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Posts Tagged ‘Omar Khayyam’

Aunque el énfasis en la matemática a partir de 1650 estaba puesto cada vez más en el análisis, las preguntas fundamentales de la geometría clásica continuaron despertando interés. La atención se centró en el quinto postulado del Libro I de los Elementos, que Euclides había utilizado para probar la existencia de una única paralela a través de un punto a una recta dada. Desde la antigüedad, geómetras griegos, islámicos y europeos habían intentado, sin éxito, demostrar que el postulado de las paralelas no tiene por qué ser un postulado, sino que podía deducirse de los otros postulados de la geometría euclidiana. Durante el período entre 1600 y 1800, los matemáticos continuaron estos esfuerzos por tratar de demostrar que el postulado era equivalente a algún resultado que fuera considerado evidente por sí mismo. Aunque el avance decisivo en la geometría no euclidiana no ocurriría hasta el siglo XIX, los investigadores lograron un entendimiento más profundo y sistemático de las propiedades clásicas del espacio.

El interés por el postulado de las paralelas se desarrolló en el siglo XVI después de la recuperación y traducción al latin del comentario de Proclo sobre los Elementos de Euclides. Los investigadores italianos Christopher Clavius en 1574 y Giordano Vitale en 1680 mostraron que el postulado es equivalente a afirmar que la línea equidistante a una recta es una línea recta. En 1693 John Wallis, profesor savilian de geometría en Oxford, intentó una demostración diferente, probando que el axioma se sigue de la hipótesis de que a cada figura existe una figura semejante de magnitud arbitraria.

Christopher Clavius

En 1733 el italiano Girolamo Saccheri publicó su Euclides ab Omni Naevo Vindicatus («Euclides Borrado de todos los defectos»). Este fue un importante trabajo de síntesis en el que proporciona un análisis completo del problema de las paralelas en términos de los cuadriláteros de Omar Khayyam. Utilizando el supuesto euclidiano de que las líneas rectas no encierran un área, fue capaz de excluir a las geometrías que no contienen paralelas. Queda por demostrar la existencia de una única paralela a través de un punto a una recta dada. Para ello, Saccheri adoptó el procedimiento de reducción al absurdo. Supuso la existencia de más de un paralela y trató de derivar una contradicción. Después de una investigación larga y detallada, fue capaz de convencerse a sí mismo (erróneamente) que había encontrado la contradicción deseada.

En 1766 Johann Heinrich Lambert de la Academia de Berlín compuso Die Theorie der Parallellinien ( «La Teoría de líneas paralelas», publicado en 1786), un estudio penetrante del quinto postulado de la geometría euclidiana. Entre otros teoremas Lambert demostró que el axioma de las paralelas es equivalente afirmar que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos. Combinó este hecho con el resultado de Wallis para llegar a una caracterización inesperada del espacio clásico. De acuerdo con Lambert, si se rechaza el postulado de las paralelas, se deduce que para cada ángulo \theta es menor que 2R/3 (R es un ángulo recto) se puede construir un triángulo equilátero con \theta ángulo en la esquina. Como consecuencia del resultado de Wallis cualquier triángulo semejante a este triángulo debe ser congruente a él. Por lo tanto, es posible asociar con cada ángulo de una longitud definida, el lado del triángulo equilátero correspondiente. Dado que la medición de ángulos es absoluta, independiente de cualquier convención relativa a la selección de unidades, se deduce que existe una unidad absoluta de longitud. Por lo tanto, aceptar el postulado de las paralelas es negar la posibilidad de un concepto absoluto de longitud.

Johann Heinrich Lambert

La contribución final del siglo XVIII a la teoría de las paralelas fue un libro de texto de Adrien-Marie Legendre titulado Éléments de géométrie (Elementos de Geometría y Trigonometría), cuya primera edición apareció en 1794. Legendre presentó una elegante demostración que pretendía demostrar que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos. Él creía que había establecido de manera concluyente la validez del postulado de las paralelas. Su trabajo atrajo a una gran audiencia y fue influyente al informar a los lectores las nuevas ideas en la geometría.

El fracaso del siglo XVIII para desarrollar una geometría no euclidiana estaba arraigado en profundas creencias filosóficas. En su Crítica de la razón pura (1781) Emmanuel Kant había hecho hincapié en el carácter sintético a priori de los juicios matemáticos. Desde este punto de vista, las afirmaciones de la geometría y la aritmética son necesariamente proposiciones verdaderas con contenido empírico definido. La existencia de figuras semejantes de diferente tamaño, o el carácter convencional de las unidades de longitud, parecía evidente para los matemáticos de la época. Incluso en 1824 Pierre-Simon, marqués de Laplace, escribió:

Así, la noción de espacio incluye una propiedad especial, evidente por sí misma, sin la cual las propiedades de las paralelas no se pueden establecer de forma rigurosa. La idea de una región acotada, por ejemplo, el círculo, no contiene nada que depende de su magnitud absoluta. Pero si nos imaginamos su radio disminuyendo, somos llevados sin falta a la disminución en la misma proporción de su circunferencia y los lados de todas las figuras inscritas. Esta proporcionalidad se me aparece un postulado más natural que el de Euclides, y es digno de notar que se descubre de nuevo en los resultados de la teoría de la gravitación universal.

