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La obra de Apolonio de Perga amplió el campo de las construcciones geométricas más allá del rango de los Elementos. Por ejemplo, Euclides en el Libro III muestra cómo dibujar un círculo de manera que pase por tres puntos dados o sea tangente a tres rectas dadas. Apolonio (en una obra llamada Tangencias que ya no sobrevive) encontró el círculo tangente a tres círculos dados, o tangente a cualquier combinación de tres puntos, líneas y círculos. (La construcción de la tangencia a tres círculos, uno de los problemas geométricos más estudiados, ha atraído a más de 100 soluciones diferentes en la época moderna.)

Ejemplo: Tangencia círculo-círculo-círculo

Ejemplo: Tangencia recta-círculo-círculo

Apolonio es mejor conocido por su Cónicas, un tratado de ocho libros (Libros I-IV sobreviven en griego, V-VII en una traducción árabe medieval; el Libro VIII está perdido). Las secciones cónicas son las curvas formadas cuando un plano intersecta la superficie de un cono (o cono doble). Se supone que la superficie del cono es generada por la rotación de una línea a través de un punto fijo alrededor de la circunferencia de un círculo que está en un plano que no contiene a ese punto. (El punto fijo es el vértice del cono, y la línea que rota su generador.) Hay tres tipos básicos: si el plano de corte es paralelo a una de las posiciones del generador, produce una parábola. Si se encuentra con el cono sólo en un lado del vértice, se produce una elipse (de la que el círculo es un caso especial); pero, si intersecta a las dos partes del cono, produce una hipérbola. Apolonio establece con detalle las propiedades de estas curvas. Mostró, por ejemplo, que para segmentos de línea dados a y b, la parábola corresponde a la relación (en notación moderna) y^{2}=ax, la elipse a y^{2}=ax ax^{2}/b y la hipérbola a y^{2}=ax+ax^{2}/b.

Cónicas como intersección de un plano con un cono

El tratado de Apolonio sobre las cónicas en parte consolidó más de un siglo de trabajo delante de él, y en parte presentó nuevas conclusiones de su propio trabajo. Como se mencionó anteriormente, Euclides ya había escrito un libro de texto sobre cónicas, e incluso antes Menecmo había jugado un papel en su estudio. Sin embargo, los nombres que Apolonio eligió para las curvas (los términos pueden ser originales de él) indican una conexión anterior. En la geometría pre-euclidiana parábola se refería a una operación específica, la “aplicación” de un área dada a una línea dada, en donde se busca la línea x tal que ax=b^{2} (donde a y b son rectas dadas). Como alternativa, se puede buscar x tal que x(a+x)=b^{2}, o x(a-x)=b^{2}, y en estos casos la aplicación se dice que es en “exceso” (hipérbola) o por “defecto” (elipse) de la cantidad de una figura cuadrada (es decir, x^{2}). Estas construcciones, que cuentan para una solución geométrica de la ecuación cuadrática general, aparecen en los Libros I, II y VI de los Elementos y pueden estar asociadas de alguna manera con los pitagóricos del siglo V.

Apolonio presentó un estudio exhaustivo de las propiedades de estas curvas. Una muestra de los temas que cubrió incluye lo siguiente: las relaciones satisfechas por los diámetros y las tangentes de las cónicas (Libro I); cómo se relacionan las hipérbolas con sus “asíntotas”, las líneas que se acercan a ellas sin intersectarlas (Libro II); cómo dibujar tangentes a cónicas dadas (Libro II); relaciones de cuerdas que se intersectan en cónicas (Libro III); la determinación del número de formas en las que pueden intersectarse las cónicas (Libro IV); cómo dibujar líneas “normales” a cónicas (es decir, líneas que las intersectan en ángulos rectos; Libro V); y la congruencia y semejanza de cónicas (Libro VI).

