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Posts Tagged ‘Papiro Golenischev’

Los problemas geométricos en los papiros buscan medir figuras, como rectángulos y triángulos de una base y altura determinada, por medio de operaciones aritméticas adecuadas. En un problema más complicado, se busca un rectángulo cuya área es 12 y cuya altura es 1/2+1/4 veces su base (Problema 6 del  Papiro de Moscú). Para resolver el problema, la razón se invierte y se multiplica por el área, dando 16. La raíz cuadrada del resultado (4) es la base del rectángulo, y 1/2+1/4 veces 4, es decir 3, es la altura. Todo el proceso es análogo al proceso de resolución de la ecuación algebraica para este problema (que en notación moderna es x\times 3/4\ x=12), aunque sin el uso de una letra para la incógnita. Un interesante procedimiento se utiliza para encontrar el área del círculo (Problema 50 del papiro Rhind): se descarta 1/9 del diámetro, y el resultado se eleva al cuadrado. Por ejemplo, si el diámetro es 9, el área resulta igual a 64. El escriba reconoció que el área de un círculo es proporcional al cuadrado de su diámetro y asumió para la constante de proporcionalidad (es decir, para \pi /4) el valor 64/81. Esta es una buena estimación para la época. (Aunque la estimación ahora común de 31/7 fue propuesta por primera vez por Arquímedes.) Pero no hay nada en los papiros que indique que los escribas eran conscientes de que esta regla era sólo una aproximación y que no era exacta.

Un resultado notable es la regla para calcular el volumen de la pirámide truncada (Problema 14 del Papiro Golenischev). El escriba asume la altura como igual a  6, que la base es un cuadrado de lado 4 y que la parte superior es un cuadrado de lado 2. Multiplica un tercio de la altura por  28, encontrando el volumen igual a 56; el 28 viene a partir de 2\times 2+2\time 4+4\time 4. Puesto que esto es correcto, se puede suponer que el escriba también sabía la regla general: A=(h/3)(a^{2}+b^{2}+ab). Cómo los escribas en realidad derivaron  la regla es un tema de debate, pero es razonable suponer que eran conscientes de las reglas relacionadas, como que el volumen de una pirámide  está dado por un tercio de la altura por el área de la base.

Los egipcios emplearon el equivalente de los triángulos semejantes para medir distancias. Por ejemplo, el seked de una pirámide se expresaba como el número de palmas en la horizontal correspondiente a una altura de un codo (siete palmas). Por lo tanto, si el seked es de 51/4 y la base es de 140 codos, la altura se convierte en 931/3 codos (Problema 57 del Papiro Rhind).

Se dice que el sabio griego Tales de Mileto (siglo VI a.C.) midió la altura de las pirámides a través de sus sombras (el informe se deriva de Hieronymus, discípulo de Aristóteles en el siglo IV a.C.). A la luz de los cálculos del  seked, sin embargo, este relato indica que los egipcios se adelantaron por lo menos 1.000 años a la época de Tales.

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La introducción de la escritura en Egipto en el periodo predinástico (c. 3000 a.C.) trajo consigo la formación de una clase especial de profesionales instruidos, los escribas. En virtud de sus habilidades de escritura, los escribas tomaron todas las funciones de una administración pública: mantenimiento de registros, contabilidad tributaria, gestión de obras públicas (proyectos de construcción y similares), incluso el enjuiciamiento de guerra a través de la supervisión de los suministros y nóminas militares. Los hombres jóvenes se enrolaban en las escuelas de escribas para aprender los elementos esenciales del oficio, que no sólo incluía la lectura y la escritura, sino también conceptos básicos de matemática.

Cuenta la leyenda que los escribas de las escuelas del Reino Nuevo (siglo XIII a.C.) tenían a un escriba ficticio llamado Amen-em-opet del que se mofaban en unas cartas satíricas que los estudiantes copiaban como ejercicio. Un hipotético rival llamado Hori reprende al primero por su incompetencia como asesor y gerente diciendo:

Se debe construir una rampa de 730 codos de longitud y 55 codos de anchura, conteniendo 120 compartimentos y rellena con carrizos y estacas… Los generales preguntan la cantidad de ladrillos requerida, y los escribas están reunidos, sin que ninguno de ellos sepa nada. Ellos ponen en tí su confianza, diciendo: tú, que eres el escriba hábil, amigo mío… Respóndenos, ¿cuántos ladrillos se necesitan?

Este problema y otros tres como él en la misma carta no pueden resolverse sin más datos. Pero el punto del humor es claro, ya que Hori desafía a su rival con estas tareas difíciles, pero típicas.

Lo que se sabe de la matemática egipcia concuerda bien con las pruebas planteadas por el escriba Hori. La información proviene principalmente de dos documentos de papiro que una vez sirvieron como libros de texto dentro de las escuelas de escribas. El papiro Rhind o Papiro de Ahmes (en el Museo Británico) es una copia hecha en el siglo XVII a.C. de un texto de dos siglos antes. En él se encuentra una larga tabla de partes fraccionarias como ayuda para la división, seguida de las soluciones de 84 problemas específicos de aritmética y geometría. El papiro Golenischev o Papiro de Moscú (en el Museo de Moscú de Bellas Artes), que data del siglo XIX a.C. , presenta 25 problemas de tipo similar. Estos problemas reflejan también las funciones que los escribas realizaban, por tratarse de la forma de distribuir cerveza y pan como salarios, por ejemplo, y la forma de medir las áreas de los campos, así como los volúmenes de las pirámides y otros sólidos.

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