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Posts Tagged ‘Pappus de Alejandría’

De los matemáticos de la antigüedad griega, Arquímedes debe ser considerado el más grande. Sus contribuciones a la geometría y a la mecánica, así como a la hidrostática, lo colocan en un pedestal más alto que sus contemporáneos. Y como sus obras fueron gradualmente traducidas e introducidas en Occidente, ejerció una influencia tan grande allí como su pensamiento ya lo había hecho en Bizancio y Arabia. En su método de agotamiento puede verse un predecesor clásico del cálculo integral, que sería desarrollado formalmente por Blaise Pascal, Gottfried Leibniz, Sir Isaac Newton y otros en el siglo XVII. Sólo su historia de vida ha inspirado a muchos matemáticos.

Como con muchas personas antiguas, los detalles exactos de la vida de Arquímedes son difíciles de determinar, ya que hay varios relatos de calidad variable. Su padre era el astrónomo Fidias, y es posible que Arquímedes fuera pariente del tirano de Siracusa, el rey Hierón II. Ciertamente él era íntimo del rey, pues su trabajo El Contador de Arena fue dedicado a Gelón, hijo de Hierón. Nacido en Siracusa, Arquímedes partió a Alejandría para seguir una educación matemática; allí estudió con Euclides de Alejandría y asistió al desarrollo de la matemática euclidiana. Pero fue en Siracusa, a donde pronto volvió, donde hizo la mayor parte de sus descubrimientos.

Aunque famoso por sus contribuciones a la matemática, Arquímedes también diseñó numerosas invenciones mecánicas. El caracol de agua, inventado en Egipto para ayudar al riego, era un artefacto tipo tornillo usado para levantar agua. Más impresionantes son las historias relacionadas con su construcción y aplicación de la polea compuesta: Hierón había solicitado a Arquímedes que demostrara cómo una pequeña fuerza podía mover un gran peso. El matemático ató una cuerda a un gran buque mercante que estaba cargado de carga y pasajeros, y pasó la cuerda por un sistema de poleas. De esta manera, sentado a cierta distancia del buque, Arquímedes pudo arrastrar sin esfuerzo el barco a la orilla del puerto.

Arquímedes también descubrió la utilidad de la palanca, al observar que cuanto más larga es la distancia desde el fulcro, más peso podía mover la palanca. Extendiendo lógicamente este principio, afirmó que era factible mover el mundo dada una palanca suficientemente larga. Otra historia popular relata que Hierón le dio a Arquímedes la tarea de averiguar si una cierta corona estaba hecha de oro puro, o si se había adulterado fraudulentamente con plata. Cuando Arquímedes reflexionó sobre este rompecabezas se encontraba en pleno baño y notó que la cantidad de agua desplazada era igual a la cantidad de su cuerpo que estaba sumergida. Esto inmediatamente le disparó un método para resolver el problema de Hierón, y saltó de la bañera con alegría, corriendo desnudo hacia su casa, gritando “Eureka”. 

Su habilidad en objetos mecánicos fue inigualable, y Hierón aprovechó a menudo esto para mejorar las defensas de la ciudad, insistiendo en que el intelecto de Arquímedes debía ser puesto al servicio de alguna aplicación práctica. Cuando Marcelo y los romanos llegaron a atacar Siracusa, encontraron la ciudad inexpugnable debido a la multiplicidad de catapultas, brazos mecánicos, espejos ardientes y varios dispositivos balísticos que Arquímedes había construido. Arquímedes escribió un libro titulado On Spheremaking en el que describe cómo construir un modelo planetario diseñado para simular el movimiento del Sol, la Luna y los planetas. Parece que Arquímedes estaba familiarizado con el heliocentrismo de Arquitas, y lo utilizó en su planetario.

