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Posts Tagged ‘Pierre de Fermat’

Pierre de Fermat es conocido como uno de los matemáticos más grandes del siglo XVI, que hizo contribuciones a los fundamentos del cálculo, la probabilidad y la teoría de números. En este último tema su influencia es particularmente famosa, ya que su investigación sobre la divisibilidad y las propiedades de los números primos alimentaría más tarde la investigación de los siglos XIX y XX. 

Pierre de Fermat nació en Beaumont-Lomagne, Francia, el 20 de agosto de 1601. Su padre, Dominique Fermat, era un próspero comerciante, mientras que su madre, Claire de Long, era una mujer noble. Como resultado del pedigrí de su madre, Fermat disfrutó de un alto estatus social y más tarde eligió la profesión de abogado. Recibió una educación secundaria clásica, y probablemente estudió en la Universidad de Toulouse. En cualquier caso, sin duda vivió en Burdeos a finales de 1620, y en este momento comenzó sus investigaciones matemáticas.  

Fermat recibió el grado de licenciado en leyes civiles de la Universidad de Orleans en 1631, y se embarcó en su carrera legal en el parlamento local. El mismo año, Fermat se casó con su prima Louise de Long, con quien tuvo cinco hijos. Parece que Fermat disfrutaba de prosperidad financiera, y se le permitió el privilegio, como miembro de la aristocracia, de agregar “de” a su apellido. Sin embargo, su actuación en su oficina no fue satisfactoria, y Fermat avanzó solo a través de la muerte de sus colegas profesionales. En 1642 ascendió a los consejos más altos del parlamento, luego sirvió como presidente de la Chambre de l’Édit, que tenía jurisdicción sobre demandas legales entre hugonotes y católicos. Fermat fue un devoto católico a lo largo de toda su vida. 

Fermat disfrutó de cierta fama como matemático durante su propia vida, aunque su renuencia a publicar lo mantuvo alejado del renombre que podría haber obtenido. También tenía fama de ser un erudito clásico, ya que dominaba varios idiomas. Gozó de buena salud, sobrevivió a un ataque de peste en 1652 y murió en Castres el 12 de enero de 1665. 

El desarrollo de Fermat como matemático puede haber comenzado durante su período de Burdeos, momento en el que se familiarizó con las obras de François Viète. De Viète fue que Fermat adquirió la nueva álgebra simbólica, así como la concepción del álgebra como una herramienta útil para problemas geométricos. Fermat buscó basarse en los conceptos de Viète, incluida la capacidad de resolver y construir ecuaciones determinadas; su método a menudo implicaba reducir un problema dado a una clase conocida de problemas (muy parecido a un tipo de inducción inversa). Al principio, Fermat dependía en gran medida de los antiguos griegos para obtener ideas sobre análisis matemático, pero a menudo generalizaba los problemas originales considerados, utilizando el análisis de reducción y su genio natural para llegar a soluciones generales. 

En la primavera de 1636, Fermat ya había completado su Ad locos planos et solidos isagoge (Introducción a planos y sólidos), un trabajo que establece una geometría analítica que era extremadamente similar a la Géométrie (Geometría) de 1639 de René Descartes. Aunque estos trabajos fueron virtualmente idénticos en el uso de ecuaciones algebraicas para describir curvas geométricas, la cuestión de la prioridad no está resuelta, ya que cada matemático estaba trabajando independientemente. Fermat partió de los trabajos de Pappus de Alejandría y Apolonio de Perga, y se dio cuenta de que los loci de puntos discutidos por este último podían describirse mediante ecuaciones algebraicas en dos incógnitas. Luego empleó un solo eje con origen y ordenada en movimiento (similar al método gráfico de Descartes, que no involucraba coordenadas) para describir una curva dada. Luego, Fermat consideró la ecuación general de segundo grado re dirigiéndola a siete formas irreducibles (o casos especiales), que incluían líneas, hipérbolas, elipses, parábolas y círculos. La presentación de Fermat difería sustancialmente de la de Descartes, quien pasó por alto el tema de la construcción y se centró en una teoría avanzada de ecuaciones. Siguiendo las implicaciones de su investigación después de 1636, Fermat demostró la solución gráfica de ecuaciones algebraicas determinadas. En 1643 trató de extender sus métodos a sólidos de revolución (los sólidos obtenidos al hacer girar una curva sobre un eje fijo). Este último esfuerzo no tuvo éxito, ya que Fermat aún no tenía las herramientas de un sistema de coordenadas tridimensional, aunque estableció la base algebraica correcta para dicho sistema de geometría sólida. Fermat estableció la conexión entre la dimensión y el número de incógnitas, una contribución conceptual importante a la matemática del siglo XVII. 

