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Posts Tagged ‘Pierre de Fermat’

Joseph Lagrange ha sido descrito como el último gran matemático del siglo XVIII. Sus ideas matemáticas fueron altamente originales e influyentes, allanando el camino para los estudios más abstractos del siglo XIX. Quizás su contribución más importante radique en su formulación mecanicista del universo, dando fórmulas matemáticas exactas para las leyes que gobiernan el movimiento y la mecánica. 

Joseph-Louis Lagrange nació el 25 de enero de 1736 en Turín, Italia. Su nombre al nacer fue Giuseppe Lodovico Lagrangia, pero más tarde adoptó la formulación francesa Joseph-Louis Lagrange. El padre de Lagrange fue Giuseppe Francesco Lodovico Lagrangia, y su madre fue Teresa Grosso. Su familia era mayoritariamente de descendencia francesa, aunque la madre de Lagrange era hija única de un médico de Turín. Lagrange fue el mayor de 11 hijos, la mayoría de los cuales murieron durante la infancia. El padre de Lagrange ocupó el cargo de tesorero de la Oficina de Obras Públicas y Fortificaciones en Turín. A pesar de esta prestigiosa posición la familia vivía modestamente.  

Lagrange originalmente estaba orientado a una carrera en derecho, pero una vez que comenzó a estudiar física reconoció su propio talento para la matemática. Al principio desarrolló un interés por la geometría, pero a los 17 años se volcó hacia el análisis. Su primer artículo (1754) desarrolló un cálculo formal, dándose cuenta luego que Gottfried Leibniz ya conocía. Posteriormente comenzó a trabajar en el problema de la tautócrona e inició el desarrollo de su cálculo de variaciones. Esta fue esencialmente una aplicación de las ideas del cálculo a conjuntos de funciones, en lugar de considerar una sola función. 

En 1755 Lagrange envió sus primeros resultados sobre este nuevo cálculo de variaciones a Leonhard Euler. Lagrange desarrolló esta pieza original y muy útil de matemática cuando tenía sólo 19 años. Al final de su vida consideró que fue su contribución más importante. Euler expresó su interés en el novedoso método para resolver problemas de optimización y, como resultado de su creciente renombre, Lagrange fue nombrado profesor en la Royal Artillery School en Turín en 1755. Esta posición era mal paga, y Lagrange se sintió poco apreciado por sus conciudadanos, lo que le llevó a abandonar posteriormente Italia. 

Al año siguiente, Lagrange aplicó su método a la mecánica. Fue capaz de describir la trayectoria de un objeto sujeto a ciertas fuerzas como solución a un problema de optimización en el cálculo de variaciones. Esta elegante formulación matemática de la mecánica revolucionaría el estudio de los sistemas dinámicos.  

Mientras tanto, se fundó la Real Academia de Ciencias de Turín, a la que Lagrange realizó numerosas contribuciones fundamentales durante la próxima década. Sus trabajos desde este período de tiempo hasta alrededor de 1770 incluyen material sobre el cálculo de variaciones, ecuaciones diferenciales, cálculo de probabilidades, mecánica celeste y movimiento de fluidos. Desarrolló la técnica de integración por partes, tan familiar para los estudiantes de cálculo, y ganó varios premios ofrecidos por la Academia de Ciencias de París, por su destacada labor sobre los movimientos de la Luna y otros cuerpos celestes. El sistema de mecánica de Lagrange estableció el principio de acción mínima: que una partícula elige la trayectoria que minimiza la energía, base de la dinámica. Muchos matemáticos franceses, incluidos Jean Le Rond d’Alembert y Pierre-Simon Laplace, reconocieron la excelente calidad de su trabajo. 

En 1763 Lagrange fue invitado a París, donde fue recibido con entusiasmo por la comunidad matemática del  lugar. D’Alembert intentó asegurarle a Lagrange una posición superior en Turín, pero las promesas no se materializaron. Como resultado, Lagrange aceptó una oferta para cubrir el puesto vacante de Euler en Berlín en 1766, lo que inició el segundo período científico de la vida de Lagrange. 

