Zenón de Elea

Los matemáticos griegos clásicos rehuyeron el estudio del infinito, tanto lo infinitamente grande como lo infinitamente pequeño (lo infinitesimal). Los infinitesimales son la piedra angular del cálculo, y muchos griegos, como Arquímedes de Siracusa, dieron los primeros pasos vacilantes hacia un descubrimiento completo del cálculo. Sin embargo, la mayoría rechazó la noción de cantidades infinitamente divisibles, como un continuo, y esta reacción se debió en gran parte a las paradojas de Zenón.

Zenón de Elea nació aproximadamente en el año 490 a.C. en Elea, Italia. Él es de ascendencia griega a pesar de su nacimiento en Italia, y es considerado en la historia miembro del grupo de filósofos griegos. Existe muy poca información confiable sobre su vida, pero se dice que su padre era Telautagoras. Zenón finalmente estudió en la escuela de filosofía de Elea, donde conoció a su maestro Parménides. La escuela eleática, fundada por Parménides, enseñó el monismo, el concepto de que todo es uno. Esta filosofía influyó en Zenón para formular varias paradojas que desafiaban los conceptos de divisibilidad infinita.

Platón afirma que Zenón y Parménides viajaron a Atenas en el 450 a.C., donde se encontraron con el joven Sócrates y discutieron filosofía con él. Antes de viajar a Atenas, Zenón ya había adquirido cierta fama a través de la publicación de un libro (que no ha sobrevivido) que contenía 40 paradojas. Estas paradojas forman una disección profundamente estimulante del concepto del continuo, perturbando así las cómodas nociones de cosas comunes como el movimiento, el tiempo y el espacio. Una de las suposiciones de Zenón es la divisibilidad: si una magnitud se puede dividir en dos, entonces se puede dividir para siempre. El trabajo de Richard Dedekind luego establecería esta propiedad de continuo para los números reales. Zenón también asumió que no existe ningún objeto de magnitud cero (no lo expresó de esta manera, ya que los griegos no tenían el cero).

En la paradoja llamada «La dicotomía», Zenón afirma que para atravesar una distancia, primero es necesario atravesar la mitad de esa distancia; pero para llegar a la mitad, primero se requiere ir un cuarto del camino. Continuando con este razonamiento indefinidamente, Zenón concluye que comenzar es imposible y que, por lo tanto, el movimiento es imposible. Esta paradoja generalmente se resuelve sumando la serie geométrica de potencias recíprocas de dos. En «La flecha», Zenón declara que el movimiento es imposible, porque (suponiendo que la instancia actual de tiempo «ahora» es indivisible) si una flecha se mueve cierta distancia en un instante de tiempo indivisible, entonces se movió la mitad de esa distancia en la mitad del tiempo, lo que resulta en una división del instante. Esto puede resolverse permitiendo que el tiempo sea un continuo, infinitamente divisible.

La paradoja más famosa de Zenón es la de Aquiles: establece que se ejecuta una carrera entre el héroe griego Aquiles y una tortuga, donde la lenta tortuga comienza con una ventaja. Después de un tiempo, Aquiles alcanza la mitad de la distancia intermedia. Pero la tortuga ha seguido su camino; Aquiles luego corre la mitad de la distancia restante, pero nuevamente la tortuga ha avanzado más. ¡Llevando este argumento hasta el infinito, Zenón concluye que Aquiles nunca puede ponerse al día! Esto también se puede resolver configurando una serie geométrica adecuada. Sin embargo, las resoluciones de estas paradojas se basan en ciertas nociones de infinito y propiedades del continuo. La estructura matemática detrás de estos conceptos no se desarrolló hasta muchos siglos después. Sir Isaac Newton, Gottfried Leibniz y Blaise Pascal sentaron las bases modernas del cálculo. A finales del siglo XIX, Georg Cantor, Friedrich Ludwig Gottlob Frege y Bertrand Arthur William Russell realizaron trabajos más avanzados sobre el continuo, así como las propiedades básicas de los números reales, entre otros. Por lo tanto, la influencia de Zenón fue de gran alcance, ya que hizo algunas preguntas muy profundas sobre el tiempo, el espacio y el movimiento.

Zenón murió en algún momento alrededor del año 425 a.C., y una fuente cuestionable relata que fue ejecutado después de un intento fallido de eliminar a un tirano de Elea. Aunque era filósofo, las ideas de Zenón provocaron una revolución matemática milenios después, ya que sus paradojas apuntaban a la necesidad de proporcionar una base rigurosa a los conceptos intuitivos del espacio y el tiempo. Sus paradojas sobre el movimiento demostraron las dificultades de considerar la velocidad como una distancia dividida por el tiempo, ya que esta relación parece ser cero dividida por cero cuando el tiempo transcurrido de viaje se reduce a cero; solo con el descubrimiento de límites e infinitesimales en la disciplina del cálculo diferencial se resolvió este enigma. Además de proporcionar una gran cantidad de obstáculos mentales para los intelectuales posteriores, Zenón también sirvió para inhibir el crecimiento de las matemáticas griegas para abarcar el infinito; por lo tanto, fue una influencia retardadora clásica, pero milenios más tarde se convirtió en un impulso para el desarrollo matemático.

