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Posts Tagged ‘Pappus de Alejandría’

Pappus de Alejandría es el último de los grandes matemáticos griegos. Se le conoce principalmente por considerar ciertas preguntas geométricas que florecieron en el campo de la geometría proyectiva. Prácticamente nada se sabe de su vida personal. 

Pappus nació aproximadamente en el año 290 en Alejandría, Egipto. Las fuentes antiguas que describen las fechas de su actividad están en conflicto, pero el consenso de los estudiosos indica que estuvo activo desde 284 hasta 305, durante el reinado del emperador Diocleciano. Sin embargo, esto también puede ser demasiado temprano, ya que ahora se sabe que el Almagesto de Pappus se escribió después del año 320. Se calcula que su muerte ocurrió alrededor del 350 en Alejandría.

Al parecer, Pappus vivió en Alejandría toda su vida. Tenía una familia, ya que dedica uno de sus libros a su hijo Hermodorus. También habla sobre su amigo filósofo Heirius, y parece que Pappus dirigió una escuela en Alejandría.

El principal trabajo de Pappus sobre geometría se llama Colección matemática y se cree que fue escrito alrededor del año 340. Un manual de geometría diseñado para reavivar el interés en las obras clásicas, este volumen se divide en varios libros. El libro I, sobre aritmética está perdido, y el libro II trata la notación de Apolonio de Perga para expresar grandes números. El libro II analiza los medios armónicos, geométricos y aritméticos y las construcciones que los acompañan, así como algunas paradojas geométricas. En el Libro IV, Pappus trata algunas curvas especiales, como la espiral y la cuadratriz. Divide problemas geométricos en problemas planos, sólidos y lineales. El libro V describe la construcción de panales por abejas y la optimalidad del círculo para encerrar el área máxima con un perímetro mínimo. Revisa los 13 sólidos semirregulares de Arquímedes de Siracusa y demuestra los resultados que relacionan el área de la superficie y el volumen para varios tipos de sólidos. El libro VI considera el campo de la astronomía, repasando las obras de Euclides de Alejandría, Eratóstenes de Cirene y Apolonio.

El libro VII contiene el “Tesoro del análisis”, en el que Pappus expone el método de análisis y síntesis que se encuentra en las obras clásicas de Euclides y otros. Describe el análisis como un desglose de un problema en problemas más simples y relacionados; estos luego se sintetizan en la solución final. Este método de pensamiento fue distintivamente griego, y más tarde fue dominado por los matemáticos europeos que estudiaron los clásicos. Pappus también presenta el llamado problema de Pappus, que ha influido enormemente en la evolución de la geometría; René Descartes y Sir Isaac Newton, analizaron más adelante este tema de la geometría. El libro VIII trata la mecánica, que Pappus define como el estudio del movimiento y la fuerza. El trabajo en su conjunto demuestra el dominio de Pappus de muchas ciencias matemáticas, y su exposición es bastante buena.

Además de su Colección matemática, Pappus escribió varios comentarios de calidad variable, incluidos aquellos sobre el Almagesto de Claudio Ptolomeo y los Elementos de Euclides. Pappus también escribió un trabajo sobre geografía, y bien pudo haber escrito sobre música e hidrostática, pero las fuentes originales no han sobrevivido. 

Pappus fue influyente en los matemáticos europeos posteriores, ya que dio una visión perspicaz de todas las obras matemáticas griegas más antiguas. Después de leer a Pappus, un matemático podría rastrear las fuentes originales de grandes matemáticos como Euclides y Arquímedes. Sus propios descubrimientos matemáticos parecen limitados, aunque el problema de Pappus puede verse como la base de la geometría proyectiva.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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Pierre de Fermat es conocido como uno de los matemáticos más grandes del siglo XVI, que hizo contribuciones a los fundamentos del cálculo, la probabilidad y la teoría de números. En este último tema su influencia es particularmente famosa, ya que su investigación sobre la divisibilidad y las propiedades de los números primos alimentaría más tarde la investigación de los siglos XIX y XX. 

Pierre de Fermat nació en Beaumont-Lomagne, Francia, el 20 de agosto de 1601. Su padre, Dominique Fermat, era un próspero comerciante, mientras que su madre, Claire de Long, era una mujer noble. Como resultado del pedigrí de su madre, Fermat disfrutó de un alto estatus social y más tarde eligió la profesión de abogado. Recibió una educación secundaria clásica, y probablemente estudió en la Universidad de Toulouse. En cualquier caso, sin duda vivió en Burdeos a finales de 1620, y en este momento comenzó sus investigaciones matemáticas.  

