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Posts Tagged ‘Pierre de Fermat’

La matemática griega continuó su desarrollo desde la época de Euclides de Alejandría, y después de Arquímedes de Siracusa uno de los matemáticos más grandes fue Apolonio de Perga. Es conocido principalmente por sus contribuciones a la teoría de las secciones cónicas (las figuras planas obtenidas cortando un cono en varios ángulos). La fascinación en este tema, revivida en los siglos XVI y XVII, ha continuado en los tiempos modernos con el inicio de la geometría proyectiva.

Apolonio de Perga

Poca información sobre su vida se ha preservado de los estragos del tiempo, pero parece que Apolonio  floreció en algún momento entre la segunda mitad del siglo III y principios del siglo II a.C. Perga, una pequeña ciudad griega en la parte meridional de lo que ahora es Turquía, fue su ciudad de nacimiento. Apolonio vivió durante algún tiempo en Alejandría, donde pudo haber estudiado con los alumnos de Euclides, y más tarde visitó a Pérgamo y Éfeso.

Su obra más famosa, las Cónicas, se compuso a principios del siglo II a. C., y pronto se reconoció como un texto clásico. Arquímedes, que murió alrededor del año 212 a. C., parece ser el predecesor matemático inmediato de Apolonio, que desarrolló muchas de las ideas del siracusano. Las Cónicas estaba originalmente dividida en ocho libros, y se había previsto como un tratado sobre secciones cónicas. Antes del tiempo de Apolonio se conocían los fundamentos de la teoría de las secciones cónicas: las parábolas, las hipérbolas y las elipses se podían obtener cortando un cono con ángulos de vértice recto, obtuso o agudo, respectivamente. Apolonio empleó un método alternativo de construcción que implicaba cortar un doble cono en varios ángulos, manteniendo el ángulo de vértice fijo (este es el enfoque adoptado en los tiempos modernos). Este método tenía la ventaja de hacer estas curvas accesibles a la “aplicación de áreas”, una formulación geométrica de ecuaciones cuadráticas que en el tiempo moderno se expresaría algebraicamente. Es evidente que el enfoque de Apolonio fue refrescantemente original, aunque el contenido real de las Cónicas podría haber sido bien conocido. Mucha terminología, como parábola, hipérbola y elipse, se debe a Apolonio, y generaliza los métodos para generar secciones.

Cónicas contiene mucho material que ya era conocido, aunque la organización ahora estaba a tono con el método de Apolonio, que suavemente unía numerosos fragmentos de conocimiento geométrico. Se omitieron ciertos resultados elementales y se incluyeron algunos hechos novedosos. Además del material sobre la generación de secciones, Apolonio describió teoremas sobre los rectángulos contenidos por los segmentos de cuerdas de una cónica, las propiedades armónicas de las propiedades de los polos y polares, propiedades de los focos, y el locus de tres y cuatro líneas. Él discute la formación de una línea normal a una cónica, así como ciertas desigualdades de diámetros conjugados. Este trabajo, comparado con otra literatura griega, es bastante difícil de leer, ya que la falta de notación moderna hace el texto pesado, y el contenido en sí es bastante complicado. Sin embargo, el estudio persistente ha recompensado a muchos matemáticos dotados, incluyendo a Sir Isaac Newton, Pierre de Fermat y Blaise Pascal, que se inspiró enormemente en el clásico texto de Apolonio.

En la obra de Pappus de Alejandría se incluye un resumen de otras obras matemáticas de Apolonio: Secciones en una razón dada, Secciones en un área dada, Secciones determinadas, Tangencias, Inclinaciones y Lugares planos. Éstos se ocupan de varios problemas geométricos, y algunos de ellos implican la “aplicación de un área”. Utiliza el método griego de análisis y síntesis: El problema en cuestión se supone primero resuelto y una condición más fácilmente construida se deduce de la solución (“análisis”); luego, de la última construcción, se desarrolla la original (“síntesis”). Parece que Apolonio escribió incluso otros documentos, pero no se ha encontrado ningún vestigio de su contenido hasta nuestros días. Aparentemente, ideó un sistema numérico para la representación de enormes cantidades, similar al sistema de notación de Arquímedes, aunque Apolonio generalizó la idea. También hay referencias a la inscripción del dodecaedro en la esfera, al estudio de la hélice cilíndrica y un tratado general sobre los cimientos de la geometría.