Por la declaración explícita de Apolonio, sus resultados son usados principalmente como métodos para la solución de problemas geométricos a través de cónicas. Mientras que en realidad resolvió sólo un conjunto limitado de problemas, las soluciones de muchos otros pueden ser inferidas a partir de sus teoremas. Por ejemplo, los teoremas del Libro III permiten la determinación de cónicas que pasan por puntos dados o son tangentes a líneas dadas. En otro trabajo (ahora perdido) Apolonio resolvió el problema de la duplicación del cubo mediante cónicas (una solución relacionada de algún modo con la dada por Menecmo). Además, una solución del problema de la trisección del ángulo dada por Pappus puede haber venido de Apolonio o haber estado influenciada por su trabajo.

Con el avance del campo de problemas geométricos de Euclides, Apolonio y sus seguidores, se volvió conveniente introducir un esquema de clasificación: los problemas que pueden resolverse por medio de cónicas fueron llamados sólidos, mientras que los que pueden resolverse por medio de círculos y líneas únicamente (como se supuso en los Elementos de Euclides) fueron llamados planos. Así, se puede duplicar el cuadrado por medios planos (como en los Elementos, Libro II, Proposición 14), pero no se puede duplicar el cubo de esa manera, a pesar de que es posible una construcción sólida (como en una entrada anterior). Del mismo modo, la bisección de cualquier ángulo es una construcción plana (como se muestra en los Elementos, Libro I, Proposición 9), pero la trisección general de un ángulo es de tipo sólido. No se sabe cuándo se introdujo por primera vez la clasificación o cuándo los métodos planos fueron asignados al estatus canónico en relación con los otros, pero parece plausible una fecha próxima a la época de Apolonio. De hecho, gran parte de sus libros,  como Tangencias, Vergings (o Inclinaciones)  y Plane Loci, ahora perdido pero ampliamente descrito por Pappus, vuelven sobre el proyecto de exponer el dominio de las construcciones planas sobre otros métodos en relación a soluciones. Sobre la base de los principios de la geometría griega, no se puede demostrar, sin embargo, que es imposible llevar a cabo por medios planos ciertas construcciones sólidas (como la duplicación del cubo y la trisección del ángulo). Estos resultados fueron establecidos solamente por algebristas en el siglo XIX  (en particular, por el matemático francés Pierre Laurent Wantzel en 1837).

Una tercera clase de problemas, denominados lineales, abrazó a aquellos solubles por medio de curvas que no sean ni el círculo ni las cónicas (en griego, la palabra “línea” se refiere a todas las líneas, ya sea curvas o rectas). Por ejemplo, un grupo de curvas, los concoides (de la palabra griega para “shell”) está formado mediante el marcado de una cierta longitud en una regla y haciéndola girar alrededor de un punto fijo de tal manera que uno de los puntos marcados se mantiene en una línea determinada. El otro punto marcado traza una concoide.

Concoide

Estas curvas se pueden utilizar siempre que una solución implique la colocación de una regla marcada con respecto a una línea dada (en griego tales construcciones son llamados neuses, o “vergings” de una línea a un punto dado). Por ejemplo, cualquier ángulo agudo (como el ángulo entre un lado y la diagonal de un rectángulo) se puede trisecar tomando una longitud igual a dos veces la diagonal y moviéndola sobre él hasta que llegue a ser insertada entre otros dos lados del rectángulo. Sin embargo, debido a que la misma construcción se puede efectuar por medio de una hipérbola, el problema no es lineal sino sólido. Tales usos de los concoides fueron presentados por Nicomedes (mediados o fines del siglo III  a.C.), y su sustitución por construcciones sólidas equivalentes parece haber llegado poco después, tal vez vía Apolonio o sus asociados.

Algunas de las curvas utilizadas para la resolución de problemas no son tan reducibles. Por ejemplo, la espiral de Arquímedes acopla un movimiento uniforme de un punto sobre un semi-rayo con la rotación uniforme del rayo alrededor de un punto fijo en su extremo. Tales curvas tienen su principal interés como medio para la cuadratura del círculo y la trisección del ángulo.

Espiral de Arquímedes – cuadratura del círculo

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Aunque Euclides resuelve más de 100 problemas de construcción en los Elementos, muchos más fueron planteados cuyas soluciones requerían más que un simple compás y una regla. Tres de estos problemas estimularon mucho interés entre los geómetras posteriores a tal punto que llegaron  a ser conocidos como los “problemas clásicos”:

  • la duplicación del cubo (es decir, la construcción de un cubo cuyo volumen es el doble que el de un cubo dado),
  • la trisección del ángulo y
  • la cuadratura el círculo.