Fermat también desarrolló un método de cálculo de máximos y mínimos de curvas, que esencialmente implicaba un cálculo de la derivada de un polinomio. Sin embargo, Fermat no utilizó ningún infinitesimal en su método, y por lo tanto su trabajo fue periférico a los fundamentos del cálculo. Utilizando su técnica, Fermat pudo determinar los centros de gravedad para figuras geométricas, así como la formación de rectas tangentes para una curva determinada. Este trabajo se convirtió en un punto central en un debate de 1638 con Descartes, quien criticó el trabajo de Fermat porque rivalizaba con sus propia matemática establecida en su Géométrie. Aunque finalmente hicieron las paces cuando Descartes admitió que su crítica a la obra de Fermat era inválida, los dos hombres permanecieron en conflicto; la reputación de Fermat, quien se negó rotundamente a publicar su obra, sufrió como resultado. 

La cuadratura de curvas (es decir, el cálculo del área bajo una curva por medio de su aproximación por rectángulos) también fue estudiada por Fermat, quien amplió las labores de Arquímedes de Siracusa sobre la espiral. Fermat fue capaz de aproximar un área determinada con una precisión arbitraria (a través del número de rectángulos elegidos), y así calcular el área debajo de ciertos polinomios simples. Al principio, su estilo era geométrico, basándose en figuras cuidadosamente dibujadas, pero luego adoptó un enfoque más algebraico. Sus diversos resultados sobre cuadraturas finalmente circularon en 1679, y para entonces ya estaban obsoletos, en vista del trabajo más completo de Sir Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Parece que Fermat no se dio cuenta de que el método de las tangentes y la cuadratura eran inversos entre sí, y este trabajo ejerció poca influencia en la matemática posterior. 

Fermat es mejor conocido por su trabajo en teoría de números, que fue en gran parte descuidado por sus colegas del siglo XVII. Sus trabajos fueron completamente ignorados hasta que Leonhard Euler revivió el interés en el número; finalmente, en el siglo XIX Carl Friedrich Gauss y otros demostraron muchos de los resultados importantes y establecieron la teoría de números como un campo moderno de investigación matemática. Fermat estaba interesado en soluciones enteras de ecuaciones algebraicas, y su investigación inicial se centró en la divisibilidad y el estudio de los números primos. Sus métodos no son conocidos, porque la mayoría de sus resultados fueron escritos en cartas a amigos o en los márgenes de otros libros; aparentemente, Fermat usó la criba de Eratóstenes de Cirene como criterio de excelencia. Derivó varios teoremas importantes (sin pruebas), investigando la descomposición de primos como sumas de cuadrados. En este sentido, Fermat estaba interesado en soluciones enteras para x^n+y^n=z^n donde n es al menos dos. El hecho (probado recientemente por Andrew Wiles en 1994) de que no hay soluciones para n mayores que dos se conoce como el Último Teorema de Fermat; él anotó esta conjetura en el margen de uno de sus libros. 

Una técnica que Fermat aplicó repetidas veces era el método del descenso infinito: argumentaba por contradicción, construyendo una sucesión infinita de enteros decrecientes (positivos), que no podían existir. La principal importancia del trabajo de Fermat en teoría de números es el estímulo que le dio a la investigación a fines del siglo XVIII y XIX. 

Fermat también contribuyó al estudio de la óptica (sobre cuyo tema también debatió con Descartes, oponiéndose a su razonamiento a priori), y se le atribuye, junto con Blaise Pascal, como el fundador de la teoría de la probabilidad. A través de una serie de cartas escritas durante 1654, estos dos matemáticos intercambiaron una variedad de preguntas sobre probabilidad, como por ejemplo, cómo dividir justamente las apuestas de un juego interrumpido. Aunque sus métodos diferían un tanto (Fermat hacía cálculos directos en lugar de derivar fórmulas generales), ambos usaron el concepto de “ganancias esperadas”, definido a través de la expectativa matemática. 

Los últimos años de la vida de Fermat vieron poca interacción con otros matemáticos, ya que dedicaba cada vez más su tiempo libre a la teoría de números. Aunque su trabajo, especialmente sus esfuerzos en teoría de números, mereció el reconocimiento de sus colegas, Fermat cayó en una oscuridad creciente debido a su renuencia a publicar. Después del siglo XVII fue completamente olvidado, hasta que fue redescubierto por Euler y otros en el siglo XIX, cuando el renovado interés en la teoría de números se inspiró en su intelecto.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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En el siglo III, la matemática griega ya estaba en declive. Diofanto representa un pináculo solitario de pensamiento y actividad (exceptuando al posterior Arquímedes de Siracusa), y es el fundador del campo del análisis indeterminado (la resolución de ecuaciones algebraicas con más de una incógnita). La teoría de números de Europa de los siglos XVI y XVII puede rastrear gran parte de su génesis en las labores de Diofanto. 

