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Posts Tagged ‘Peter Lejeune Dirichlet’

Pocos matemáticos pueden compararse con Bernhard Riemann en términos de creatividad y profundidad de conocimiento. No solo encontró la nueva disciplina de la geometría riemanniana que se volvería tan importante para la teoría de la relatividad general un siglo más tarde, sino que también avanzó significativamente en otros campos de la matemática, incluido el análisis complejo, la teoría de funciones elípticas, las ecuaciones diferenciales y la teoría de la integración y topología. Es quizás más famoso por descubrir la función zeta de Riemann, que es importante para la teoría analítica de números. Como las de muchos genios, las ideas de Riemann eran tan avanzadas que pocos podían aceptarlas inmediatamente; después de su temprana muerte, el impacto de su investigación comenzó a apreciarse.

Georg Friedrich Bernhard Riemann nació el 17 de septiembre de 1826 en Breselenz, Alemania. Su madre fue Charlotte Ebell, y su padre Friedrich Bernhard Riemann. Riemann mantuvo una estrecha relación con su padre, un ministro luterano, durante toda su vida. Fue el segundo de seis hijos. Su padre lo educó personalmente hasta que tenía 10 años, y en 1842 el niño ingresó en el Johanneum Gymnasium en Lüneburg. Era un buen alumno, pero aún no mostraba un talento extraordinario en la matemática. Aunque sus estudios principales fueron clásicos y teológicos, se interesó por la matemática después de devorar rápidamente un libro de teoría de números de Adrien-Marie Legendre.

En 1846, Riemann se matriculó en la Universidad de Göttingen, donde siguió estudiando matemática. Aunque Carl Friedrich Gauss enseñaba allí en ese momento, no reconoció el talento de Riemann, al igual que algunos de sus otros maestros. Al año siguiente, Riemann se trasladó a la Universidad de Berlín, donde pudo estudiar con Carl Jacobi y Peter Lejeune Dirichlet; este último fue especialmente influyente en Riemann, quien adoptó su enfoque intuitivo y no computacional para las ideas matemáticas. Gran parte del trabajo de Riemann carecía del rigor preciso común en ese momento: centró sus energías en desarrollar conceptos y marcos correctos para comprender la matemática. Durante este tiempo formuló los principios básicos de su teoría de variables complejas.

Riemann regresó a Göttingen en 1849 para un trabajo de doctorado, y presentó su tesis, dirigida bajo la supervisión de Gauss, en 1851. Este trabajo presenta los objetos geométricos que se conocieron como superficies de Riemann. Fue influenciado por ideas de la física y la topología, y aplicó estas técnicas en su análisis de estas superficies, basándose en la teoría más básica de las variables complejas de Augustin-Louis Cauchy. Algunos de sus resultados se probaron utilizando una técnica variacional conocida como principio de Dirichlet (Riemann atribuyó el método a Dirichlet, aunque Gauss y otros lo habían desarrollado anteriormente). Esta tesis fue sorprendente por su originalidad, incluso el soberano Gauss quedó impresionado.

Para su trabajo postdoctoral, Riemann comenzó a investigar la representación de funciones en términos de una base de funciones trigonométricas (análisis de Fourier); en el curso de su investigación, desarrolló una rigurosa teoría de la integración, construyendo lo que más tarde se conocería como la integral de Riemann de una función. Estaba trabajando en Göttingen, y Gauss le exigió que diera una conferencia sobre geometría para completar su beca; la conferencia de Riemann sobre geometría más tarde se hizo muy famosa, ya que estableció los principios básicos y las ideas claves detrás de la teoría de la geometría diferencial. Esta conferencia de 1854 desarrolló conceptos generales de espacio, dimensión, líneas rectas, métricas, ángulos y lugares tangentes para superficies curvas. El resultado de esta exposición notablemente original fue el establecimiento de la geometría diferencial como un campo importante de investigación matemática (hubo trabajos anteriores sobre geometría diferencial, pero Riemann plantó las ideas principales que continuarían guiando el tema a lo largo del próximo siglo), que luego resultó tener una aplicación notable a la teoría general de la relatividad: Albert Einstein, a principios del siglo XX, describió la fuerza de la gravedad como esencialmente una curvatura del espacio, y la teoría geométrica de Riemann fue la base matemática perfecta para esta importante nueva rama de la física.

