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Posts Tagged ‘Números reales’

En la entrada anterior hice referencia a la definición de Cardinalidad de un conjunto. Hoy nos dedicaremos a hablar de aquellos conjuntos que tienen  la misma cardinalidad que el conjunto de los números naturales.

Un conjunto A es numerable si \mathbb{N}\sim A. Un conjunto infinito que no es numerable se llama conjunto no numerable.

Cabe citar que mucha literatura se refiere a los conjuntos que están en correspondencia uno a uno con el conjunto de los números naturales como “infinitos” numerables, de modo que los conjuntos finitos son considerados también numerables. No hilaremos tan fino aquí, al menos por el momento.

Por ejemplo, el conjunto E de todos los números enteros pares así como \mathbb{Z} son conjuntos numerables. Poner un conjunto en una correspondencia 1-1 con \mathbb{N} significa poner todos los elementos en una infinitamente larga lista o sucesión. Es fácil ver que esto es sumamente sencillo de hacer para E (verdad?). Una pregunta natural que surge es si todos los conjuntos infinitos son numerables. Dado un conjunto infinito como \mathbb{Q} o \mathbb{R}, podría parecer como si, con la inteligencia suficiente, debiéramos ser capaces de disponer todos los elementos de nuestro conjunto en una sola lista (es decir, en una correspondencia uno a uno con \mathbb{N}). Después de todo, esta lista es infinitamente larga así que debe haber un montón de “lugares”. Pero, por desgracia, como señala Hardy, “El tema [de la matemática] es el más curioso de todos –no hay ninguno en el que la verdad juegue tales bromas extrañas.”


Teorema. El conjunto \mathbb{Q} es numerable.

Dem. Para cada n\in\mathbb{N}, sea A_{n} el conjunto dado por

A_{n}=\left\{\pm\frac{p}{q}:p,q\in\mathbb{N}\text{ are in lowest terms con }p+q=n\right\}.

Algunos pocos, los primeros, de estos conjuntos lucen como

A_{1}=\left\{\frac{0}{1}\right\},A_{2}=\left\{\frac{1}{1},\frac{-1}{1}\right\},A_{3}=\left\{\frac{1}{2},\frac{-1}{2},\frac{2}{1},\frac{-2}{1}\right\}

A_{4}=\left\{\frac{1}{3},\frac{-1}{3},\frac{3}{1},\frac{-3}{1}\right\}

y

A_{5}=\left\{\frac{1}{4},\frac{-1}{4},\frac{2}{3},\frac{-2}{3},\frac{3}{2},\frac{-3}{2},\frac{4}{1},\frac{-4}{1}\right\}.

La observación clave es que cada A_{n} es finito y todo número racional aparece exactamente en uno de estos conjuntos. Nuestra correspondencia 1-1 con \mathbb{N} es entonces alcanzada listando de manera consecutiva los elementos en cada A_{n}.

Es cierto, el lector atento estará pensando con razón que escribir una fórmula explícita para esta correspondencia sería una tarea difícil, y tratar de hacerlo no es el mejor uso del tiempo. Lo que importa es ver por qué cada número racional aparece en la correspondencia exactamente una vez. Por ejemplo, para 22/7, tenemos que 22/7\in A_{29}. Debido a que el conjunto de elementos en A_{1},\ldots,A_{28} es finito, podemos estar seguros de que 22/7 con el tiempo va a incluirse en la sucesión. El hecho de que esta línea de razonamiento se aplica a cualquier número p/q racional es nuestra prueba de que la correspondencia es sobre. Para verificar que es 1-1, se observa que los conjuntos A_{n} se construyeron disjuntos de modo que ningún número racional aparece dos veces. \clubsuit


Teorema. El conjunto \mathbb{R} es no numerable.

Dem. Supongamos que sí existe una función 1-1 y sobre f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}. Una vez más, lo que esto sugiere es que es posible enumerar los elementos de \mathbb{R}. Si hacemos x_{1}=f(1), x_{2}=f(2), y así sucesivamente, entonces nuestra suposición de que f es sobre significa que podemos escribir

\mathbb{R}=\left\{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots\right\}

y estar seguros de que todo número real aparece en algún lugar de la lista. Ahora usaremos el Principio de los intervalos encajados para producir un número real que no está allí.

