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Posts Tagged ‘Operaciones elementales’

Los sistemas de aritmética y álgebra pati-ganita y bija-ganita son más o menos lo que se encuentra en los comparativamente pocos tratados sánscritos que tratan exclusivamente de matemática (todos, aparentemente, compuestos después de la mitad del primer milenio). El contenido y la organización de los temas varía de un trabajo a otro, cada autor tiene sus propias ideas sobre qué conceptos deben enfatizarse. Por ejemplo, el Ganita-sara-sangraha del siglo IX («Compendio de la Esencia de la Matemática») de Mahavira refleja el elenco jainista de su erudición en detalles tales como la inclusión de algunas de las unidades infinitesimales de la cosmología jainista en su lista de pesos y medidas. Mahavira omitió totalmente la adición y sustracción de su discusión de la aritmética, tomando en cambio la multiplicación como la primera de las ocho operaciones fundamentales y llenando la brecha con la suma y la sustracción de series. Por otra parte, el más conocido de todos los trabajos sobre la aritmética y el álgebra de la India, el Lilavati del siglo XII y el más avanzado Bijaganita de Bhaskara II siguieron la definición convencional de las ocho operaciones. Bhaskara afirmó, sin embargo, que la «Regla de Tres» (de la proporcionalidad) es el concepto verdaderamente fundamental que subyace tanto en la aritmética como en el álgebra.

Las dos obras de Bhaskara son interesantes también por sus aproximaciones a la aritmética del cero. Ambas repiten la idea estándar (aunque no universal) de que una cantidad dividida por cero debe ser definida simplemente como «cero-dividida» y que, si tal cantidad también se multiplica por cero, los ceros se anulan para restaurar la cantidad original. Pero Bhaskara  también sugiere que el resultado cuantitativo de la división por cero se consideraba una cantidad infinita, posiblemente reflejando una mayor sofisticación de estos conceptos en el Bijaganita.

Mucho material matemático adicional fue abordado en los tratados astronómicos sánscritos -por ejemplo, trigonometría de cuerdas, senos y cosenos y varios tipos de aproximación numérica, tales como interpolación y reglas iterativas.

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Las convenciones de clasificación y organización de temas matemáticos parecen haber evolucionado rápidamente en la segunda mitad del primer milenio. Los dos capítulos de Brahmagupta sobre matemática ya señalan la distinción emergente entre pati-ganita (aritmética, literalmente «tablero de cálculo» para el tablero de polvo, o caja de arena, en el que se realizaban los cálculos) y bija-ganita (álgebra, algo así como «semillas de cálculo» para la manipulación de ecuaciones que implican una cantidad desconocida, o semilla). Estas también fueron llamadas cálculo «manifiesto» y «no-manifiesto», respectivamente, aludiendo a los tipos de cantidades que trataban. Patiganita comprendía (además de las definiciones de pesos y medidas básicos) ocho operaciones «fundamentales» de aritmética: suma, resta, multiplicación, división, cuadratura, extracción de raíz cuadrada, cubicación y extracción de raíz cúbica. Estas eran suplementadas por técnicas para reducir las fracciones y resolver varios tipos de proporciones. Las operaciones eran aplicadas a problemas relacionados con mezclas (composición desigual de varios elementos), series, geometría plana y sólida, y la geometría triangular de las sombras. Las fórmulas para encontrar áreas y volúmenes, estimar interés, sumar series, resolver ecuaciones cuadráticas y resolver combinaciones y permutaciones (más tarde expandidas para incluir cuadrados mágicos) formaban parte del kit de herramientas estándar del pati-ganita.

Bija-ganita excluía los problemas que implicaban la raíz cúbica o el cubo de una incógnita (aunque se conocían procedimientos para cubrir expresiones algebraicas). Abarcaba técnicas para manipular signos y coeficientes de cantidades desconocidas así como «surds» (raíces cuadradas de enteros no cuadrados), reglas para establecer y resolver ecuaciones hasta el segundo orden en una o más incógnitas, y reglas para encontrar soluciones a ecuaciones indeterminadas de primer y segundo grado.