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El matemático y poeta Omar Khayyam nació en Neyshabur (Irán) sólo unos pocos años antes de la muerte de al-Biruni. Más tarde vivió en Samarcanda y en Isfahán, y su brillante trabajo allí continuó muchas de las principales líneas de desarrollo de la matemática del siglo X. No sólo descubrió un método general para la extracción de raíces de grado alto arbitrario, sino que su Álgebra contiene el primer tratamiento completo de la solución de ecuaciones cúbicas. Omar hizo esto por medio de secciones cónicas, pero declaró su esperanza de que sus sucesores tendrían éxito donde él había fracasado: en encontrar una fórmula algebraica para las raíces.

Omar fue también parte de la tradición islámica, que incluía a Thabit y a Ibn al-Haytham, dedicada a investigar el postulado de las paralelas de Euclides. A esta tradición Omar contribuyó con la idea de un cuadrilátero con dos lados congruentes perpendiculares a la base. El postulado de las paralelas se demostraría, reconoció Omar, si podía demostrarse que los dos ángulos restantes eran ángulos rectos. En esto fracasó, pero su pregunta sobre el cuadrilátero se convirtió en la forma estándar para hablar sobre el postulado de las paralelas.

Ese postulado, sin embargo, fue sólo una de las preguntas sobre los fundamentos de la matemática que interesaron a los científicos islámicos. Otra fue la definición de razón. Omar Khayyam, junto con otros antes que él, sintió que la teoría en el Libro V de los Elementos de Euclides era lógicamente  satisfactoria pero intuitivamente poco atractiva, por lo que demostró que una definición conocida de Aristóteles era equivalente a la dada en Euclides. De hecho, Omar argumentó que las razones deben ser consideradas como «números ideales», y así concibió un sistema mucho más amplio de números que el utilizado desde la antigüedad griega, el de los números reales positivos.

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Los científicos islámicos del siglo X han participado en tres grandes proyectos matemáticos: la realización de algoritmos aritméticos, el desarrollo del álgebra y la extensión de la geometría.

El primero de estos proyectos dio lugar a la aparición de tres sistemas de numeración completos, uno de los cuales era el «dedo aritmético» utilizado por los escribas y funcionarios del tesoro. Este antiguo sistema aritmético, que se hizo conocido en todo Oriente y Europa, empleaba aritmética mental y un sistema de almacenamiento de resultados intermedios con los dedos como una ayuda para la memoria. (Su uso de fracciones unitarias recuerda al sistema egipcio.) Durante los siglos X y XI matemáticos capaces, como Abul-Wafa (940-997/998), escribieron con este sistema, pero fue finalmente reemplazado por el sistema decimal.

Un segundo sistema común era la numeración en base 60 heredado de los babilonios a través de los griegos y conocido como la «aritmética de los astrónomos». Aunque los astrónomos utilizaban este sistema para sus tablas, por lo general los números se convertían al sistema decimal en presencia de cálculos complicados y luego se convertían de nuevo para obtener una respuesta sexagesimal.

El tercer sistema era la «aritmética india», cuya base numérica, con el cero, se extendió por el este del Islam proveniente de los hindúes. (Diferentes formas numéricas, cuyos orígenes no están del todo claros, se utilizaron en el oeste del Islam.) Los algoritmos básicos también vinieron de la India, pero éstos fueron adaptados por al-Uqlidisi (aprox. 950) usando lápiz y papel en lugar del tradicional tablero de arena, una movida que ayudó a popularizar este sistema. Además, los algoritmos aritméticos se completaron de dos maneras: mediante la extensión de los procedimientos de la extracción de raíces, conocidos por los hindúes y griegos sólo para raíces cuadradas y cúbicas, a raíces de grado superior y a través de la extensión del sistema decimal hindú desde los números enteros hasta incluir fracciones decimales. Estas fracciones aparecen simplemente como dispositivos computacionales en la labor tanto de al-Uqlidisi como de al-Baghdadi (aprox. 1000), pero en los siglos posteriores recibieron un tratamiento sistemático como método general. En cuanto a la extracción de raíces, Abul-Wafa escribió un tratado (ahora perdido) sobre el tema, y Omar Khayyam (1048-1131) resolvió el problema general de la extracción de raíces de cualquier grado deseado. El tratado de Omar también está perdido, pero el método es conocido por otros autores, y parece que un paso importante en su desarrollo fue la derivación de al-Karaji a mediados del siglo X, por inducción matemática, del teorema binomial para exponentes de números enteros -es decir, su descubrimiento de que

(a+b)^{n}=a^{n}+na^{n-1}b+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}b^{2}+

\frac{n(n-1)(n-2)}{2\cdot 3}a^{n-1}b^{3}+L+nab^{n-1}+b^{n}.