Fermat recibió el grado de licenciado en leyes civiles de la Universidad de Orleans en 1631, y se embarcó en su carrera legal en el parlamento local. El mismo año, Fermat se casó con su prima Louise de Long, con quien tuvo cinco hijos. Parece que Fermat disfrutaba de prosperidad financiera, y se le permitió el privilegio, como miembro de la aristocracia, de agregar “de” a su apellido. Sin embargo, su actuación en su oficina no fue satisfactoria, y Fermat avanzó solo a través de la muerte de sus colegas profesionales. En 1642 ascendió a los consejos más altos del parlamento, luego sirvió como presidente de la Chambre de l’Édit, que tenía jurisdicción sobre demandas legales entre hugonotes y católicos. Fermat fue un devoto católico a lo largo de toda su vida. 

Fermat disfrutó de cierta fama como matemático durante su propia vida, aunque su renuencia a publicar lo mantuvo alejado del renombre que podría haber obtenido. También tenía fama de ser un erudito clásico, ya que dominaba varios idiomas. Gozó de buena salud, sobrevivió a un ataque de peste en 1652 y murió en Castres el 12 de enero de 1665. 

El desarrollo de Fermat como matemático puede haber comenzado durante su período de Burdeos, momento en el que se familiarizó con las obras de François Viète. De Viète fue que Fermat adquirió la nueva álgebra simbólica, así como la concepción del álgebra como una herramienta útil para problemas geométricos. Fermat buscó basarse en los conceptos de Viète, incluida la capacidad de resolver y construir ecuaciones determinadas; su método a menudo implicaba reducir un problema dado a una clase conocida de problemas (muy parecido a un tipo de inducción inversa). Al principio, Fermat dependía en gran medida de los antiguos griegos para obtener ideas sobre análisis matemático, pero a menudo generalizaba los problemas originales considerados, utilizando el análisis de reducción y su genio natural para llegar a soluciones generales. 

En la primavera de 1636, Fermat ya había completado su Ad locos planos et solidos isagoge (Introducción a planos y sólidos), un trabajo que establece una geometría analítica que era extremadamente similar a la Géométrie (Geometría) de 1639 de René Descartes. Aunque estos trabajos fueron virtualmente idénticos en el uso de ecuaciones algebraicas para describir curvas geométricas, la cuestión de la prioridad no está resuelta, ya que cada matemático estaba trabajando independientemente. Fermat partió de los trabajos de Pappus de Alejandría y Apolonio de Perga, y se dio cuenta de que los loci de puntos discutidos por este último podían describirse mediante ecuaciones algebraicas en dos incógnitas. Luego empleó un solo eje con origen y ordenada en movimiento (similar al método gráfico de Descartes, que no involucraba coordenadas) para describir una curva dada. Luego, Fermat consideró la ecuación general de segundo grado re dirigiéndola a siete formas irreducibles (o casos especiales), que incluían líneas, hipérbolas, elipses, parábolas y círculos. La presentación de Fermat difería sustancialmente de la de Descartes, quien pasó por alto el tema de la construcción y se centró en una teoría avanzada de ecuaciones. Siguiendo las implicaciones de su investigación después de 1636, Fermat demostró la solución gráfica de ecuaciones algebraicas determinadas. En 1643 trató de extender sus métodos a sólidos de revolución (los sólidos obtenidos al hacer girar una curva sobre un eje fijo). Este último esfuerzo no tuvo éxito, ya que Fermat aún no tenía las herramientas de un sistema de coordenadas tridimensional, aunque estableció la base algebraica correcta para dicho sistema de geometría sólida. Fermat estableció la conexión entre la dimensión y el número de incógnitas, una contribución conceptual importante a la matemática del siglo XVII. 

Fermat también desarrolló un método de cálculo de máximos y mínimos de curvas, que esencialmente implicaba un cálculo de la derivada de un polinomio. Sin embargo, Fermat no utilizó ningún infinitesimal en su método, y por lo tanto su trabajo fue periférico a los fundamentos del cálculo. Utilizando su técnica, Fermat pudo determinar los centros de gravedad para figuras geométricas, así como la formación de rectas tangentes para una curva determinada. Este trabajo se convirtió en un punto central en un debate de 1638 con Descartes, quien criticó el trabajo de Fermat porque rivalizaba con sus propia matemática establecida en su Géométrie. Aunque finalmente hicieron las paces cuando Descartes admitió que su crítica a la obra de Fermat era inválida, los dos hombres permanecieron en conflicto; la reputación de Fermat, quien se negó rotundamente a publicar su obra, sufrió como resultado. 