Incluso en el período pre-euclidiano había comenzado el esfuerzo para construir un cuadrado de área igual a la de un círculo dado. Algunos resultados relacionados procedían de Hipócrates. Otros fueron reportados por Antífona y Bryson, y el teorema de Euclides sobre el círculo en los Elementos, Libro XII, Proposición 2, que establece que los círculos están en la razón de los cuadrados de sus diámetros, fue importante para esta búsqueda. Pero las primeras construcciones reales (no, debe señalarse, por medio de las herramientas euclidianas, pues esto es imposible) llegaron sólo en el siglo III a.C. La historia temprana de la trisección del ángulo es oscura. Presumiblemente se intentó en el período pre-euclidiano, aunque sólo se conocieron soluciones a partir del siglo III o después.

Sin embargo, hay varios esfuerzos exitosos en la duplicación del cubo que datan del periodo pre-euclidiano. Hipócrates demostró que el problema podía reducirse al de encontrar dos medias proporcionales: si para una línea dada a se necesita encontrar un x tal que x^{3}=2a^{3}, se pueden buscar líneas xy de manera que

a:x=x:y=y:2a

pues entonces

a^{3}/x^{3}=(a/x)^{3}=(a/x)(x/y)(y/2a)=a/2a=1/2

(Tenga en cuenta que el mismo argumento es válido para cualquier multiplicador, no sólo para el número 2.) Por lo tanto, el cubo se puede duplicar si es posible encontrar las dos medias proporcionales x e y entre los dos rectas dadas a y 2a. Construcciones del problema de las dos medias fueron propuestos por Arquitas, Eudoxo y Menecmo en el siglo IV a.C. Menecmo, por ejemplo, construyó tres curvas correspondientes a estas mismas proporciones: x^{2}=ay, y^{2}=2ax y xy=2a^{2}. La intersección de dos de ellas produce entonces la recta x que resuelve el problema. Las curvas de Menecmo son secciones cónicas: las dos primeras son parábolas, la tercera una hipérbola. Por lo tanto, a menudo se afirma que Menecmo originó el estudio de las secciones cónicas. De hecho, Proclo y su autoridad mayor, Geminus (mediados del siglo I d.C.), parecen haber sostenido esta opinión. Sin embargo la evidencia no indica cómo Menecmo concibió en realidad las curvas, por lo que es posible que el estudio formal de las secciones cónicas como tales no comenzara hasta más tarde, cerca de la época de Euclides. Tanto Euclides como su viejo contemporáneo, Aristeo, compusieron tratamientos (ahora perdidos) de la teoría de las secciones cónicas.

En la búsqueda de las soluciones de problemas, los geómetras desarrollaron una técnica especial, a la que llamaron “análisis”. Suponían que el problema había sido resuelto y, a continuación, mediante la investigación de las propiedades de esta solución, trabajaban hacia atrás para encontrar un problema equivalente que pudiera resolverse sobre la base de lo dado. Para obtener la solución formalmente correcta del problema original, los  geómetras entonces invertían el procedimiento: primero utilizaban los datos para resolver el problema equivalente derivado en el análisis y, a partir de la solución obtenida, resolvían entonces el problema original. En contraste con el análisis, este procedimiento inverso se llamaba “síntesis”.

La duplicación del cubo de Menecmo es un ejemplo de análisis: asumió las medias proporcionales x e y y luego descubrió que es equivalente al resultado de intersectar las tres curvas cuya construcción podía tomar como conocida. (La síntesis consiste en introducir las curvas, encontrar su intersección y demostrar que esto resuelve el problema.) Es evidente que los geómetras del siglo IV a.C. estaban bien familiarizados con este método, pero Euclides proporciona sólo la síntesis, nunca el análisis, de los problemas resueltos en los Elementos. Ciertamente, en los casos de construcciones más complicadas, sin embargo, no cabe duda de que algún tipo de análisis precedió a la síntesis que se presenta en los Elementos.

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