Sea I_{1} un intervalo cerrado que no contiene a x_{1}. A continuación, sea I_{2} un intervalo cerrado, contenido en I_{1}, que no contiene a x_{2}. La existencia de un I_{2} de este tipo es fácil de verificar. Ciertamente I_{1} contiene dos intervalos cerrados disjuntos más pequeños, y x_{2} sólo puede estar en uno de ellos. En general, dado un intervalo de I_{n}, construimos I_{n+1} de modo que

  • I_{n+1}\subseteq I_{n}
  • x_{n+1}\notin I_{n+1}

Ahora consideramos la intersección \bigcap^{\infty}_{n=1}I_{n}. Si x_{n_{0}} es algún número real de la lista anterior, entonces tenemos x_{n_{0}}\notin I_{n_{0}}, y se deduce que

x_{n_{0}}\notin\bigcap^{\infty}_{n=1}I_{n}.

Ahora, estamos asumiendo que la lista anterior contiene todos los números reales, y esto lleva a la conclusión de que

\bigcap^{\infty}_{n=1}I_{n}=\emptyset.

Sin embargo, el Principio de los intervalos encajados afirma que \bigcap^{\infty}_{n=1}I_{n}\neq\emptyset. Así, existe al menos un x\in\bigcap^{\infty}_{n=1}I_{n} que, en consecuencia, no se puede estar en la lista dada arriba. Esta contradicción significa que es imposible una enumeración de \mathbb{R}, y llegamos a la conclusión de que \mathbb{R} es un conjunto no numerable. \clubsuit


Pero… ¿qué es exactamente lo que deberíamos hacer con este descubrimiento? Es un ejercicio importante demostrar que cualquier subconjunto de un conjunto numerable debe ser numerable o finito, lo que no debería sorprender demasiado al lector. Si un conjunto se puede organizar en una sola lista, entonces eliminar algunos elementos de esta lista da por resultado otra lista (más corta, y potencialmente con un final). Esto significa que los conjuntos numerables son el tipo más pequeño de conjunto infinito. Cualquier cosa más pequeña es aún numerable ó finita.

La fuerza del Teorema anterior es que la cardinalidad de \mathbb{R} es, hablando informalmente, un tipo más grande de infinitud. Los números reales superan en número a los números naturales por lo que no podemos mapear a \mathbb{N} sobre \mathbb{R}. No importa cómo lo intentemos, siempre sobran números reales. El conjunto \mathbb{Q}, por otro lado, es numerable. ¿Qué implica esto acerca del conjunto \mathbb{I} de los números irracionales? Al imitar la demostración de que \mathbb{N}\sim\mathbb{Z}, podemos demostrar que la unión de dos conjuntos numerables debe ser numerable. Debido a que \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}, se deduce que no puede ser numerable porque de lo contrario lo sería \mathbb{R}. La conclusión ineludible es que, a pesar de que hemos encontrado tan pocos de ellos, los números irracionales forman un subconjunto mucho mayor que \mathbb{Q} de \mathbb{R}.

Por último, los dejo una vez más con el Dr. Paenza pensando acerca de los conjuntos infinitos…


Referencias bibliográficas:

  • Abbott, Stephen (2010) Understanding Analysis. Springer.

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Nuestro título de hoy es: \mathbb{Q} es denso en \mathbb{R}, y no se trata de una persona que se torna un tanto insoportable en un determinado ambiente. Veremos que la densidad es una propiedad interesante que se da entre estos dos conjuntos, y es otra de las aplicaciones del Axioma de Completitud.

Pero antes, recordemos algunos detalles y demostremos otros.

El conjunto \mathbb{Q} es una extensión de \mathbb{N}, y \mathbb{R} es una extensión de \mathbb{Q}. Los próximos resultados indican cómo \mathbb{N} y \mathbb{Q} “encajan” dentro de \mathbb{R}.


Propiedad Arquimediana: 

  • Dado cualquier número x\in\mathbb{R}, existe un n\in\mathbb{N} que satisface n>x.
  • Dado cualquier número real y>0, existe un n\in\mathbb{N} que satisface 1/n<y.