 

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Fuente bibliográfica:

• McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Paradoja de Zenón

Otra disputa entre los filósofos pre-socráticos estaba más relacionada con el mundo físico. Parménides afirmó que en el mundo real no hay tal cosa como el cambio y que el flujo de tiempo es una ilusión, una visión con paralelos en el modelo espacio-temporal de cuatro dimensiones del universo de Einstein-Minkowski. Heráclito, por otra parte, afirmaba que el cambio es omnipresente y se dice que ha dicho que uno no puede entrar en el mismo río dos veces.

Zenón de Elea, seguidor de Parménides, afirmaba que el cambio es realmente imposible y produjo cuatro paradojas para demostrarlo. La más famosa de estas describe una carrera entre Aquiles y una tortuga. Puesto que Aquiles puede correr mucho más rápido que la tortuga, digamos dos veces más rápido, se le permite a la tortuga una ventaja de una milla. Cuando Aquiles haya corrido una milla, la tortuga habrá vuelto a correr media distancia, es decir, media milla. Cuando Aquiles haya cubierto esa media milla adicional, la tortuga habrá recorrido otro cuarto de milla. Después de etapas, Aquiles ha corrido

millas y la tortuga ha corrido

millas, estando millas adelante. Entonces, ¿cómo puede Aquiles alcanzar a la tortuga?

Las paradojas de Zenón también pueden interpretarse como mostrando que el espacio y el tiempo no están compuestos de átomos discretos, sino que son sustancias infinitamente divisibles. Matemáticamente hablando, su argumento implica la suma de la progresión geométrica infinita

ninguna suma parcial finita de la cual suma . Como diría más tarde Aristóteles, esta progresión es sólo potencialmente infinita. Ahora se comprende que Zenón estaba tratando de enfrentarse a la noción de límite, que no se explicó formalmente hasta el siglo XIX, aunque el enciclopedista francés Jean Le Rond d’Alembert (1717 – 1783) había iniciado algunos avances.

 

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El desarrollo de la matemática pura en Grecia

Cuando la matemática apareció en Grecia, la disciplina pasó de ser un esfuerzo colectivo a una actividad realizada por personas cuyos nombres son conocidos en a historia. Entre los más grandes matemáticos griegos podemos mencionar a Euclides, Arquímedes y Apolonio.

No fue hasta los griegos que la matemática «pura» surgió. Hoy en día se sabe que algunas ramas de la matemática pueden no tener ninguna aplicación práctica inmediata, sino que son estudiadas sólo por el placer intelectual que le dan a sus practicantes. Ello debemos agradecérselo a los matemáticos de la antigua Grecia.

Período pre-helénico

Los griegos dividieron el campo de la matemática en artimética (el estudio de la «multitud», o cantidad discreta) y geometría (el estudio de la «magnitud», o la cantidad continua) y consideraron que ambas se originaron en actividades prácticas. Proclo, en su Comentario sobre Euclides, observó que la geometría, literalmente «la medición de la tierra», surgió primero en las prácticas de medición entre los antiguos egipcios, pues la inundación del Nilo les obligaba cada año a redefinir los límites de sus propiedades. Del mismo modo, la aritmética se inició con el comercio y el intercambio de los comerciantes fenicios. Aunque Proclo escribió bastante tarde en el período antiguo (en el siglo V d.C.), su relato se basó en relatos de predecesores -de Herodoto (mediados de siglo V a.C.), por ejemplo, y de Eudemo, discípulo de Aristóteles (finales del siglo IV a.C.).