Apolonio conocía todos los aspectos de la geometría griega, pero también contribuyó a la teoría euclidiana de los números irracionales y derivó aproximaciones para el número pi más precisas que las de Arquímedes. Su pensamiento incursionó también en la ciencia de la óptica, donde su profundo conocimiento de las cónicas ayudó a la determinación de diversas reflexiones causadas por espejos parabólicos y esféricos. Apolonio fue reconocido en su tiempo como el astrónomo más importante, e incluso ganó el epíteto de Epsilon, ya que la letra griega de ese nombre tiene una semejanza con la Luna. Calculó la distancia de la Tierra a la Luna como de aproximadamente 600.,000 millas, e hizo varios cálculos de las órbitas de los planetas. De hecho, Apolonio es un importante actor en el desarrollo de modelos geométricos para explicar el movimiento planetario; Hiparco de Rodas y Claudio Ptolomeo, mejorando sus teorías, llegaron al sistema ptolemaico, una hazaña de la investigación científica del mundo antiguo poseía una considerable grandeza y longevidad.

No hubo un sucesor inmediato de Apolonio, aunque sus Cónicas fueron reconocidas como un magnífico logro. Se produjeron varios comentarios simples, pero el interés disminuyó después de la caída de Roma, y ​​sólo los cuatro primeros libros siguieron traduciéndose en Bizancio. Otros tres libros de las Cónicas fueron traducidos al árabe, y los matemáticos islámicos permanecieron intrigados por su trabajo, aunque hicieron pocos avances; el libro final (el octavo) está perdido. A finales del siglo XVI y principios del XVII, varias traducciones de las Cónicas de Apolonio aparecieron en Europa y fueron estudiadas vorazmente por matemáticos franceses como René Descartes, Pierre de Fermat, Girard Desargues y Blaise Pascal. Cuando Descartes propuso su geometría analítica, que tomó un acercamiento algebraico, más bien que constructivo o geométrico, para las curvas y las secciones, el interés en el tratado clásico de Apolonio comenzó a decaer. Sin embargo, más adelante en el siglo XIX, las cónicas experimentaron una resurrección de la curiosidad con la introducción de la geometría proyectiva.

 

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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María Gaetana Agnesi es conocida como una matemática talentosa del siglo XVIII, y de hecho fue una de las primeras matemáticas femeninas en el mundo occidental. Un prodigio matemático con grandes talentos lingüísticos, Agnesi hizo su mayor contribución a través de su clara exposición de álgebra, geometría y cálculo; sus colegas reconocieron el valor de su trabajo dentro de su propia vida.

Siendo la primera hija del matrimonio entre Pietro Agnesi y Anna Fortunato Brivio, Agnesi mostró interés temprano por la ciencia. Su padre, un rico profesor de matemáticasen la Universidad de Bolonia, animó y desarrolló estos intereses. Él estableció un salón cultural en su hogar, donde su hija presentaría y defendería tesis acerca de una variedad de asuntos científicos y filosóficos. Algunos de los invitados eran extranjeros, y María demostró su talento para los idiomas conversando con ellos en su propia lengua; a los 11 años conocía el griego, el alemán, el español y el hebreo, y ya dominaba el francés desde los cinco años. A los nueve años preparó un largo discurso en latín en el que promulgó una educación superior para las mujeres.

Los temas de estas tesis, generalmente defendidos en latín, incluían lógica, ontología, mecánica, hidromecánica, elasticidad, mecánica celeste y gravitación universal, química, botánica, zoología y mineralogía. Su segunda obra publicada, Propositionses philosophicae (1738), incluía casi 200 de estas disputas. Los intereses matemáticos de Agnesi se estaban desarrollando por este tiempo; a los 14 años resolvía difíciles problemas en balística y geometría analítica. Pero después de la publicación de Propositiones philosophicae, decidió retirarse del salón de su padre, ya que el ambiente social no le atraía; de hecho, estaba ansiosa por unirse a un convento, pero su padre la disuadió.