Esta conferencia probó el concepto fundamental de espacio con una profundidad notable, y pocos científicos y matemáticos pudieron apreciar el genio extraordinario del pensamiento penetrante de Riemann; quizás solo Gauss fue capaz de comprender verdaderamente el significado del nuevo paradigma. Riemann luego pasó a la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales, tema sobre el que dio un curso con poca asistencia. Obtuvo una cátedra en Göttingen en 1857, el mismo año en que publicó la teoría de las funciones abelianas. Este trabajo investiga más a fondo las propiedades topológicas de las superficies de Riemann, así como los llamados problemas de inversión. Aunque otros matemáticos, incluido Karl Weierstrass, trabajaban en esta área, el trabajo de Riemann fue tan amplio que se convirtió en un pensador destacado en esta rama de la matemática. Riemann utilizó nuevamente el principio de Dirichlet para sus resultados, y Weierstrass declaró que no era válido para las aplicaciones de Riemann. La búsqueda de una prueba alternativa durante las siguientes décadas condujo a varios otros desarrollos algebraicos fructíferos; David Hilbert finalmente dio la formulación correcta y la prueba de los resultados de Riemann a finales de siglo. Como resultado de la correcta crítica de Weierstrass, muchos matemáticos abandonaron las teorías desarrolladas por Riemann, quien sostuvo que eran ciertas.

En 1858, Riemann recibió la visita de Enrico Betti, quien importó las ideas topológicas de Riemann a su propio trabajo. El año siguiente murió Dirichlet, y Riemann lo reemplazó como presidente de matemática en Göttingen; también fue elegido para la Academia de Ciencias de Berlín a través de las fuertes recomendaciones de Ernst Eduard Kummer y Weierstrass. La siguiente área de investigación de Riemann fue la teoría de números: exploró la función zeta, ya definida por Leonhard Euler, extendiéndola primero al plano complejo. Esta función zeta da la suma de varias series infinitas y ya se sabía que estaba relacionada con el conjunto de números primos. El trabajo de Riemann amplió enormemente el conocimiento de esta función, así como sus aplicaciones; la famosa hipótesis de Riemann, que sigue sin resolverse hoy en día, establece que todas las raíces no triviales de la función zeta se encuentran en la línea en el plano complejo definida por los números complejos cuya parte real es igual a un medio. Esta extraña conjetura ha sido ampliamente verificada numéricamente, pero una prueba completa ha escapado a los esfuerzos concertados de cientos de matemáticos. La función zeta tiene varias aplicaciones para la teoría numérica analítica, como estimar el número de primos menores que un entero dado.

Riemann sufrió de mala salud durante toda su vida. Su constitución débil más tarde impediría su investigación y le quitaría la vida prematuramente. Se casó con Elise Koch en 1862, pero poco después contrajo un resfriado y luego desarrolló tuberculosis. Pasó gran parte de su tiempo en los próximos años en el extranjero, en Italia, con la esperanza de que el clima más suave alivie su enfermedad. Regresó a Göttingen en 1865, y su salud declinó rápidamente a partir de entonces; viajó a Italia en 1866 nuevamente por razones de salud, pero no se recuperó. Murió el 20 de julio de 1866 en Selasca, Italia.

Riemann fue fácilmente uno de los matemáticos más influyentes y creativos del siglo XIX y, de hecho, de toda la historia. Afectó de manera significativa la geometría y el análisis complejo sobre todo, proporcionando esencialmente el marco a través del cual se estudian estos temas hoy. Y las preguntas y los problemas profundos que abordó en el campo de la geometría son extremadamente relevantes para las concepciones modernas del universo físico. Su trabajo en teoría de números ha estimulado un esfuerzo de investigación sin igual: la investigación de la función zeta de Riemann debe ser uno de los campos de actividad matemática más concurridos. Gauss estaría de acuerdo en que Riemann fue sin duda uno de los mejores matemáticos que este mundo ha visto.