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Los egipcios, como los romanos después de ellos, expresaron los números  de acuerdo a un esquema decimal, utilizando símbolos separados para 1, 10, 100, 1.000, y así sucesivamente. Cada símbolo aparecía en la expresión de un número tantas veces como el valor que representa aparecía en el propio número.

Se utiliza esta notación bastante engorrosa dentro de la escritura jeroglífica encontrada en inscripciones en piedra y en otros textos formales, pero en los documentos sobre papiro los escribas empleaban una escritura abreviada más conveniente, llamada  escritura hierática.

En tal sistema, para sumar y restar cantidades se contaba el número de símbolos que hay de cada tipo  en las expresiones numéricas y luego se escribía el número resultante de símbolos. Los textos que sobreviven no revelan los procedimientos especiales que los escribas utilizaban para ayudarse en estos casos. Sin embargo, para la multiplicación introdujeron un método de duplicación sucesiva.

Para dividir 308 por 28 los egipcios aplicaban el mismo procedimiento a la inversa.

En la mayoría de los casos, por supuesto, no había un resto que fuera menor que el divisor.

Para números más grandes este procedimiento puede mejorarse teniendo en cuenta los múltiplos de uno de los factores por 10, 20, ... o incluso por órdenes superiores de magnitud (100, 1000, ...), según sea necesario (en la notación decimal egipcia estas multiplicaciones son fáciles de hacer). Así, puede hallar el producto de 28 por 27 mediante los múltiplos de 28, a saber, 1, 2, 4, 8, 10, 20, se observa que los elementos 1, 2, 4 y 20 suman 27, por lo que basta sumar los múltiplos correspondientes para encontrar la respuesta.

Los cálculos con fracciones se llevaban a cabo bajo la restricción de considerar fracciones unitarias (es decir, fracciones que en notación moderna se escriben con numerador igual a 1). Expresar el resultado de dividir 4 por 7, por ejemplo, en notación moderna no es más que escribir 4/7, sin embargo el escriba escribía 1/2+1/14. El procedimiento para encontrar cocientes de esta forma se limitaba a extender el método habitual para la división de números enteros, inspeccionando ahora los  elementos en las tablas para 2/3, 1/3, 1/6, etc., y 1/2, 1/4, 1/8, etc., hasta que los múltiplos correspondientes del divisor sumaran el dividendo. (Se puede observar que los escribas incluían 2/3 como excepción a al exclusividad del uso de fracciones unitarias.) En la práctica el procedimiento a veces puede llegar a ser bastante complicado (por ejemplo, el valor de 2/29 que se da en el papiro Rhind es 1/24+1/58+1/174+1/232) y puede ser llevado a cabo de diferentes maneras (por ejemplo, la misma fracción 2/29 podría encontrarse como  1/15+1/435 o como 1/16+1/232+1/464, entre otros.). Una parte considerable de los textos en papiro está dedicada a tablas para facilitar el hallazgo de tales fracciones  unitarias.

Estas operaciones elementales son todo lo que se necesita para resolver los problemas aritméticos en los papiros. Por ejemplo, «para dividir 6 panes entre 10 hombres» (Problema 3 del papiro Rhind), simplemente se divide para obtener la respuesta 1/2+1/10. En un grupo de problemas hay un truco interesante: «Una cantidad (aha) y su séptima  parte suman 19; ¿cuál es la cantidad?» (Problema 24 del papiro Rhind). Aquí el escriba supone  primero que la cantidad es 7; dado que 1\ 1/7 de esa cantidad se convierte en 8, el resultado no es 19 como se esperaba, sino 19/8 (es decir, 2+1/4+1/8, que multiplicado  por 7 se convierte en la respuesta requerida. Este tipo de procedimiento (a veces llamado el método de «falsa posición») es conocido en muchas otras tradiciones aritméticas (por ejemplo, en chinos, hindúes, musulmanes y renacentistas europeos), a pesar de que parecen no haber tenido una relación directa con los egipcios.

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