Aunque posible, este punto de vista es difícil de comprobar, pues sólo hay escasa evidencia de las prácticas matemáticas  de la época griega temprana (más o menos, del siglo VII al IV a.C.). Inscripciones en piedra revelan, por ejemplo, el uso de un sistema de numeración en principio del mismo tipo que el de los familiares números romanos. Herodoto parece haber tenido conocimiento del uso del ábaco por parte de griegos y egipcios como ayuda para el cálculo, y alrededor de una docena de muestras de piedra de ábacos griegos sobreviven que datan de los siglos V a IV a.C. En el levantamiento de las nuevas ciudades en las colonias griegas de los siglos VI y V se evidencia un uso regular de una longitud estándar de 70 pletros (un pletro equivale a 100 pies, es decir, aproximadamente 30,48 metros) como diagonal de un cuadrado de lado 50 pletros. De hecho, la diagonal real del cuadrado es 50√2 pletros, así que esto era equivalente a usar 7/5 (o 1,4) como una estimación para √2, que ahora se conoce igual a 1,414…. En el siglo VI a.C. el ingeniero Eupalinus de Megara dirige un acueducto a través de una montaña en la isla de Samos, y los historiadores aún debaten cómo lo hizo. En un indicio más de los aspectos prácticos de las matemáticas griegas tempranas, Platón describe en sus Leyes cómo los egipcios interesaron a sus hijos en los problemas prácticos de la aritmética y la geometría. Estaba claro que consideraba a este como un modelo a imitar por los griegos.

Tales indicios acerca de la naturaleza de las primeras prácticas matemáticas griegas se confirman en fuentes posteriores, por ejemplo, en los problemas aritméticos de los textos en los papiros del Egipto Ptolemaico (del siglo III a.C. en adelante) y en los manuales geométricos de Herón de Alejandría (siglo I d.C.) . En su forma básica, esta tradición griega era muy parecida a las tradiciones anteriores en Egipto y Mesopotamia. De hecho, es probable que los griegos utilizaran en cierto punto tales fuentes más antiguas.

Lo distintivo de la contribución de los griegos a la matemática,y lo que en efecto les hizo ser considerados los creadores de la «matemática» en la forma en que el término se entiende en general, fue su desarrollo como disciplina teórica. Esto significa dos cosas:

• los enunciados matemáticos son generales, y
• ellos son confirmados mediante demostraciones.

Por ejemplo, los mesopotámicos tenían procedimientos para la búsqueda de números enteros para los que (por ejemplo, ). Pero los griegos lograron una prueba de una regla general para encontrar todos estos conjuntos de números (que ahora se llaman ternas pitagóricas): si se toman números enteros cualesquiera $latex p$ y , siendo ambos pares o impares, entonces . Como Euclides demuestra en el Libro X de los Elementos, los números de esta forma satisfacen la relación de ternas pitagóricas. Además, los mesopotámicos parecen haber entendido que tales números forman los lados de un triángulo rectángulo, pero los griegos demostraron este resultado (Euclides, de hecho, así lo demuestra en dos ocasiones: en los Elementos, Libro I, proposición 47 , y en una forma más general en los Elementos, Libro VI, proposición 31), y estas pruebas se producen en el contexto de una presentación sistemática de las propiedades de las figuras geométricas planas.

Los Elementos, compuesto por Euclides de Alejandría alrededor del año 300 a.C., fue la contribución fundamental de la geometría teórica, pero la transición de la matemática práctica a la matemática teórica se había producido mucho antes, en algún momento del siglo V a.C. Iniciada por hombres como Pitágoras de Samos (finales del siglo VI) e Hipócrates de Quíos (finales del siglo V), la forma teórica de la geometría siguió avanzando de la mano de figuras de la talla los pitagóricos Arquitas de Tarento, Teeteto de Atenas y Eudoxo de Cnido (siglo IV). Debido a que los escritos reales de estos hombres no han sobrevivido, el conocimiento acerca de su trabajo depende de las observaciones hechas por escritores posteriores.

Por lo tanto, es una cuestión de debate cómo y por qué se llevó a cabo esta transición teórica. Un factor frecuentemente citado es el descubrimiento de los números irracionales. Los primeros pitagóricos sostenían que «todo es número». Esto podría entenderse en el sentido de que cualquier medida geométrica se puede asociar a un número (a saber, un número entero o fracción, en la terminología moderna un número racional); en el uso griego el término de número, arithmos, se refiere exclusivamente a números enteros o, en algunos contextos, a fracciones ordinarias. Este supuesto es bastante común en la práctica, como cuando la longitud de una línea dada se dice que es por tantos centímetros de otra. Sin embargo, se rompe para las líneas que forman el lado y la diagonal del cuadrado. (Por ejemplo, si se supone que la relación entre el lado y la diagonal se puede expresar como la razón de dos números enteros, se puede demostrar que ambos números deben ser pares. Esto es imposible, ya que cada fracción se puede expresar como un cociente de dos números enteros que no tienen factores comunes.) Geométricamente, esto significa que no existe una longitud que pueda servir como unidad de medida tanto del lado como de la diagonal. Es decir, el lado y la diagonal no pueden cada uno ser igual a la misma longitud multiplicada por (diferentes) números enteros. En consecuencia, los griegos llamaban a tales pares de longitudes «inconmensurables».