La cuadratura de curvas (es decir, el cálculo del área bajo una curva por medio de su aproximación por rectángulos) también fue estudiada por Fermat, quien amplió las labores de Arquímedes de Siracusa sobre la espiral. Fermat fue capaz de aproximar un área determinada con una precisión arbitraria (a través del número de rectángulos elegidos), y así calcular el área debajo de ciertos polinomios simples. Al principio, su estilo era geométrico, basándose en figuras cuidadosamente dibujadas, pero luego adoptó un enfoque más algebraico. Sus diversos resultados sobre cuadraturas finalmente circularon en 1679, y para entonces ya estaban obsoletos, en vista del trabajo más completo de Sir Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Parece que Fermat no se dio cuenta de que el método de las tangentes y la cuadratura eran inversos entre sí, y este trabajo ejerció poca influencia en la matemática posterior. 

Fermat es mejor conocido por su trabajo en teoría de números, que fue en gran parte descuidado por sus colegas del siglo XVII. Sus trabajos fueron completamente ignorados hasta que Leonhard Euler revivió el interés en el número; finalmente, en el siglo XIX Carl Friedrich Gauss y otros demostraron muchos de los resultados importantes y establecieron la teoría de números como un campo moderno de investigación matemática. Fermat estaba interesado en soluciones enteras de ecuaciones algebraicas, y su investigación inicial se centró en la divisibilidad y el estudio de los números primos. Sus métodos no son conocidos, porque la mayoría de sus resultados fueron escritos en cartas a amigos o en los márgenes de otros libros; aparentemente, Fermat usó la criba de Eratóstenes de Cirene como criterio de excelencia. Derivó varios teoremas importantes (sin pruebas), investigando la descomposición de primos como sumas de cuadrados. En este sentido, Fermat estaba interesado en soluciones enteras para x^n+y^n=z^n donde n es al menos dos. El hecho (probado recientemente por Andrew Wiles en 1994) de que no hay soluciones para n mayores que dos se conoce como el Último Teorema de Fermat; él anotó esta conjetura en el margen de uno de sus libros. 

Una técnica que Fermat aplicó repetidas veces era el método del descenso infinito: argumentaba por contradicción, construyendo una sucesión infinita de enteros decrecientes (positivos), que no podían existir. La principal importancia del trabajo de Fermat en teoría de números es el estímulo que le dio a la investigación a fines del siglo XVIII y XIX. 

Fermat también contribuyó al estudio de la óptica (sobre cuyo tema también debatió con Descartes, oponiéndose a su razonamiento a priori), y se le atribuye, junto con Blaise Pascal, como el fundador de la teoría de la probabilidad. A través de una serie de cartas escritas durante 1654, estos dos matemáticos intercambiaron una variedad de preguntas sobre probabilidad, como por ejemplo, cómo dividir justamente las apuestas de un juego interrumpido. Aunque sus métodos diferían un tanto (Fermat hacía cálculos directos en lugar de derivar fórmulas generales), ambos usaron el concepto de “ganancias esperadas”, definido a través de la expectativa matemática. 

Los últimos años de la vida de Fermat vieron poca interacción con otros matemáticos, ya que dedicaba cada vez más su tiempo libre a la teoría de números. Aunque su trabajo, especialmente sus esfuerzos en teoría de números, mereció el reconocimiento de sus colegas, Fermat cayó en una oscuridad creciente debido a su renuencia a publicar. Después del siglo XVII fue completamente olvidado, hasta que fue redescubierto por Euler y otros en el siglo XIX, cuando el renovado interés en la teoría de números se inspiró en su intelecto.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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De los matemáticos de la antigüedad griega, Arquímedes debe ser considerado el más grande. Sus contribuciones a la geometría y a la mecánica, así como a la hidrostática, lo colocan en un pedestal más alto que sus contemporáneos. Y como sus obras fueron gradualmente traducidas e introducidas en Occidente, ejerció una influencia tan grande allí como su pensamiento ya lo había hecho en Bizancio y Arabia. En su método de agotamiento puede verse un predecesor clásico del cálculo integral, que sería desarrollado formalmente por Blaise Pascal, Gottfried Leibniz, Sir Isaac Newton y otros en el siglo XVII. Sólo su historia de vida ha inspirado a muchos matemáticos.