Dem. La primera parte de la propiedad establece que \mathbb{N} no está acotado superiormente. Nunca ha habido ninguna duda acerca de la verdad de esto, y se podría argumentar razonablemente que no deberíamos tener que demostrarlo en absoluto. Este es un punto de vista legítimo, especialmente a la luz del hecho de que hemos decidido asumir otras propiedades familiares de \mathbb{N}, \mathbb{Z} y \mathbb{Q} como dadas en las entradas anteriores.

El argumento en contra es que vamos a probarlo porque podemos. Un conjunto puede poseer la Propiedad Arquimediana sin ser completo —\mathbb{Q} es un buen ejemplo– pero una demostración de este hecho requiere una buena dosis de escrutinio en la construcción axiomática del cuerpo ordenado en cuestión. En el caso de \mathbb{R}, el Axioma de Completitud nos proporciona un argumento muy corto. Un gran número de profundos resultados depende en última instancia de esta relación entre \mathbb{R} y \mathbb{N}, así que tener una prueba para ello añade un poco de seguridad extra para estos próximos argumentos.

De modo que sin dilatarlo más iniciamos aquí la demostración. Supongamos, por contradicción, que \mathbb{N} está acotado superiormente. Por el Axioma de Completitud, \mathbb{N} debe entonces tener una menor cota superior, digamos \alpha=\sup\mathbb{N}. Si consideramos \alpha-1, entonces ya no tenemos una cota superior (Recordar Caracterizando un supremo), y por lo tanto existe un n\in\mathbb{N} que satisface \alpha-1<n. Pero esto es equivalente a \alpha<n+1. Como n+1\in\mathbb{N}, tenemos una contradicción con el hecho de que \alpha se supone que es una cota superior de \mathbb{N}. (Observemos que la contradicción sólo depende del Axioma de Completitud y del hecho de que \mathbb{N} es cerrado bajo la adición.)

La segunda parte se sigue de la primera tomando x=1/y. \clubsuit


Esta familiar propiedad de \mathbb{N} es la clave para un hecho extremadamente importante acerca de cómo \mathbb{Q} encaja dentro de \mathbb{R}.

De más está decir que su nombre se asocia al famoso matemático griego Arquímedes de Siracusa (aproximadamente 287 a.C. – 212 a.C.)


Densidad de \mathbb{Q} en \mathbb{R}.

Para cualesquiera dos números reales a y b con a<b, existe un número racional r que satisface a<r<b.

Dem. Por simplicidad, asumimos que 0\leq a<b. El caso en que a<0 se sigue rápidamente de este. Un número racional es un cociente de enteros, de modo que debemos producir m,n\in\mathbb{N} de modo que

a<\frac{m}{n}<b

El primer paso es elegir el denominador n suficientemente grande como para que incrementos sucesivos de tamaño 1/n estén suficientemente cerca al “pararse sobre” el intervalo (a,b).

Usando la Propiedad Arquimediana, podemos tomar n\in\mathbb{N} suficientemente grande de modo que

\frac{1}{n}<b-a

Multiplicando la desigualdad anterior por n obtenemos na<m<nb. Con el n ya elegido, la idea ahora es elegir m como el menor número natural mayor que na. En otras palabras, tomamos m\in\mathbb{N} tal que

m-1\leq na

y

na<m

Ahora, de la desigualdad anterior inmediatamente se cumple que a<m/n, que es la mitad del objetivo. Teniendo en mente que la desigualdad anterior es equivalente a a<b-1/n, podemos usar una de las desigualdades anteriores para escribir

Como m<nb implica m/n<b, tenemos a<m/n<b, como queríamos. \clubsuit


Este Teorema puede ser redactado de otra manera diciendo que \mathbb{Q} es denso en \mathbb{R}. Sin mayor esfuerzo, podemos usar este resultado para demostrar que también los números irracionales son densos en \mathbb{R}.

Pero antes de irnos hoy, los invito a pensar la relación de lo que hemos visto y el siguiente planteo del Dr. Paenza en su programa Alterados por Pi


Referencias bibliográficas:

  • Abbott, Stephen (2010) Understanding Analysis. Springer.