Lagrange se hizo amigo de Johann Heinrich Lambert y de Johann Bernoulli, y fue nombrado director de la Academia de Ciencias de Berlín. No tenía deberes de enseñanza, lo que le permitió centrarse en su investigación matemática. Lagrange se casó con su prima, Vittoria Conti, en 1767, y aunque no tuvieron hijos estuvieron juntos durante 16 años, hasta que la salud de Vittoria disminuyó y murió en 1783 después de una prolongada enfermedad. 

Mientras estuvo en Berlín, Lagrange disfrutó de la participación continua y del éxito en las competiciones de París, haciendo contribuciones sobresalientes al problema de los tres cuerpos. Además de estos concursos públicos, Lagrange desarrolló su propio trabajo personal sobre mecánica celeste, publicando varios artículos importantes desde 1782 en adelante. Mientras tanto, ya había comenzado a investigar ciertos problemas en álgebra, resolviendo completamente una célebre ecuación indeterminada planteada por Pierre de Fermat en 1768. Sobre la base del trabajo anterior de Euler, Lagrange demostró que cada entero se puede expresar como la suma de, como máximo, cuatro cuadrados perfectos (1770); caracterizó los números primos a través de un criterio de divisibilidad y desarrolló aún más la teoría de las formas cuadráticas (1775), abriendo vías de investigación futura para Carl Friedrich Gauss y Adrien-Marie Legendre. Dio una exposición del método de descenso infinito, inspirado en Fermat, y utilizó el método de las fracciones continuas. 

Hizo una contribución particularmente importante al análisis en 1770, cuando dio un desrrollo de la serie que involucraba las raíces de una ecuación dada, que tuvo útiles aplicaciones científicas. La fórmula de Lagrange demostró ser de gran interés para los matemáticos, ya que la mayoría de los grandes analistas del siglo XIX, incluido Augustin-Louis Cauchy, estudiaron las consecuencias de esta idea. Este trabajo, en conjunto con el de Alexandre Vandermonde, revela el concepto del grupo de permutaciones, que luego sería desarrollado por Evariste Galois

Lagrange también contribuyó a la mecánica de fluidos en la década de 1780, a las raíces imaginarias de las ecuaciones algebraicas en la década de 1770 y al análisis infinitesimal de 1768 a 1787. Su trabajo sobre la integración de ecuaciones diferenciales, que se extiende sobre las ideas de Euler, representa un primer paso en la teoría de las funciones elípticas, que atraerían mucho interés en el siglo XIX. También se debe mencionar su trabajo sobre ecuaciones diferenciales parciales, ya que condujo a la resolución de varios problemas. Su trabajo en probabilidad es de menor importancia. 

Las considerables contribuciones de Lagrange a la mecánica estaban dispersas en varias publicaciones, y las resumió en un tratado de 1788. Por esta época Lagrange se había establecido en París. Aunque Turín había intentado atraer a Lagrange para que regresara a su ciudad natal, no se sintió ansioso por abandonar Berlín hasta la muerte de su esposa en 1783. Pero los matemáticos franceses, que solicitaron agresivamente su presencia, lograron atraer a Lagrange. En 1787 se convirtió en miembro de la Academia de Ciencias, donde superó la caótica agitación política de las décadas posteriores. 

En 1792 Lagrange se casó con Renée-Françoise-Adélaïde Le Monnier, con quien también tuvo un feliz matrimonio. Durante el comienzo de la fase parisina de su carrera, la actividad de Lagrange se redujo en cierta medida. Participó activamente en la Asamblea Constituyente de 1790 sobre la estandarización de pesos y medidas, y más tarde enseñó análisis en la recién fundada École Polytechnique hasta 1799. Después de que Napoleón ascendió al poder, Lagrange fue nombrado gran oficial de la Legión de Honor y en 1808 obtuvo un cargo en el imperio. Murió la mañana del 11 de abril de 1813 en París. Las universidades de toda Europa anunciaron su muerte, y Laplace dio su oración fúnebre.  

