedades tiene el conjunto de los números irracionales? ¿Cómo encajan los conjuntos de números racionales junto a los irracionales? ¿Hay una especie de simetría entre los racionales y los irracionales, o hay algún sentido en el que podemos argumentar que un tipo de número real es más común que el otro? El único método que hemos visto hasta ahora para generar ejemplos de números irracionales es a través de raíces cuadradas. No es demasiado sorprendente que otras raíces como \sqrt[3]{2} o \sqrt[5]{3} son más frecuentemente irracionales. ¿Pueden todos los números irracionales expresarse como combinaciones algebraicas de raíces n-ésimas y números racionales, o hay todavía otros números irracionales más allá de estas formas?

Intentaremos responder a estas preguntas en próximas entradas…


Referencias bibliográficas:

  • Abbott, Stephen (2010) Understanding Analysis. Springer.

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