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¿Qué es exactamente un número real? En la entrada Raíz cuadrada de dos es irracional dijimos que el conjunto \mathbb{R} de los números reales es una extensión de los números racionales \mathbb{Q} en la que no hay agujeros o huecos. Queremos que cada longitud a lo largo de la recta numérica –tal como \sqrt{2}— corresponda a un número real y viceversa. Retomemos un poco estas ideas con el objeto de precisar cuáles serán nuestros supuestos sobre el conjunto de los números reales para iniciar nuestro estudio del Análisis Real.

En primer lugar, \mathbb{R} es un conjunto que contiene a \mathbb{Q}. Las operaciones de adición y multiplicación en \mathbb{Q} se extienden a todos los elementos de \mathbb{R} de tal manera que cada elemento de \mathbb{R} tiene un inverso aditivo y cada elemento distinto de cero de \mathbb{R} tiene un inverso multiplicativo. Recordando la discusión planteada en Raíz cuadrada de dos es irracional, se supone que \mathbb{R} es un cuerpo, lo que significa que la suma y la multiplicación de números reales es conmutativa, asociativa y cumple la propiedad distributiva. Esto nos permite realizar todas las manipulaciones algebraicas estándar que son tan naturales para nosotros. También suponemos que las propiedades conocidas del orden de \mathbb{Q} se extienden a todo \mathbb{R}. Así, por ejemplo, deducciones tales como “Si a<b y c>0, entonces ac<bc” se llevan a cabo libremente y sin muchos comentarios. Para resumir la situación en la terminología oficial del tema, suponemos que \mathbb{R} es un cuerpo ordenado, que contiene a \mathbb{Q} como un subcuerpo. (En el futuro espero tratar una definición rigurosa de “cuerpo ordenado”.)

Esto nos lleva a la final, y más distintiva, suposición sobre el sistema de números reales. Debemos encontrar la manera de articular claramente lo que queremos decir al insistir en que \mathbb{R} no contiene los vacíos que impregnan a \mathbb{Q}. Debido a que esta es la diferencia entre la definición de los números racionales y los números reales, vamos a ser excesivamente precisos acerca de la forma en que redactamos esta suposición, en lo sucesivo conocida como el Axioma de Completitud.

Axioma de Completitud: Cada conjunto no vacío de números reales que está acotado superiormente tiene una cota superior mínima.

Ahora, ¿qué significa esto exactamente?

Primero vamos a exponer las definiciones pertinentes, y luego veremos algunos ejemplos.


Un conjunto A\subseteq\mathbb{R} está acotado superiormente si existe un número b\in\mathbb{R} tal que a\leq b para todo a\in A. Al número b se lo llama una cota superior de A.

Del mismo modo,

el conjunto A está acotado inferiormente si existe una cota inferior l\in\mathbb{R} que satisface l\leq a para todo a\in A.


Un número real s es la menor cota superior de un conjunto A\subseteq\mathbb{R} si cumple los dos criterios siguientes:

  • s es una cota superior de A;
  • si b es cualquier cota superior de A, entonces s\leq b.

A la menor cota superior se la llama también frecuentemente el supremo del conjunto A. Aunque la notación s=\text{lub }A es común todavía, siempre vamos a escribir s=\sup A para la menor cota superior.

La mayor cota inferior o ínfimo de A se define de forma similar y se denota por \inf A.


 

Aunque un conjunto puede tener una serie de cotas superiores, sólo puede tener una menor cota superior o supremo. Si s_{1} y s_{2} son ambos supremos para un conjunto A, entonces por la segunda propiedad en la Definición podemos afirmar que s_{1}\leq s_{2} y que s_{2}\leq s_{1}. La conclusión es que s_{1}=s_{2} y los supremos son únicos.


Ejemplo. Sea

A=\left\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\right\}=\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots\ldots\right\}.

El conjunto A está acotado por arriba y por abajo. Los candidatos seleccionados para una cota superior incluyen a 3, 2 y 3/2. Para el supremo, afirmamos que \sup A=1. Para argumentar esto rigurosamente utilizando la Definición dada, tenemos que verificar que se cumplen las dos propiedades. Para la primera sólo observamos que 1\geq 1/n para todas las elecciones de n\in\mathbb{N}. Para verificar la segunda partimos del supuesto de que estamos en posesión de alguna otra cota superior b. Debido a que 1\in A y que b es una cota superior de A, debemos tener 1\leq b. Esto es precisamente lo que la propiedad nos pide demostrar.