Lagrange hizo extensas contribuciones a muchas áreas de la matemática; sus trabajos a menudo abrían nuevas áreas de investigación (como las funciones elípticas, las formas cuadráticas y el cálculo de variaciones). Lo más significativo fue su formulación de la mecánica, a veces llamada mecánica lagrangiana, que esencialmente mecanizó la comprensión del universo físico. Este demostró ser un modo poderoso e influyente de describir el mundo conocido y continúa afectando la investigación matemática en la actualidad.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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Ernst Kummer fue uno de los grandes matemáticos creativos del siglo XIX, contribuyendo a la teoría de funciones, el álgebra y la geometría. Se le atribuyen varias técnicas e ideas matemáticas, y sus esfuerzos ayudaron a avanzar en la matemática moderna. 

Ernst Kummer nació el 29 de enero de 1810, en Sorau, Alemania, hijo de Carl Gotthelf Kummer, un médico que murió en 1813, y Frederike Sophie Rothe. Kummer ingresó en la escuela secundaria de Sorau en 1819, y estudió teología protestante en la Universidad de Halle en 1828. Sin embargo, pronto comenzó a estudiar matemática, en principio como preparación para la filosofía. En 1831 recibió su doctorado, y enseñó matemática y física en el Gymnasium de Liegnitz desde 1832 a 1842. Durante este tiempo, Leopold Kronecker fue uno de sus estudiantes, y Kummer pudo fomentar su talento natural. 

Su investigación en este tiempo se centró en las series hipergeométricas introducidas por Carl Friedrich Gauss. Kummer investigó más profundamente que nadie, obteniendo varios descubrimientos notables. Los intentos fallidos de probar el Último Teorema de Fermat llevaron a Kummer a estudiar la factorización de enteros y desarrollar la teoría de los ideales. También descubrió la superficie de Kummer, una variedad de cuatro dimensiones con 16 puntos dobles cónicos y 16 planos tangentes singulares. Maestro dotado, logró inspirar a varios estudiantes a llevar a cabo investigaciones independientes. Anteriormente había enviado parte de su trabajo sobre la teoría de funciones a Carl Jacobi, quien lo ayudó a obtener una cátedra en la Universidad de Breslau en 1842. En 1840 Kummer se casó con Ottilie Mendelssohn, prima de la esposa de Peter Lejeune Dirichlet. Ocupó su cargo en Breslau hasta 1855, y allí realizó su importante trabajo sobre la teoría de números y álgebra. Kummer introdujo números ideales y factores primos ideales para demostrar un gran teorema de Pierre de Fermat. En años posteriores, Kronecker y Richard Dedekind desarrollaron aún más sus resultados iniciales. 

En 1855, Dirichlet abandonó la Universidad de Berlín para suceder a Gauss en Göttingen, y Kummer fue nombrado reemplazo de Dirichlet. En 1856, tanto Karl Weierstrass como Kronecker también habían llegado a Berlín, iniciando un período de productividad matemática en la universidad. Kummer y Weierstrass construyeron el primer seminario alemán de matemática pura en 1861, que atrajo a muchos jóvenes estudiantes. Las conferencias de Kummer, que cubrían temas como geometría analítica, mecánica y teoría de números, fueron muy concurridas debido a su excelente exposición. 

Kummer fue bendecido con una inmensa cantidad de energía. Enseñó simultáneamente en la Kriegsschule de 1855 a 1874, fue secretario de la sección matemática de la Academia de Berlín de 1863 a 1878, y se desempeñó varias veces como decano y rector de la Universidad de Berlín. Durante esta última fase de su carrera, Kummer se centró en la geometría, con aplicaciones en sistemas de rayos y balística. Su estudio de los sistemas de rayos siguió el trabajo de Sir William Rowan Hamilton, aunque Kummer adoptó una perspectiva algebraica. En el curso de esta investigación, descubrió la llamada superficie de Kummer. Numerosos conceptos matemáticos han sido nombrados después de él. 