Sin embargo, Agnesi se retiró de la extrovertida vida social de su infancia, y dedicó los próximos 10 años de su vida a la matemática. Después de una década de intenso esfuerzo, produjo su Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana (Métodos analíticos para el uso de jóvenes italianos) en 1748. El trabajo de dos volúmenes ganó el elogio inmediato entre los matemáticos y puso a Agnesi en el tapete de la opinión pública. El objetivo del libro de mil páginas era presentar un tratamiento completo y exhaustivo del álgebra y del análisis, incluyendo y enfatizando los nuevos conceptos del siglo XVIII. Por supuesto, el desarrollo del cálculo diferencial e integral todavía estaba en progreso en este momento; Agnesi incorporaría esta matemática contemporánea en su tratamiento del análisis.

El material abarcaba álgebra elemental y la teoría clásica de ecuaciones, geometría de coordenadas, cálculo diferencial y integral, series infinitas y la solución de ecuaciones diferenciales elementales. Muchos de los métodos y los resultados se debían únicamente a Agnesi, aunque su humilde naturaleza la hizo excesivamente cuidadosa para dar crédito a sus predecesores. Su nombre se asocia a menudo a una cierta curva cúbica llamada la versiera y conocida más comúnmente como la “bruja de Agnesi.” Ella no era consciente de que Pierre de Fermat había estudiado la ecuación anteriormente en 1665. Esta curva en forma de campana tiene muchas propiedades interesantes y algunas aplicaciones en física, y ha sido una fuente continua de fascinación para muchos matemáticos.

Bruja de Agnesi

El tratado de Agnesi fue aclamado por su excelente tratamiento y su clara exposición. Las traducciones al francés y al inglés del italiano original se consideraban de gran importancia para el estudiante serio de matemática. El papa Benedicto XIV le envió una nota de felicitación en 1749, y en 1750 fue nombrada en la cátedra de matemática y filosofía natural de la Universidad de Bolonia.

Sin embargo, la personalidad reclusa y humilde de Agnesi la llevó a aceptar la posición sólo en forma honoraria, y ella nunca enseñó realmente en la universidad. Después de la muerte de su padre en 1752, comenzó a retirarse de toda actividad científica, interesándose más por los estudios religiosos y el trabajo social. Ella estaba particularmente preocupada por los pobres, y cuidaba de la educación de sus numerosos hermanos menores. En 1762 estaba muy alejada de la matemática, por lo que rechazó la petición de la Universidad de Turín de que actuara como árbitro del trabajo de Joseph-Louis Lagrange sobre el cálculo de variaciones. En 1771 Agnesi se convirtió en la directora de una casa milanesa para enfermos, cargo que ocupó hasta su muerte en 1799.

Es interesante notar que la sostenida actividad de su intelecto durante 10 años fue capaz de producir el Instituzioni, una obra de gran excelencia y calidad. Sin embargo, ella perdió todo el interés en la matemática poco después y no hizo ninguna otra contribución a esa disciplina. La principal contribución de Agnesi a la matemática es la Instituzioni, que ayudó a difundir el conocimiento matemático y a entrenar a futuras generaciones de matemáticos.

 

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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Los números más simples de entender y usar son los números enteros y los números racionales. Los números irracionales parecen plantear problemas. Famoso entre ellos es \sqrt{2}. No se puede escribir como un número decimal finito o con cifras que se repiten (porque no es racional), pero puede ser muy fácilmente manipulado de manera algebraica. Sólo es necesario reemplazar todas las apariciones de (\sqrt{2})^2 por 2. De este modo expresiones de la forma m + n\sqrt{2}, donde m y n son números enteros, se pueden manejar aritméticamente. Estas expresiones tienen muchas propiedades similares a las de los números enteros, y los matemáticos incluso han definido los números primos de esta forma; por lo tanto, se denominan enteros algebraicos. En este caso lo hemo obtenido al considerar sobre los números racionales una solución de la ecuación polinómica x^2 - 2 = 0. En general un entero algebraico es cualquier solución, real o compleja, de una ecuación polinómica con coeficientes enteros en la que el coeficiente de la potencia más alta de la incógnita es 1.