Durante el siglo X, los algebristas islámicos progresaron desde los polinomios cuadráticos de Al-Khwarizmi al dominio del álgebra de las expresiones que involucran potencias enteras arbitrarias positivas o negativas de la incógnita. Varios algebristas subrayaron expresamente la analogía entre las reglas para trabajar con potencias de la incógnita en el álgebra y las reglas para trabajar con potencias de 10 en la aritmética, y hubo una interacción entre el desarrollo de la aritmética y el del álgebra entre los siglos X y XII. Un estudiante de la obra de al-Karaji, al-Samaw’al, en el siglo XII, fue capaz de aproximar el cociente (20x^{2} + 30x)/(6x^{2} + 12) como

3\frac{1}{3}+5(\frac{1}{x})-6\frac{2}{3}(\frac{1}{x^{2}})-10(\frac{1}{x^{3}})+L-40(\frac{1}{x^{7}})

y también dio una regla para encontrar los coeficientes de las potencias sucesivas de 1/x. Aunque nada de esto emplea el álgebra simbólica, el simbolismo algebraico estaba en uso por el siglo XIV en la parte occidental del mundo islámico. El contexto de este simbolismo bien desarrollado fue, al parecer, los comentarios que estaban destinados a fines de enseñanza, tales como los de Ibn Qunfudh (1330-1407) de Argelia sobre el álgebra de Ibn al-Banna (1256-1321) de Marruecos.

 También se desarrollaron otras partes del álgebra. Tanto los griegos como los hindúes habían estudiado ecuaciones indeterminadas, y la traducción de este material y la aplicación del  nuevo desarrollo algebraico condujeron a la investigación de las ecuaciones diofánticas por escritores como Abu Kamil, al-Karaji y Abu Yafar al-Khazin (primera mitad del siglo X), así como los intentos por demostrar un caso especial de lo que ahora se conoce como el último teorema de Fermat , a saber, que no hay soluciones racionales para x^{3} + y^{3} = z^{3}. El gran científico Ibn al-Haytham (965-1040) resolvió  problemas de congruencias mediante lo que ahora se conoce como el teorema de Wilson, que establece que, si p es un número primo, entonces p divide a  (p - 1) \times (p - 2)\ldots \times 2 \times 1 + 1, y al-Baghdadi dio una variante de la idea de números amigos mediante la definición de dos números «equilibrados» si las sumas de sus divisores son iguales.

Sin embargo, no sólo la aritmética y el álgebra sino que también la geometría se sometió a un amplio desarrollo. Thabit Ibn Qurrah, su nieto Ibrahim Ibn Sinan (909-946), Abu Sahl al-Kuhi (que murió aprox. 995) e Ibn al-Haytham resolvieron problemas que involucraban la geometría pura de las secciones cónicas, incluyendo áreas y volúmenes de figuras planas y sólidas formadas a partir de ellas, y también investigaron las propiedades ópticas de espejos hechos a partir de secciones cónicas. Ibrahim Ibn Sinan, Abu Sahl al-Kuhi e Ibn al-Haytham utilizaron la antigua técnica de análisis para reducir la solución de problemas a construcciones que implican secciones cónicas. (Ibn al-Haytham, por ejemplo, utilizó este método para encontrar el punto en un espejo esférico convexo en el que un objeto dado es visto por un observador dado.) Thabit e Ibrahim mostraron cómo diseñar las curvas necesarias para relojes de sol. Abu’l-Wafa, cuyo libro sobre la aritmética de los escribas fue mencionado anteriormente, también escribió sobre métodos geométricos necesarios para los artesanos.

Además, a finales del siglo X Abu’l-Wafa y el príncipe Abu Nasr Mansur enunciaron y demostraron teoremas de geometría plana y esférica que podían ser aplicados por astrónomos y geógrafos, incluyendo las leyes de senos y tangentes. El pupilo de Abu Nasr, al-Biruni (973-1048), que produjo una gran cantidad de trabajos de alta calidad, fue uno de los maestros en la aplicación de estos teoremas a la astronomía y a problemas en la geografía matemática como la determinación de latitudes y longitudes, de las distancias entre ciudades y de la dirección de una ciudad a otra.

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