Cuando Kronecker y Weierstrass se separaron en la década de 1870, Kummer también podría haberse alejado de Weierstrass. Ciertamente, Kummer era política y matemáticamente conservador, evitando muchos de los nuevos desarrollos. Por ejemplo, Kummer rechazó la geometría no euclidiana por inútil. También consideraba la matemática como una ciencia pura, y creía que el atractivo de la matemática estaba en su escasez de aplicaciones. Cabe destacar que esta ha sido probablemente la opinión de los matemáticos durante la mayor parte de la historia, y solo en la era moderna surgió la opinión de que la matemática es valiosa solo si puede contribuir a la tecnología y al mejoramiento de la sociedad. 

En 1882 Kummer se retiró de su puesto, afirmando que su memoria se había debilitado. Murió el 14 de mayo de 1893 en Berlín. Tanto Gauss como Dirichlet ejercieron una gran influencia sobre el desarrollo de Kummer como matemático, y él sintió siempre un gran respeto por ambos. A pesar de su conservadurismo, Kummer pudo afectar influir en el desarrollo de la matemática a través de sus numerosos alumnos y su creatividad en bruto. Su trabajo en álgebra sobre la aritmetización de la matemática fue quizás el más importante.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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En la Alemania de principios del siglo XIX, Carl Jacobi se ubicó entre los principales sucesores matemáticos de Carl Friedrich Gauss. Jacobi se distinguió por sus numerosas contribuciones al análisis, especialmente en el área de las integrales elípticas; por la diversidad de su actividad y la amplitud de su intelecto ha sido comparado con Leonhard Euler

Nacido el 10 de diciembre de 1804 en Potsdam, Alemania, Jacobi fue el segundo hijo de Simon Jacobi, un adinerado banquero judío, y recibió una excelente educación de su tío. Jacobi tenía un hermano mayor, Moritz, que se hizo físico en San Petersburgo, y un hermano y hermana menores. Jacobi era intelectualmente avanzado cuando niño, y entró en la escuela secundaria en Potsdam en 1816. Pronto fue promovido a la clase más alta a pesar de su juventud; cuando se graduó en 1821, Jacobi ya dominaba el griego, el latín y la historia, y poseía un amplio conocimiento de  matemática: ya había intentado la solución de la ecuación de quinto grado. 

Jacobi fue a la Universidad de Berlín, donde se concentró en la matemática. Trabajando en privado, pronto dominó los trabajos de Euler, Joseph-Louis Lagrange y varios otros matemáticos destacados. En 1824 aprobó sus exámenes preliminares, y pronto presentó una  tesis para Ph.D. Después de convertirse al cristianismo se le permitió comenzar su carrera académica en la Universidad de Berlín a la temprana edad de 20 años. 

Las conferencias de Jacobi eran estimulantes, ya que describía su investigación actual a su audiencia. Su primera conferencia en 1825 trató sobre la teoría analítica de curvas y superficies. Este fue el período más prolífico de Jacobi, y estableció contacto con colegas matemáticos como Gauss, Adrien-Marie Legendre y Niels Henrik Abel. Gran parte de la investigación de Jacobi se basó y desarrolló las exploraciones de Gauss. Legendre fue el primero en estudiar integrales elípticas de forma sistemática, y tanto Abel como Jacobi se convirtieron en herederos intelectuales, compitiendo en sus investigaciones acerca de funciones trascendentales.   

Jacobi se mudó a la Universidad de Königsberg en 1826, ya que había más oportunidades para avanzar allí. A través de las interacciones con Friedrich Wilhelm Bessel, Jacobi se interesó cada vez más en problemas aplicados. Las publicaciones de Jacobi disfrutaron de una gran popularidad, y pronto se convirtió en profesor asociado en 1827 y profesor titular en 1832. Durante sus 18 años en Königsberg, Jacobi produjo resultados sorprendentes en la teoría de funciones elípticas, análisis, teoría de números, geometría y mecánica. Muchos de sus trabajos fueron publicados en el Journal for Pure and Applied Mathematics de Crelle, y Jacobi fue en parte responsable de su ascenso a renombre internacional. A pesar de que enérgicamente perseguía su investigación, Jacobi también daba una conferencia de aproximadamente 10 horas a la semana, a menudo discutiendo los avances más recientes en el conocimiento. Jacobi desarrolló un seminario de investigación, esencialmente una colección de estudiantes avanzados, y también alentó el enfoque orientado a la investigación de la enseñanza universitaria. 