Según Plutarco, Arquímedes se dedicó a la teoría pura y desdeñaba las aplicaciones prácticas de la matemática a la ingeniería; sólo aquellos sujetos libres de cualquier utilidad para la sociedad eran considerados dignos de perseguir de todo corazón. Las obras matemáticas de Arquímedes consisten principalmente en estudios de área y volumen, y el análisis geométrico de la estática y la hidrostática. Al calcular el área o el volumen de varias figuras planas y sólidas, utiliza el llamado Lema de Arquímedes y el “método de agotamiento”. Este lema afirma que la diferencia de dos magnitudes desiguales puede ser formada en una proporción con cualquier magnitud semejante; así, la diferencia de dos líneas será siempre una línea y no un punto. El método de agotamiento consiste en sustraer indefinidamente una cantidad mayor que la mitad de una magnitud dada, y apunta a la idea de la eterna divisibilidad del continuo (que siempre se puede quitar la mitad de un número y todavía queda algo). Estas ideas se limitan a las nociones de lo infinitesimal -lo infinitamente pequeño- y a la idea de límite, que son ingredientes clave del cálculo integral; sin embargo, los griegos eran adversos a la noción de infinito e infinitesimales, y Arquímedes se apartaba de hacer cualquier cosa que él sentía sería considerado como absurdo.

El método de agotamiento, que se usó raramente en los Elementos de Euclides, se ilustrará a través del siguiente ejemplo: En Sobre la medida de un círculo, Arquímedes asume, en aras de la contradicción, que el área de un triángulo rectángulo con base igual a la circunferencia y altura igual al radio del círculo es realmente mayor que el área del círculo. Entonces él puede, usando el lema de Arquímedes, inscribir un polígono en el círculo, con la misma área que el triángulo; esta contradicción muestra que el área del triángulo no puede ser mayor que el círculo, y hace un argumento similar de que no puede ser menor.

El concepto básico del método de aproximación, que es similar al método de agotamiento, consiste en inscribir figuras regulares dentro de una figura plana y sólida tal que el área o el volumen restante se reduce constantemente; el área o el volumen de las figuras regulares se pueden calcular fácilmente, y ésta será una aproximación cada vez más exacta. El área o volumen restante está “agotado”. Por supuesto, la manera moderna de obtener una determinación exacta de la medida es a través del límite; Arquímedes evitó esta cuestión al demostrar que el área o el volumen restante podría hacerse tan pequeño como se deseara inscribiendo figuras más regulares. Por supuesto, uno podría realizar el mismo procedimiento circunscribiendo figuras regulares.

También aplicó estos métodos a los sólidos, calculando la superficie y el volumen de la esfera, y el volumen de conos y pirámides. Los métodos de Arquímedes eran a veces puramente geométricos, pero a veces usaban principios de estática, como un “método de equilibrio”. Su conocimiento de la ley de la palanca y el centro de gravedad del triángulo, junto con sus métodos de aproximación y agotamiento le permitieron mejorar demostraciones de teoremas conocidos, así como establecer resultados completamente nuevos.

Arquímedes también hizo algunas contribuciones en el ámbito del  cálculo numérico, produciendo algunas aproximaciones muy precisas para el número pi y para la raíz cuadrada de tres. En El contador de Arena crea una notación para números muy grandes y estima el número de granos de arena para llenar el universo. En Sobre el equilibrio de los planos prueba la ley de la palanca a partir de principios geométricos, y en Sobre los cuerpos flotantes  explica el concepto de presión hidrostática. El llamado Principio de Arquímedes establece que sólidos colocados en un fluido serán más ligeros en el fluido en una cantidad igual al peso del fluido desplazado.

Su influencia en la matemática posterior fue extensa, aunque Arquímedes pudo no haber gozado de mucha fama en su propia vida. Griegos posteriores, entre ellos Pappus de Alejandría y Teón de Alejandría, escribieron comentarios sobre sus escritos, y más tarde los autores bizantinos estudiaron su obra. Desde Bizancio sus textos llegaron a Occidente antes del comienzo del Renacimiento; mientras tanto, los matemáticos árabes conocían a Arquímedes y explotaron sus métodos en sus propias investigaciones sobre  secciones cónicas. En el siglo XII aparecieron traducciones del árabe al latín, de las que Leonardo de Pisa (Fibonacci) hizo uso en el siglo XIII. En los años 1400, el conocimiento de Arquímedes se había expandido por partes de Europa, y su matemática influyó más tarde en Simon Stevin, Johannes Kepler, Galileo Galilei y Bonaventura Cavalieri.