La teoría de números enteros algebraicos de Gauss dio lugar a la cuestión de determinar cuándo un polinomio de grado n con coeficientes enteros se puede resolver dada la solvencia de las ecuaciones polinómicas de grado menor pero con coeficientes que son enteros algebraicos. Por ejemplo, Gauss consideró las coordenadas de los 17 vértices de una figura regular de 17 lados como números complejos que satisfacen la ecuación x^{17} - 1 = 0 y por lo tanto como números enteros algebraicos. Uno de tales enteros es 1. Él mostró que el resto se obtiene resolviendo una sucesión de cuatro ecuaciones cuadráticas. Debido a que la solución de una ecuación cuadrática es equivalente a realizar una construcción con regla y compás, como Descartes había mostrado mucho antes, Gauss había demostrado cómo construir el 17-ágono regular.

Inspirado por las obras de Gauss sobre la teoría de los números, una escuela cada vez mayor de matemáticos se sintió atraída por el tema. Al igual que Gauss, el matemático alemán Ernst Eduard Kummer trató de generalizar la ley de reciprocidad cuadrática (ver entrada anterior) para hacer frente a preguntas sobre las potencias tercera, cuarta y más altas de números. Él vio que su trabajo lo llevaba en una dirección inesperada, hacia una resolución parcial del último teorema de Fermat. En 1637, Fermat escribió en el margen de su ejemplar de la Aritmética de Diofanto la pretensión de tener una prueba de que no hay soluciones en números enteros positivos a la ecuación x^n+y^n=z^n si n> 2. Sin embargo, ninguna prueba se descubrió entre sus notas.

El enfoque de Kummer fue el desarrollo de la teoría de números enteros algebraicos. Si se podía demostrar que la ecuación no tenía solución en números enteros algebraicos adecuados, entonces, a fortiori, no podía haber una solución en números enteros ordinarios. Él fue finalmente capaz de establecer la verdad del último teorema de Fermat para una clase grande de exponentes primos n (aquellos que cumplen algunas condiciones técnicas necesarias para hacer que la demostración funcione). Este fue el primer avance significativo en el estudio del teorema. Junto con el trabajo anterior de la matemática francesa Sophie Germain, permitió a los matemáticos establecer el último teorema de Fermat para cada valor de n de 3 a 4 millones. Sin embargo, el camino de Kummer en torno a las dificultades que encontró impulsó aún más la teoría de números enteros algebraicos al reino de la abstracción. Ascendió a la sugerencia de que no debía haber incluso otros tipos de números enteros, pero muchos encontraron oscuras estas ideas.

En Alemania, Richard Dedekind pacientemente creó un nuevo enfoque, en el que se definió cada nuevo número (llamado un ideal) por medio de un conjunto adecuado de enteros algebraicos, de tal manera que era el divisor común del conjunto de los enteros algebraicos utilizado para definirlo. El trabajo de Dedekind fue lento en cuanto a la obtención de una aprobación, sin embargo, ilustra varias de las características más profundas de la matemática moderna. Estaba claro para Dedekind que los enteros algebraicos ideales eran obra de la mente humana. Su existencia no puede basarse ni deducirse de la existencia de objetos físicos, deanalogías con procesos naturales, o de algún proceso de abstracción de cosas más familiares. Una segunda característica de la obra de Dedekind fue que se basó en la idea de conjuntos de objetos, tales como conjuntos de números, incluso conjuntos de conjuntos. El trabajo de Dedekind mostró como base la concepción ingenua de lo que un conjunto podría ser. La tercera característica crucial de su trabajo fue su énfasis en los aspectos estructurales del álgebra. La presentación de la teoría de números como una teoría acerca de objetos que pueden ser manipulados (en este caso, sumados y multiplicados) de acuerdo con ciertas reglas similares a las que rigen para los números ordinarios iba a ser un paradigma de las teorías más formales del siglo XX.

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