A pesar de que no tenemos en absoluto las herramientas que necesitamos para una demostración rigurosa, debe ser algo evidente que \inf A=0. \diamondsuit


Una lección importante que nos deja el Ejemplo anterior es que \sup A e \inf A pueden o no ser elementos del conjunto A. Este problema está ligado a la comprensión de la diferencia crucial entre el máximo y el supremo (o el mínimo y el ínfimo) de un conjunto dado.


Un número real a_{0} es un máximo del conjunto A si a_{0} es un elemento de A y a_{0}\geq a para todo a\in A. Del mismo modo, un número a_{1} es un mínimo de A si a_{1}\in A y a_{1}\leq a para todo a\in A.


Ejemplo. Consideremos el intervalo abierto

(0,2)=\left\{x\in\mathbb{R}:0<x<2\right\},

y el intervalo cerrado

[0,2]=\left\{x\in\mathbb{R}:0\leq x\leq 2\right\}.

Ambos conjuntos están acotados superiormente (e inferiormente), y ambos tienen el mismo supremo: 2. Sin embargo, no es el caso que ambos conjuntos tienen un máximo. Un máximo es un tipo específico de cota superior de la que se requiere ser un elemento del conjunto en cuestión, y el intervalo abierto (0,2) no posee tal elemento. Por lo tanto, puede existir el supremo y no ser un máximo, pero cuando un máximo existe entonces también es el supremo. \diamondsuit


Vamos a dirigir ahora nuestra atención hacia el Axioma de Completitud. Aunque podemos ver ahora que no todo conjunto acotado no vacío contiene un máximo, el Axioma de Completitud afirma que todos estos conjuntos tiene una menor cota superior o supremo. No vamos a probar esto. En matemática un axioma es una suposición aceptada para ser utilizada sin demostración. Preferiblemente, un axioma debe ser una afirmación elemental sobre el sistema en cuestión que es tan fundamental que no parece necesitar ninguna justificación. Tal vez el Axioma de Completitud se ajusta a esta descripción, y tal vez no lo hace. Antes de decidir, recordemos por qué no es una afirmación válida sobre \mathbb{Q}.


Ejemplo. Consideremos nuevamente el conjunto

S=\left\{r\in\mathbb{Q}:r^{2}<2\right\},

y pretendamos por un momento que nuestro mundo se compone sólo de los números racionales. El conjunto S está sin duda acotado superiormente. Tomar b=2 funciona, al igual que b=3/2. Pero notemos lo que sucede a medida que avanzamos en busca de la menor cota superior. (Puede ser útil aquí saber que el desarrollo decimal de \sqrt{2} comienza con 1,4142\ldots.) Podríamos probar con b=142/100, que de hecho es una cota superior, pero luego descubrimos que b=1415/1000 es una cota superior que es más pequeña aún. ¿Hay una aún más pequeña?

En los números racionales no lo hay. En los números reales, sí lo hay. De vuelta en \mathbb{R}, el Axioma de Completitud afirma que podemos tomar \alpha=\sup S y estar seguros de que existe un número tal. Ya demostraremos más adelante que \alpha^{2}=2. Pero de acuerdo con el Teorema respecto de la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos, esto implica que \alpha no es un número racional. Si restringimos nuestra atención sólo a los números racionales, entonces \alpha no es una opción admisible para \sup S, y la búsqueda de una menor cota superior continúa indefinidamente. Cualquiera sea la cota superior racional descubierta, siempre es posible encontrar una más pequeña. \diamondsuit


Las herramientas necesarias para llevar a cabo los cálculos descritos en el Ejemplo anterior dependen de algunos resultados sobre la forma en que \mathbb{Q} y \mathbb{N} caben dentro de \mathbb{R}, lo que será tema de otra entrada.

Tenemos así, o al menos eso pretendía esta entrada, una caracterización clara del Axioma de Completitud, así como una primera aproximación a nuestra definición del conjunto de los números reales como un cuerpo completo.


Referencias bibliográficas:

  • Abbott, Stephen (2010) Understanding Analysis. Springer.

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