Tal vez la historia más conocida acerca de Arquímedes es la que relata su muerte, que se produjo en el año 212 a.C. durante el asedio de Siracusa por los romanos. Al parecer, no estaba preocupado por la situación cívica, y estaba ocupado haciendo diagramas en la arena de su casa (en ese momento tenía al menos 75 años de edad). Aunque el general romano Marcelo había dado órdenes estrictas para que el famoso matemático siciliano no fuera perjudicado, un soldado romano irrumpió en la casa de Arquímedes y arruinó su diagrama. Cuando el anciano matemático expresó verbalmente su disgusto, el soldado lo mató rápidamente.

Arquímedes fue un destacado matemático y científico. De hecho, es considerado por muchos como uno de los tres mejores matemáticos de todos los tiempos, junto con Carl Friedrich Gauss y Newton. Una vez descubierto por los europeos medievales, sus obras propulsaron el descubrimiento del cálculo. Es interesante que este profundo intelecto fuera remoto en tiempo y espacio al de los grandes matemáticos griegos clásicos; Arquímedes trabajó en la isla de Siracusa, lejos de Atenas, fuente de mucho pensamiento griego, y trabajó siglos después del declive de la cultura griega.

 

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Y… para los más chicos…

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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La matemática griega continuó su desarrollo desde la época de Euclides de Alejandría, y después de Arquímedes de Siracusa uno de los matemáticos más grandes fue Apolonio de Perga. Es conocido principalmente por sus contribuciones a la teoría de las secciones cónicas (las figuras planas obtenidas cortando un cono en varios ángulos). La fascinación en este tema, revivida en los siglos XVI y XVII, ha continuado en los tiempos modernos con el inicio de la geometría proyectiva.

Apolonio de Perga

Poca información sobre su vida se ha preservado de los estragos del tiempo, pero parece que Apolonio  floreció en algún momento entre la segunda mitad del siglo III y principios del siglo II a.C. Perga, una pequeña ciudad griega en la parte meridional de lo que ahora es Turquía, fue su ciudad de nacimiento. Apolonio vivió durante algún tiempo en Alejandría, donde pudo haber estudiado con los alumnos de Euclides, y más tarde visitó a Pérgamo y Éfeso.

Su obra más famosa, las Cónicas, se compuso a principios del siglo II a. C., y pronto se reconoció como un texto clásico. Arquímedes, que murió alrededor del año 212 a. C., parece ser el predecesor matemático inmediato de Apolonio, que desarrolló muchas de las ideas del siracusano. Las Cónicas estaba originalmente dividida en ocho libros, y se había previsto como un tratado sobre secciones cónicas. Antes del tiempo de Apolonio se conocían los fundamentos de la teoría de las secciones cónicas: las parábolas, las hipérbolas y las elipses se podían obtener cortando un cono con ángulos de vértice recto, obtuso o agudo, respectivamente. Apolonio empleó un método alternativo de construcción que implicaba cortar un doble cono en varios ángulos, manteniendo el ángulo de vértice fijo (este es el enfoque adoptado en los tiempos modernos). Este método tenía la ventaja de hacer estas curvas accesibles a la “aplicación de áreas”, una formulación geométrica de ecuaciones cuadráticas que en el tiempo moderno se expresaría algebraicamente. Es evidente que el enfoque de Apolonio fue refrescantemente original, aunque el contenido real de las Cónicas podría haber sido bien conocido. Mucha terminología, como parábola, hipérbola y elipse, se debe a Apolonio, y generaliza los métodos para generar secciones.

Cónicas contiene mucho material que ya era conocido, aunque la organización ahora estaba a tono con el método de Apolonio, que suavemente unía numerosos fragmentos de conocimiento geométrico. Se omitieron ciertos resultados elementales y se incluyeron algunos hechos novedosos. Además del material sobre la generación de secciones, Apolonio describió teoremas sobre los rectángulos contenidos por los segmentos de cuerdas de una cónica, las propiedades armónicas de las propiedades de los polos y polares, propiedades de los focos, y el locus de tres y cuatro líneas. Él discute la formación de una línea normal a una cónica, así como ciertas desigualdades de diámetros conjugados. Este trabajo, comparado con otra literatura griega, es bastante difícil de leer, ya que la falta de notación moderna hace el texto pesado, y el contenido en sí es bastante complicado. Sin embargo, el estudio persistente ha recompensado a muchos matemáticos dotados, incluyendo a Sir Isaac Newton, Pierre de Fermat y Blaise Pascal, que se inspiró enormemente en el clásico texto de Apolonio.