Como con muchos matemáticos antiguos, la vida de Diofanto es un misterio. Sabemos que vivió en el siglo III en Alejandría, y se cree que se casó a los 33 años y murió a los 84 años. Sus cuatro escritos supervivientes son Moriastica, Porismata (Porismos), Arithmetica (Aritmética) y un fragmento de Sobre Números Poligonales. El primero se refiere a los cálculos que involucran fracciones, y el segundo es una colección de proposiciones citadas en su Arithmetica. El fragmento de Sobre Números Poligonales usa pruebas geométricas para ciertos resultados sobre números poligonales que involucran el número de vértices y lados de un polígono dado. 

La Aritmética se ocupa de la aritmética práctica y computacional; es una colección de problemas que Diofanto resuelve en una gran variedad de formas. A través de sus soluciones demostró su virtuosismo como matemático, pero no presentó una técnica o teoría general. Utilizando ciertos trucos, Diofanto comúnmente reduciría el grado de la ecuación y el número de incógnitas (hasta 10) para obtener una solución. 

Seis libros de Arithmetica han sobrevivido, en los cuales Diofanto introduce las técnicas del álgebra y trata muchos problemas específicos. Su notación difiere sustancialmente del simbolismo moderno, y esto debe haber obstaculizado el desarrollo de técnicas generales para ecuaciones con múltiples incógnitas. Hay 189 problemas, ordenados de lo más simple a lo más complejo, tratando varias ecuaciones determinadas e indeterminadas. Entre la gran diversidad de material, Diofanto considera múltiples ecuaciones de polinomios, así como la descomposición de los números en partes (como sumas de cuadrados). 

Al resolver estos problemas, Diofanto es consciente de que son posibles múltiples soluciones, aunque descuenta a los números negativos, ya que aún no existían. Las soluciones de números racionales eran aceptables, pero se excluyeron las irracionales, como las raíces cuadradas. Para ecuaciones lineales y cuadráticas determinadas, Diofanto usó el balance y la compleción. Típicamente, reducía el número de incógnitas y el grado mediante el método de “falsa posición” y haciendo sustituciones; e hizo aproximaciones utilizando desigualdades algebraicas cuando no eran posibles métodos directos. Es digno de mención que las soluciones de Diofanto  están notablemente libres de errores. 

A través de sus escritos, Diofanto se muestra a sí mismo como un matemático de primer orden y un ingenioso solucionador de problemas. Probablemente recurrió al conocimiento griego actual de los procedimientos para resolver problemas lineales y cuadráticos, aunque Diofanto  hizo grandes avances sobre sus predecesores. Su trabajo influyó más tarde en los matemáticos árabes, que absorbieron el corpus del pensamiento matemático griego. Cuando matemáticos europeos como Francois Viète y Pierre de Fermat lo redescubrieron en el siglo XVII, los llamados problemas diofantinos se convirtieron en la piedra angular de la teoría de números.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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El siglo XVII fue un momento de mayor actividad en las ciencias y la matemática, y René Descartes es uno de los hombres que afectó sustancialmente el desarrollo del conocimiento científico y la filosofía. Su sistema idealista intentó explicar todo el conocimiento humano a partir de unos pocos principios básicos. Aunque su programa era demasiado optimista, la influencia de Descartes fue enorme, especialmente en la matemática. Quizás su mayor contribución fue su ubicación de la geometría dentro del dominio del álgebra, lo que permitió a los matemáticos estudiar curvas y figuras a través del análisis de ecuaciones algebraicas. 

René Descartes nació en La Haye, Francia, el 31 de marzo de 1596, en una familia aristocrática. Su padre era miembro del parlamento de Bretaña, y su madre era una mujer rica y noble. Descartes más tarde heredó de ella una propiedad en Poitou, que le otorgó independencia financiera y el ocio para realizar estudios científicos. Descartes fue educado por los jesuitas, y se familiarizó con los desarrollos modernos en matemática y física, incluidas las recientes investigaciones de Galileo Galilei, así como la filosofía y la literatura clásica. 