Como con muchas personas antiguas, los detalles exactos de la vida de Arquímedes son difíciles de determinar, ya que hay varios relatos de calidad variable. Su padre era el astrónomo Fidias, y es posible que Arquímedes fuera pariente del tirano de Siracusa, el rey Hierón II. Ciertamente él era íntimo del rey, pues su trabajo El Contador de Arena fue dedicado a Gelón, hijo de Hierón. Nacido en Siracusa, Arquímedes partió a Alejandría para seguir una educación matemática; allí estudió con Euclides de Alejandría y asistió al desarrollo de la matemática euclidiana. Pero fue en Siracusa, a donde pronto volvió, donde hizo la mayor parte de sus descubrimientos.

Aunque famoso por sus contribuciones a la matemática, Arquímedes también diseñó numerosas invenciones mecánicas. El caracol de agua, inventado en Egipto para ayudar al riego, era un artefacto tipo tornillo usado para levantar agua. Más impresionantes son las historias relacionadas con su construcción y aplicación de la polea compuesta: Hierón había solicitado a Arquímedes que demostrara cómo una pequeña fuerza podía mover un gran peso. El matemático ató una cuerda a un gran buque mercante que estaba cargado de carga y pasajeros, y pasó la cuerda por un sistema de poleas. De esta manera, sentado a cierta distancia del buque, Arquímedes pudo arrastrar sin esfuerzo el barco a la orilla del puerto.

Arquímedes también descubrió la utilidad de la palanca, al observar que cuanto más larga es la distancia desde el fulcro, más peso podía mover la palanca. Extendiendo lógicamente este principio, afirmó que era factible mover el mundo dada una palanca suficientemente larga. Otra historia popular relata que Hierón le dio a Arquímedes la tarea de averiguar si una cierta corona estaba hecha de oro puro, o si se había adulterado fraudulentamente con plata. Cuando Arquímedes reflexionó sobre este rompecabezas se encontraba en pleno baño y notó que la cantidad de agua desplazada era igual a la cantidad de su cuerpo que estaba sumergida. Esto inmediatamente le disparó un método para resolver el problema de Hierón, y saltó de la bañera con alegría, corriendo desnudo hacia su casa, gritando “Eureka”. 

Su habilidad en objetos mecánicos fue inigualable, y Hierón aprovechó a menudo esto para mejorar las defensas de la ciudad, insistiendo en que el intelecto de Arquímedes debía ser puesto al servicio de alguna aplicación práctica. Cuando Marcelo y los romanos llegaron a atacar Siracusa, encontraron la ciudad inexpugnable debido a la multiplicidad de catapultas, brazos mecánicos, espejos ardientes y varios dispositivos balísticos que Arquímedes había construido. Arquímedes escribió un libro titulado On Spheremaking en el que describe cómo construir un modelo planetario diseñado para simular el movimiento del Sol, la Luna y los planetas. Parece que Arquímedes estaba familiarizado con el heliocentrismo de Arquitas, y lo utilizó en su planetario.

Según Plutarco, Arquímedes se dedicó a la teoría pura y desdeñaba las aplicaciones prácticas de la matemática a la ingeniería; sólo aquellos sujetos libres de cualquier utilidad para la sociedad eran considerados dignos de perseguir de todo corazón. Las obras matemáticas de Arquímedes consisten principalmente en estudios de área y volumen, y el análisis geométrico de la estática y la hidrostática. Al calcular el área o el volumen de varias figuras planas y sólidas, utiliza el llamado Lema de Arquímedes y el “método de agotamiento”. Este lema afirma que la diferencia de dos magnitudes desiguales puede ser formada en una proporción con cualquier magnitud semejante; así, la diferencia de dos líneas será siempre una línea y no un punto. El método de agotamiento consiste en sustraer indefinidamente una cantidad mayor que la mitad de una magnitud dada, y apunta a la idea de la eterna divisibilidad del continuo (que siempre se puede quitar la mitad de un número y todavía queda algo). Estas ideas se limitan a las nociones de lo infinitesimal -lo infinitamente pequeño- y a la idea de límite, que son ingredientes clave del cálculo integral; sin embargo, los griegos eran adversos a la noción de infinito e infinitesimales, y Arquímedes se apartaba de hacer cualquier cosa que él sentía sería considerado como absurdo.