En la obra de Pappus de Alejandría se incluye un resumen de otras obras matemáticas de Apolonio: Secciones en una razón dada, Secciones en un área dada, Secciones determinadas, Tangencias, Inclinaciones y Lugares planos. Éstos se ocupan de varios problemas geométricos, y algunos de ellos implican la “aplicación de un área”. Utiliza el método griego de análisis y síntesis: El problema en cuestión se supone primero resuelto y una condición más fácilmente construida se deduce de la solución (“análisis”); luego, de la última construcción, se desarrolla la original (“síntesis”). Parece que Apolonio escribió incluso otros documentos, pero no se ha encontrado ningún vestigio de su contenido hasta nuestros días. Aparentemente, ideó un sistema numérico para la representación de enormes cantidades, similar al sistema de notación de Arquímedes, aunque Apolonio generalizó la idea. También hay referencias a la inscripción del dodecaedro en la esfera, al estudio de la hélice cilíndrica y un tratado general sobre los cimientos de la geometría.

Apolonio conocía todos los aspectos de la geometría griega, pero también contribuyó a la teoría euclidiana de los números irracionales y derivó aproximaciones para el número pi más precisas que las de Arquímedes. Su pensamiento incursionó también en la ciencia de la óptica, donde su profundo conocimiento de las cónicas ayudó a la determinación de diversas reflexiones causadas por espejos parabólicos y esféricos. Apolonio fue reconocido en su tiempo como el astrónomo más importante, e incluso ganó el epíteto de Epsilon, ya que la letra griega de ese nombre tiene una semejanza con la Luna. Calculó la distancia de la Tierra a la Luna como de aproximadamente 600.,000 millas, e hizo varios cálculos de las órbitas de los planetas. De hecho, Apolonio es un importante actor en el desarrollo de modelos geométricos para explicar el movimiento planetario; Hiparco de Rodas y Claudio Ptolomeo, mejorando sus teorías, llegaron al sistema ptolemaico, una hazaña de la investigación científica del mundo antiguo poseía una considerable grandeza y longevidad.

No hubo un sucesor inmediato de Apolonio, aunque sus Cónicas fueron reconocidas como un magnífico logro. Se produjeron varios comentarios simples, pero el interés disminuyó después de la caída de Roma, y ​​sólo los cuatro primeros libros siguieron traduciéndose en Bizancio. Otros tres libros de las Cónicas fueron traducidos al árabe, y los matemáticos islámicos permanecieron intrigados por su trabajo, aunque hicieron pocos avances; el libro final (el octavo) está perdido. A finales del siglo XVI y principios del XVII, varias traducciones de las Cónicas de Apolonio aparecieron en Europa y fueron estudiadas vorazmente por matemáticos franceses como René Descartes, Pierre de Fermat, Girard Desargues y Blaise Pascal. Cuando Descartes propuso su geometría analítica, que tomó un acercamiento algebraico, más bien que constructivo o geométrico, para las curvas y las secciones, el interés en el tratado clásico de Apolonio comenzó a decaer. Sin embargo, más adelante en el siglo XIX, las cónicas experimentaron una resurrección de la curiosidad con la introducción de la geometría proyectiva.

 

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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La invención de la geometría analítica fue, junto al cálculo diferencial e integral, el desarrollo matemático más importante del siglo XVII. Con origen en el trabajo de los matemáticos franceses Viète, Fermat y Descartes, a mediados de siglo se había consolidado como un importante programa de investigación matemática.

Dos tendencias en la matemática contemporánea estimularon el crecimiento de la geometría analítica. La primera fue un creciente interés en las curvas, lo que resulta en parte de la recuperación y la traducción latina de clásicos tratados de Apolonio, Arquímedes y Pappus, y en parte de la creciente importancia de las curvas en campos aplicados como la astronomía, la mecánica, la óptica y la estereometría. La segunda fue la aparición un siglo antes de una práctica algebraica establecida en el trabajo de los algebristas italianos y alemanes y su posterior conformación por parte de Viète en una poderosa herramienta matemática al final del siglo.