Jacobi se casó con Marie Schwinck en 1831, y tuvo cinco hijos y tres hijas con ella. Viajó a París en 1829 para conocer a los principales matemáticos franceses y visitó a Legendre, Jean Baptiste Joseph Fourier y Siméon Denis Poisson, . Más tarde, asistió a una conferencia matemática en Gran Bretaña en 1842. En 1843, Jacobi enfermó de diabetes y viajó por Italia con la esperanza de que el clima más benigno mejorara su salud; a su regreso, Jacobi regresó a Berlín y de vez en cuando daba conferencias en la Universidad de ese lugar. 

Hasta este momento, la investigación de Jacobi se refería principalmente a las funciones elípticas. Un resumen de sus resultados iniciales se publicó en Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (Nuevos fundamentos de la teoría de las funciones elípticas) en 1829; en este documento Jacobi discutió la transformación y representación de funciones elípticas, revelando muchas de las propiedades más importantes. Una de las ideas importantes de Jacobi (que fue desarrollada independientemente por Abel y Gauss) fue la inversión de una integral elíptica, y esto dio lugar a varias fórmulas importantes. Junto con Abel, Jacobi también introdujo números imaginarios en la teoría de las funciones elípticas y descubrió su doble periodicidad. A lo largo de su competencia con Abel, Jacobi se mantuvo generoso y obstinado, abogando por el término abeliano para ciertos resultados en funciones trascendentales. Más tarde, en el mismo trabajo, Jacobi expresó estas integrales como productos infinitos, y pudo aplicar sus resultados a la teoría de números; por ejemplo, pudo demostrar que cualquier número entero se puede representar como la suma de cuatro cuadrados como máximo, lo que había sido conjeturado previamente por Pierre de Fermat

Este trabajo continuó durante la década de 1830, con resultados adicionales sobre la función theta. En teoría de números, Jacobi estudió la teoría de los residuos, las formas cuadráticas y las representaciones de los enteros como sumas de cuadrados y cubos. Jacobi también contribuyó al campo de las ecuaciones diferenciales parciales (en donde introdujo las funciones elípticas), a la física matemática (Jacobi estudió las configuraciones de masas líquidas rotatorias) y a la teoría de los determinantes. Jacobi hizo una presentación sistemática de los determinantes en 1841, e introdujo el “jacobiano”, el determinante utilizado en el cambio de cálculos de variables en el cálculo integral. Además de estos trabajos en matemática, Jacobi dio una conferencia sobre la historia de la matemática e incluso comenzó el inmenso proyecto de producir un volumen de las obras completas de Euler. 

Jacobi se interesó en Euler como un alma gemela, ya que su visión de la matemática era similar. Jacobi, como Euler, era un buen calculador y disfrutaba de una perspectiva algorítmica para resolver problemas; era versátil en muchas áreas de la matemática, y escribió prolíficamente. 

Cometió algunos errores políticos en 1848, alienándose de la monarquía prusiana. Como resultado, su salario se redujo y se vio obligado a vender su casa en Berlín. En 1849 recibió una oferta de Viena, y Prusia le restauró su salario, evidentemente no querían perder a un matemático tan eminente. En 1851, Jacobi contrajo gripe seguido de viruela, lo que resultó fatal. Murió el 18 de febrero de 1851 en Berlín. Su buen amigo Peter Lejeune Dirichlet pronunció un panegírico en 1852, describiendo a Jacobi como el mejor matemático de la Academia de Berlín desde Lagrange. 

El trabajo de Jacobi abarcó varios campos, pero su trabajo sobre funciones elípticas e integrales es el más significativo. En su propio tiempo fue reconocido, junto con Dirichlet, como uno de los mejores matemáticos alemanes. Sin embargo, incluso después de su muerte, su trabajo continuó siendo influyente; dejó atrás una escuela de matemáticos y un impresionante cuerpo de ideas matemáticas.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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