Este resultado ya era bien conocido en la época de Platón y puede muy bien haber sido descubierto dentro de la escuela de Pitágoras en el siglo V a.C., como más tarde sostiene Pappus de Alejandría (siglo IV d.C.). En cualquier caso, en el año 400 a.C. se sabía que las líneas correspondientes a √3, √5 y otras raíces cuadradas son inconmensurables con una unidad de longitud fija. El resultado más general, el equivalente geométrico del teorema de que es irracional cuando no es un número cuadrado racional está asociado con unamigo de Platón, Teeteto. Tanto Teeteto como Eudoxo contribuyeron a la continuación del estudio de los irracionales, y sus seguidores recolectaron los resultados en una teoría sustancial, como está representado en las 115 proposiciones del Libro X de los Elementos.

El descubrimiento de los irracionales debe haber afectado a la naturaleza misma de la investigación matemática temprana, ya que dejó claro que la aritmética era insuficiente para la geometría, a pesar de las suposiciones hechas en el trabajo práctico. Además, una vez que supuestos aparentemente obvios como la conmensurabilidad de todas las líneas resultó ser falsa, aparecieron sospechas que generaron todo tipo de supuestos matemáticos. Al menos se hizo necesario justificar cuidadosamente todas las afirmaciones hechas sobre matemática. Aún más, básicamente se hizo necesario establecer cómo debe ser un razonamiento para calificar como demostración. Al parecer Hipócrates de Quíos, en el siglo V a.C., y pronto otros después de él, ya habían empezado el trabajo de la organización de los resultados geométricos de una forma sistemática en libros de texto llamados «elementos» (que significa «Resultados fundamentales» de la geometría). Estos sirvieron un siglo más tarde de fuentes a Euclides en su exhaustivo libro de texto.

Los primeros matemáticos no eran un grupo aislado sino parte de un ambiente intelectual más grande e intensamente competitivo de pensadores presocráticos en Jonia e Italia, así como sofistas en Atenas. Al insistir en que sólo las cosas permanentes podían tener existencia real, el filósofo Parménides (siglo V a.C.) puso en duda las afirmaciones más básicas sobre el conocimiento mismo. En contraste, Heráclito (c. 500 a.C.) sostenía que toda la permanencia es una ilusión, ya que las cosas que son percibidas surgen a través de un sutil equilibrio de tensiones opuestas. De este modo lo que se entiende por «conocimiento» y «prueba» entró en debate.

Los problemas matemáticos a menudo conducen a estos debates. Para algunos, como los pitagóricos (y, más tarde, Platón), la certeza de la matemática se llevaba a cabo como un modelo para el razonamiento en otras áreas, como la política y la ética. Pero para otros matemáticas parecía propensa a la contradicción. Zenón de Elea (siglo V a.C.) planteó paradojas sobre la cantidad y el movimiento. En una de tales paradoja supone que una línea puede ser dividida una y otra vez en dos partes sin límite. Si la división en última instancia se traduce en un conjunto de puntos de longitud cero, entonces incluso infinitamente muchos de ellos se resumen sólo a cero, pero si resulta en pequeños segmentos de línea, entonces su suma será infinita. En efecto, la longitud de la línea dada debe ser tanto cero como infinito. En el siglo V a.C. Demócrito y los atomistas, filósofos que sostenían que todos los cuerpos materiales están en última instancia compuestos de diminutos e invisibles «átomos» (la palabra griega atomon significa «indivisible») intentaron una solución para este tipo de paradojas. Pero en la geometría tal punto de vista entró en conflicto con la existencia de líneas inconmensurables, ya que los átomos se convertirían en las unidades de medida de todas las líneas, incluso las inconmensurables. Demócrito y el sofista Protágoras estaban confundidos sobre si la tangente a un círculo y éste se encontraban en un punto o en una línea. Los sofistas Antífona y Bryson (ambos del siglo V a.C.) consideraron cómo comparar el círculo con polígonos inscritos en él.

Por lo tanto los presocráticos  detectaron algunas dificultades en supuestos concretos sobre lo infinito y lo infinitamente pequeño y sobre la relación de la geometría con la realidad física, así como en concepciones más generales como la «existencia» y la «demostración». Cuestiones filosóficas como estas no necesariamente han afectado las investigaciones técnicas de los matemáticos, pero sí han hecho que sean conscientes de dificultades que podrían guardar relación con cuestiones fundamentales y así ellos tuvieron que brindar las más cautelosas definiciones de sus objetos.

Cualquier revisión de los posibles efectos de factores como estos es una mera conjetura, ya que las fuentes son fragmentarias y nunca explicitan cómo los matemáticos respondieron a las cuestiones que se plantearon. Pero es la especial preocupación por los supuestos fundamentales y por las demostraciones lo que distingue a la matemática griega de tradiciones anteriores.

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