Viète fue un destacado representante del movimiento humanista en la matemática que se fijó el proyecto de restaurar y promover los logros de los geómetras griegos clásicos. En su Artem analyticem isagoge de 1591 Viète, como parte de su programa de volver a descubrir el método de análisis utilizado por los antiguos matemáticos griegos, propuso nuevos métodos algebraicos que empleaban variables, constantes y ecuaciones, pero no vio esto como un avance sobre el método antiguo, una visión que se obtiene al comparar el análisis geométrico contenido en el Libro VII de la Colección de Pappus con el análisis aritmético de la Aritmética de Diofanto. Pappus había empleado un método analítico para el descubrimiento de teoremas y para la construcción de problemas. En el análisis, por el contrario a la síntesis, se parte de lo que se busca hasta que se llega a algo conocido. Al abordar un problema aritmético para el que se establece una ecuación entre magnitudes conocidas y desconocidas y luego se despeja la incógnita, uno estaba, según Viète, trabajando con un procedimiento “analítico”.

Viète introdujo el concepto de variable algebraica, que él denotó usando una vocal mayúscula (A, E, I, O, U), así como el concepto de parámetro (una cantidad constante no especificada), que denotó con una consonante mayúscula  (B, C , D, y así sucesivamente). En su sistema la ecuación

5BA^{2} - 2CA + A^{3} = D

aparecería como

B_{5} \text{ en }A \text{ quad -  } C \text{ plano }2 \text{ en }A + A \text{ cub aequatur }D\text{ solido.}

Viète retuvo el principio clásico de la homogeneidad, acordando que los términos a sumar deben ser todos de la misma dimensión. En la ecuación anterior, por ejemplo, cada uno de los términos tiene la dimensión de un sólido o cubo. Por lo tanto, la constante C, que denota un plano, se combina con A para formar una cantidad que tiene la dimensión de un sólido.

Cabe señalar que en el esquema de Viète el símbolo A es parte de la expresión para el objeto obtenido operando sobre la magnitud denotada por A. Por lo tanto, las operaciones sobre las cantidades indicadas por las variables se reflejan en la misma notación algebraica. Esta innovación, considerada por los historiadores de la matemática como un importante avance conceptual en el álgebra, facilitó el estudio de la solución simbólica de ecuaciones algebraicas y dio lugar a la creación de la primera teoría consciente de las ecuaciones.

 Después de la muerte de Viète el arte analítico fue aplicado al estudio de curvas por sus compatriotas Fermat y Descartes. Los dos hombres estaban motivados por el mismo objetivo, aplicar las nuevas técnicas algebraicas a la teoría de los loci (lugares geométricos) de Apolonio como se conservaba en la Colección de Pappus. El más célebre de estos problemas consistió en la búsqueda de la curva o locus trazada por un punto cuyas distancias a varias líneas fijas satisface una relación dada.

Fermat adoptó la notación de Viète en su artículo Ad Locos Planos et Solidos Isagoge de 1636. El título del trabajo se refiere a la antigua clasificación de las curvas en planas (como líneas, rectas y círculos), sólidas (elipses, parábolas e hipérbolas) o lineales (curvas definidas cinemáticamente o por una condición locus). Fermat consideró una ecuación en dos variables. Una de las variables representaba una línea medida horizontalmente desde un punto inicial determinado, mientras que la otra representaba una segunda línea situada en el extremo de la primera línea e inclinada en un ángulo fijo respecto a la horizontal. A medida que la primera variable variaba en magnitud, la segunda tomaba un valor determinado por la ecuación, y el punto final de la segunda línea trazaba una curva en el espacio. Por medio de esta construcción Fermat fue capaz de formular el principio fundamental de la geometría analítica:

Siempre que dos cantidades desconocidas se encuentran en igualdad final, resulta un locus fijo en su lugar, y el punto final de una de estas cantidades desconocidas describe una línea recta o una curva.