Se graduó con un título en derecho de la Universidad de Poitiers y se convirtió en voluntario en el ejército del Príncipe Maurice de Nassau. En la noche del 10 de noviembre de 1619, Descartes llegó a dos conclusiones después de un día de pensamiento solitario: que un programa de verdadero conocimiento debía ser llevado a cabo por él mismo, y que la duda metódica del conocimiento filosófico actual era el camino correcto para comenzar esa tarea. Buscaría principios evidentes como punto de partida, a partir de los cuales uno podría deducir cada una de las ciencias. 

Como resultado de esta epifanía, el trabajo posterior de Descartes se caracterizó por la intensidad, la confianza y el compromiso de trabajar solo. Más tarde, Descartes se daría cuenta de la importancia de la experimentación y la observación empírica para alcanzar el conocimiento verdadero. Sin embargo, no se embarcó de inmediato en esta búsqueda intelectual, sino que continuó sus viajes por Europa hasta 1628. En ese año, después de un exitoso debate público sobre el tema de cómo distinguir el conocimiento cierto del probable, Descartes se retiró a una vida solitaria de trabajo científico en los Países Bajos. 

Descartes contribuyó con muchas ideas radicales a la ciencia. Trataba a los animales y los humanos como objetos mecánicos y veía las leyes del movimiento como las leyes últimas de la naturaleza. En su opinión, la ciencia no solo debía demostrar información, sino que debía también explicar. Parte de su trabajo sobre cosmología fue meramente cualitativo, y su trabajo sufrió por la falta de verificación empírica. Sin embargo, Descartes pasó una inmensa cantidad de tiempo en la experimentación en anatomía, química y óptica. 

Como matemático, Descartes amplió en gran medida la disciplina del álgebra y sentó las bases de la geometría analítica. Hasta su tiempo, se empleaban algunas de las notaciones algebraicas modernas. Descartes introdujo los símbolos alfabéticos x, y y z, ahora conocidos, para cantidades desconocidas, así como superíndices para las potencias de una variable. Por ejemplo, x^2 siempre se interpretaba como el área de un cuadrado en el segmento de línea de longitud x; pero Descartes abstrajo el significado de este símbolo, de modo que uno podía manipular x^2 sin referencia a ninguna construcción geométrica. 

El objetivo principal de Descartes en su Géométrie (Geometría), su obra maestra de 1637, era aplicar el álgebra a la geometría, proporcionando una notación conveniente para analizar figuras. Definió las seis operaciones algebraicas básicas (suma, multiplicación, potencia, y sus inversas: resta, división y raíz) y definió un álgebra de líneas que extendía las nociones iniciales de los griegos. Pero su idea más importante fue la gráfica de una función: dada una función, como un polinomio f(x), uno podía dibujar la correspondencia entre y y x a través de la ecuación y=f(x) usando ejes de coordenadas. 

En otra parte de Géométrie, Descartes describe cómo construir una línea normal en cualquier punto de una curva construyendo un sistema de coordenadas apropiado e inscribiendo un círculo que contacta a la curva en un punto. Su método es similar al método de Pierre de Fermat para encontrar los extremos de una curva, y constituye uno de los primeros pasos en el desarrollo del cálculo diferencial. También da una teoría de ecuaciones puramente algebraica y establece el teorema fundamental del álgebra. 

Aunque este trabajo fue una contribución influyente a la matemática, no representó el total del conocimiento de Descartes: su insistencia en la deducción clara de los principios intuitivos le impidió establecer o aceptar ideas más cuestionables, como el concepto de lo infinitesimal. Después de completar su Géométrie, los estudios matemáticos de Descartes quedaron en su mayoría completados, y pasó el resto de su tiempo ocupado en la filosofía. 

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Descartes permaneció en los Países Bajos hasta 1649, cuando aceptó un puesto como filósofo en la corte de Cristina, la reina de Suecia. La reina Cristina interrumpió su hábito de toda la vida de dormir durante la mayor parte de la mañana, y Descartes murió el 11 de febrero de 1650 por exposición al aire frío de la mañana. 

Descartes fue un excelente científico. Él forma un interesante contraste con Sir Isaac Newton, quien enfatizó el papel vital de la experimentación y la observación. Descartes, sin embargo, estaba más preocupado por la deducción cuidadosamente razonada de unos pocos principios básicos, y era optimista de que la inducción (es decir, el conocimiento obtenido a través de la experimentación) eventualmente sería innecesario. En la práctica, Descartes encontró que este objetivo era imposible de obtener, y se vio obligado a experimentar para alcanzar el conocimiento de los fenómenos naturales que deseaba. Su enfoque racionalista de la ciencia y la filosofía es un legado perdurable para el hombre moderno. Para la matemática, su desarrollo de métodos algebraicos para la geometría revolucionó el estudio de las curvas y las figuras, dando un gran impulso hacia estas disciplinas.

 

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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