En Septiembre del año pasado (2018) ocurrió un hecho de gran trascendencia en Heidelberg Laureate Forum. El matemático Michael Atiyah (1929-2019) anunciaba haber demostrado finalmente la Hipótesis de Riemann. Su conferencia fue vista por decenas de miles de personas por internet y numerosos ciudadanos mostraron su entusiasmo en Twitter, alabando al octogenario experto: «Los héroes a veces no llevan capa».

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Rudolf Lipschitz fue un importante analista y geómetra en la segunda mitad del siglo XIX que avanzó en el conocimiento de las variedades riemannianas, las formas diferenciales y las funciones continuas, contribuyendo así a los fundamentos de gran parte de la matemática del siglo XX. Sus intereses en el área de la investigación eran bastante amplios, pero sus trabajos en geometría (basándose en el trabajo de Bernhard Riemann) son los más notables. 

Rudolf Lipschitz nació el 14 de mayo de 1832 en Königsberg, Alemania. Su padre era terrateniente y Lipschitz recibió una buena educación. Comenzó su estudio de la matemática en la Universidad de Königsberg a los 15 años, pero más tarde fue a Berlín, donde se convirtió en alumno de Peter Lejeune Dirichlet. Sufrió un retraso en sus estudios debido a una enfermedad, pero pudo completar su doctorado en la Universidad de Berlín en 1853. 

Después de varios años de enseñar en Gymnasiums locales, Lipschitz obtuvo un puesto en la Universidad de Berlín en 1857, y ese mismo año se casó con Ida Pascha. Primero se convirtió en profesor en la Universidad de Breslau en 1862, y luego en la Universidad de Bonn en 1864. Fue miembro de varias academias y se distinguió por la variedad y la profundidad de su investigación. 

Lipschitz investigó sobre teoría de números, funciones de Bessel, series de Fourier, ecuaciones diferenciales y mecánica. El más importante fue su trabajo sobre formas diferenciales de alta dimensión y sus relaciones con el cálculo de variaciones y la geometría. En esta área, Lipschitz desarrolló las ideas tempranas de Riemann y pudo conformar una nueva área de la matemática que ha demostrado tener un interés y relevancia duraderos en el siglo XX. 

Lipschitz también escribió un libro, Foundation of Analysis, que reunió varios temas de investigación matemática en un trabajo y fue el primero de su tipo escrito en alemán. Formuló una condición de continuidad para funciones llamada «condición de Lipschitz» que ha demostrado ser importante en la teoría de funciones y en la teoría de la aproximación, y se relaciona con cuestiones de existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales. 

El trabajo de Lipschitz sobre formas diferenciales se llevó a cabo en colaboración con el matemático Elwin Christoffel. Lipschitz obtuvo muchos resultados significativos con respecto a la curvatura de variedades y subvariedades de Riemann. Sus investigaciones fueron posteriormente continuadas por Gregorio Ricci-Curbastro, e implementadas por Albert Einstein en su teoría de la relatividad general. 

Lipschitz murió el 7 de octubre de 1903 en Bonn. Su principal aporte radica en el fundamento de la teoría de las formas diferenciales; esta rama de la matemática es elegante y útil para comprender geometrías de alta dimensión. Su trabajo sobre variedades fue indicativo de la dirección que tomaría pronto la investigación geométrica.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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Ernst Kummer fue uno de los grandes matemáticos creativos del siglo XIX, contribuyendo a la teoría de funciones, el álgebra y la geometría. Se le atribuyen varias técnicas e ideas matemáticas, y sus esfuerzos ayudaron a avanzar en la matemática moderna. 

Ernst Kummer nació el 29 de enero de 1810, en Sorau, Alemania, hijo de Carl Gotthelf Kummer, un médico que murió en 1813, y Frederike Sophie Rothe. Kummer ingresó en la escuela secundaria de Sorau en 1819, y estudió teología protestante en la Universidad de Halle en 1828. Sin embargo, pronto comenzó a estudiar matemática, en principio como preparación para la filosofía. En 1831 recibió su doctorado, y enseñó matemática y física en el Gymnasium de Liegnitz desde 1832 a 1842. Durante este tiempo, Leopold Kronecker fue uno de sus estudiantes, y Kummer pudo fomentar su talento natural. 