El método de agotamiento, que se usó raramente en los Elementos de Euclides, se ilustrará a través del siguiente ejemplo: En Sobre la medida de un círculo, Arquímedes asume, en aras de la contradicción, que el área de un triángulo rectángulo con base igual a la circunferencia y altura igual al radio del círculo es realmente mayor que el área del círculo. Entonces él puede, usando el lema de Arquímedes, inscribir un polígono en el círculo, con la misma área que el triángulo; esta contradicción muestra que el área del triángulo no puede ser mayor que el círculo, y hace un argumento similar de que no puede ser menor.

El concepto básico del método de aproximación, que es similar al método de agotamiento, consiste en inscribir figuras regulares dentro de una figura plana y sólida tal que el área o el volumen restante se reduce constantemente; el área o el volumen de las figuras regulares se pueden calcular fácilmente, y ésta será una aproximación cada vez más exacta. El área o volumen restante está “agotado”. Por supuesto, la manera moderna de obtener una determinación exacta de la medida es a través del límite; Arquímedes evitó esta cuestión al demostrar que el área o el volumen restante podría hacerse tan pequeño como se deseara inscribiendo figuras más regulares. Por supuesto, uno podría realizar el mismo procedimiento circunscribiendo figuras regulares.

También aplicó estos métodos a los sólidos, calculando la superficie y el volumen de la esfera, y el volumen de conos y pirámides. Los métodos de Arquímedes eran a veces puramente geométricos, pero a veces usaban principios de estática, como un “método de equilibrio”. Su conocimiento de la ley de la palanca y el centro de gravedad del triángulo, junto con sus métodos de aproximación y agotamiento le permitieron mejorar demostraciones de teoremas conocidos, así como establecer resultados completamente nuevos.

Arquímedes también hizo algunas contribuciones en el ámbito del  cálculo numérico, produciendo algunas aproximaciones muy precisas para el número pi y para la raíz cuadrada de tres. En El contador de Arena crea una notación para números muy grandes y estima el número de granos de arena para llenar el universo. En Sobre el equilibrio de los planos prueba la ley de la palanca a partir de principios geométricos, y en Sobre los cuerpos flotantes  explica el concepto de presión hidrostática. El llamado Principio de Arquímedes establece que sólidos colocados en un fluido serán más ligeros en el fluido en una cantidad igual al peso del fluido desplazado.

Su influencia en la matemática posterior fue extensa, aunque Arquímedes pudo no haber gozado de mucha fama en su propia vida. Griegos posteriores, entre ellos Pappus de Alejandría y Teón de Alejandría, escribieron comentarios sobre sus escritos, y más tarde los autores bizantinos estudiaron su obra. Desde Bizancio sus textos llegaron a Occidente antes del comienzo del Renacimiento; mientras tanto, los matemáticos árabes conocían a Arquímedes y explotaron sus métodos en sus propias investigaciones sobre  secciones cónicas. En el siglo XII aparecieron traducciones del árabe al latín, de las que Leonardo de Pisa (Fibonacci) hizo uso en el siglo XIII. En los años 1400, el conocimiento de Arquímedes se había expandido por partes de Europa, y su matemática influyó más tarde en Simon Stevin, Johannes Kepler, Galileo Galilei y Bonaventura Cavalieri.

Tal vez la historia más conocida acerca de Arquímedes es la que relata su muerte, que se produjo en el año 212 a.C. durante el asedio de Siracusa por los romanos. Al parecer, no estaba preocupado por la situación cívica, y estaba ocupado haciendo diagramas en la arena de su casa (en ese momento tenía al menos 75 años de edad). Aunque el general romano Marcelo había dado órdenes estrictas para que el famoso matemático siciliano no fuera perjudicado, un soldado romano irrumpió en la casa de Arquímedes y arruinó su diagrama. Cuando el anciano matemático expresó verbalmente su disgusto, el soldado lo mató rápidamente.

Arquímedes fue un destacado matemático y científico. De hecho, es considerado por muchos como uno de los tres mejores matemáticos de todos los tiempos, junto con Carl Friedrich Gauss y Newton. Una vez descubierto por los europeos medievales, sus obras propulsaron el descubrimiento del cálculo. Es interesante que este profundo intelecto fuera remoto en tiempo y espacio al de los grandes matemáticos griegos clásicos; Arquímedes trabajó en la isla de Siracusa, lejos de Atenas, fuente de mucho pensamiento griego, y trabajó siglos después del declive de la cultura griega.

 

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Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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