El principio implicaba una correspondencia entre dos clases diferentes de objetos matemáticos: curvas geométricas y ecuaciones algebraicas. En el documento de 1636, Fermat demostró que si la ecuación es una cuadrática, entonces la curva es una sección cónica, es decir, una elipse, una parábola o una hipérbola. También demostró que la determinación de la curva dada por una ecuación se simplificaba mediante una transformación que implicaba un cambio de variables de una ecuación en forma estándar.

La Geometría de Descartes apareció en 1637 como un apéndice de su famoso Discurso del método, tratado que presenta el fundamento de su sistema filosófico. Aunque supuestamente se trataba de un ejemplo en la matemática de su método racional, La Geometría era un tratado técnico comprensible independientemente de la filosofía. Estaba destinado a convertirse en uno de los libros más influyentes en la historia de la matemática.

En las secciones iniciales de La Geometría Descartes introdujo dos innovaciones. En lugar de la notación de Viète inició la práctica moderna de denotar las variables por las letras finales del alfabeto (x, y, z) y los parámetros por las letras  al comienzo del alfabeto (a, b, c), y además utiliza la notación exponencial para indicar potencias de x. Más importante conceptualmente, dejó a un lado el principio de homogeneidad de Viète, mostrando por medio de una construcción sencilla la forma de representar la multiplicación y la división de líneas por líneas. Por lo tanto, todas las magnitudes (líneas, áreas y volúmenes) podían ser representadas independientemente de su dimensión de la misma manera.

 El objetivo de Descartes en La Geometría era lograr la construcción de soluciones a problemas geométricos por medio de instrumentos que eran generalizaciones aceptables de la regla y el compás. El álgebra era una herramienta para ser utilizada en este programa.

En el problema de Apolonio, por ejemplo, se trata de encontrar el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a una colección de líneas fijas satisface una relación dada. Utilizando esta relación para derivar una ecuación y, a continuación, utilizando un procedimiento geométrico que implique instrumentos de construcción aceptables, se  obtienen puntos en la curva dada por las raíces de la ecuación.

Descartes describió instrumentos más general que el compás para dibujar curvas “geométricas”. Estipuló que las partes del instrumento sean unidas entre sí de modo que la relación de los movimientos de las partes pueda ser cognoscible. Esta restricción excluía las curvas “mecánicas” generadas por procesos cinemáticos. La espiral de Arquímedes, por ejemplo, era generada por un punto que se mueve en una línea cuando la línea gira uniformemente alrededor del origen.

Descartes llegó a la conclusión de que una curva geométrica o no mecánica era una cuya ecuación

f(x,y)=0

era un polinomio de grado finito en dos variables. Él deseaba limitar la matemática a la consideración de dichas curvas.

El énfasis de Descartes en la construcción reflejaba su orientación clásica. Su conservadurismo con respecto a qué curvas eran aceptables en la matemática más lo distinguía como pensador tradicional. En el momento de su muerte, en 1650, había sido superado por los acontecimientos, en tanto la investigación se alejaba de las preguntas sobre la construcción a problemas referidos a encontrar áreas (entonces llamados problemas de cuadratura) y tangentes. Los objetos geométricos que estaban entonces en creciente interés eran precisamente las curvas mecánicas que Descartes había querido desterrar de la matemática.

A raíz de los importantes resultados obtenidos en el siglo XVI por Gerolamo Cardano y los algebristas italianos, la teoría de las ecuaciones algebraicas llegó a un callejón sin salida. Las ideas necesarias para investigar las ecuaciones de grado mayor a cuatro eran lentas en desarrollarse. La influencia histórica inmediata de Viète, Fermat y Descartes era proporcionar métodos algebraicos para la investigación de las curvas. Una vigorosa escuela de investigación se estableció en Leiden alrededor de Frans van Schooten, un matemático holandés que editó y publicó en 1649 una traducción latina de La Geometría. Van Schooten publicó una segunda traducción de dos volúmenes de la misma obra en 1659-1661 que también contenía apéndices matemáticos de tres de sus discípulos, Johan de Witt, Johan Hudde y Hendrick van Heuraet. El grupo de matemáticos de Leiden, que también incluyó a Christiaan Huygens, fue en gran parte responsable del rápido desarrollo de la geometría cartesiana a mediados del siglo.

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