Su investigación en este tiempo se centró en las series hipergeométricas introducidas por Carl Friedrich Gauss. Kummer investigó más profundamente que nadie, obteniendo varios descubrimientos notables. Los intentos fallidos de probar el Último Teorema de Fermat llevaron a Kummer a estudiar la factorización de enteros y desarrollar la teoría de los ideales. También descubrió la superficie de Kummer, una variedad de cuatro dimensiones con 16 puntos dobles cónicos y 16 planos tangentes singulares. Maestro dotado, logró inspirar a varios estudiantes a llevar a cabo investigaciones independientes. Anteriormente había enviado parte de su trabajo sobre la teoría de funciones a Carl Jacobi, quien lo ayudó a obtener una cátedra en la Universidad de Breslau en 1842. En 1840 Kummer se casó con Ottilie Mendelssohn, prima de la esposa de Peter Lejeune Dirichlet. Ocupó su cargo en Breslau hasta 1855, y allí realizó su importante trabajo sobre la teoría de números y álgebra. Kummer introdujo números ideales y factores primos ideales para demostrar un gran teorema de Pierre de Fermat. En años posteriores, Kronecker y Richard Dedekind desarrollaron aún más sus resultados iniciales. 

En 1855, Dirichlet abandonó la Universidad de Berlín para suceder a Gauss en Göttingen, y Kummer fue nombrado reemplazo de Dirichlet. En 1856, tanto Karl Weierstrass como Kronecker también habían llegado a Berlín, iniciando un período de productividad matemática en la universidad. Kummer y Weierstrass construyeron el primer seminario alemán de matemática pura en 1861, que atrajo a muchos jóvenes estudiantes. Las conferencias de Kummer, que cubrían temas como geometría analítica, mecánica y teoría de números, fueron muy concurridas debido a su excelente exposición. 

Kummer fue bendecido con una inmensa cantidad de energía. Enseñó simultáneamente en la Kriegsschule de 1855 a 1874, fue secretario de la sección matemática de la Academia de Berlín de 1863 a 1878, y se desempeñó varias veces como decano y rector de la Universidad de Berlín. Durante esta última fase de su carrera, Kummer se centró en la geometría, con aplicaciones en sistemas de rayos y balística. Su estudio de los sistemas de rayos siguió el trabajo de Sir William Rowan Hamilton, aunque Kummer adoptó una perspectiva algebraica. En el curso de esta investigación, descubrió la llamada superficie de Kummer. Numerosos conceptos matemáticos han sido nombrados después de él. 

Cuando Kronecker y Weierstrass se separaron en la década de 1870, Kummer también podría haberse alejado de Weierstrass. Ciertamente, Kummer era política y matemáticamente conservador, evitando muchos de los nuevos desarrollos. Por ejemplo, Kummer rechazó la geometría no euclidiana por inútil. También consideraba la matemática como una ciencia pura, y creía que el atractivo de la matemática estaba en su escasez de aplicaciones. Cabe destacar que esta ha sido probablemente la opinión de los matemáticos durante la mayor parte de la historia, y solo en la era moderna surgió la opinión de que la matemática es valiosa solo si puede contribuir a la tecnología y al mejoramiento de la sociedad. 

En 1882 Kummer se retiró de su puesto, afirmando que su memoria se había debilitado. Murió el 14 de mayo de 1893 en Berlín. Tanto Gauss como Dirichlet ejercieron una gran influencia sobre el desarrollo de Kummer como matemático, y él sintió siempre un gran respeto por ambos. A pesar de su conservadurismo, Kummer pudo afectar influir en el desarrollo de la matemática a través de sus numerosos alumnos y su creatividad en bruto. Su trabajo en álgebra sobre la aritmetización de la matemática fue quizás el más importante.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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