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Posts Tagged ‘Platón’

Sir Isaac Newton bien pudo haber sido el mejor científico de la civilización occidental. Hizo contribuciones sobresalientes a óptica, mecánica, gravitación y astronomía, utilizando su recién descubierto «método de fluxiones», una forma geométrica de cálculo diferencial, para respaldar sus conclusiones originales. Newton no solo unificó muchas ramas de la física bajo el paraguas de su cálculo diferencial, que proporcionó una herramienta cuantitativa de gran poder para explicar los fenómenos físicos, sino que también hizo sorprendentes descubrimientos que revolucionaron la forma en que los científicos entendían el mundo natural. Su intelecto era altamente creativo, y su genio fue capaz de ocuparse del corazón de un problema científico para proporcionar una explicación novedosa y viable.

Isaac Newton nació el 4 de enero de 1643 en Woolsthorpe, Inglaterra. Su padre, también llamado Isaac Newton, provenía de una larga lista de agricultores ricos. Murió pocos meses antes del nacimiento de su hijo. La madre del joven Isaac, Hannah Ayscough, pronto se volvió a casar, y esto resultó en una infeliz infancia para el niño, esencialmente tratado como huérfano. Newton fue enviado a vivir con sus abuelos maternos, y al parecer no le gustaba su abuelo. Él también estaba resentido con su madre, y llegó a amenazarla con quemarla junto a su nuevo esposo. Newton era de un carácter volátil, propenso a ataques de furia caprichosa.

Cuando el padrastro de Newton murió en 1653, vivió con su madre, medio hermano y dos medias hermanas por un tiempo. En este momento comenzó a asistir a la Free Grammar School en Grantham, pero los informes iniciales indicaban que Newton era un estudiante pobre y desatento. Su madre infligió una pausa en la educación de Newton, llevándolo a casa para administrar su patrimonio. Este fue otro fracaso, ya que Newton no tenía interés en los negocios, y reanudó su educación en 1660. Habiendo mostrado un poco más de predisposición en sus últimos años en Grantham, se permitió que Newton continuara su educación universitaria. Él era mayor y menos preparado que la mayoría de los estudiantes en el Trinity College de Cambridge en 1661.

A pesar de la extensa propiedad y riqueza de su madre, Newton se convirtió en un sizar de Cambridge, esto es, un servidor de los otros estudiantes. Estudió derecho y se familiarizó con la filosofía clásica de Aristóteles y Platón, así como con las ideas más modernas de René Descartes. La revista científica personal de Newton, Certain Philosophical Questions, revela la formulación temprana de sus ideas más profundas. La pasión de Newton por la verdad científica (en aquellos días, la investigación científica se limitaba dogmáticamente al desarrollo de las ideas de Aristóteles) desempeñó un papel en su notable profundidad como pensador.

El interés de Newton por la matemática se desarrolló más tarde. Se cuenta la historia que en 1663 compró un texto de astrología que era incomprensible para él. Esta experiencia llevó a Newton a estudiar geometría, comenzando con los Elementos de Euclides de Alejandría. A continuación, devoró las obras geométricas de Descartes y Francois Viete, así como el Álgebra de John Wallis. En 1663, Isaac Barrow asumió una cátedra en Cambridge y ejerció cierta influencia sobre el joven Newton. Sin embargo, el genio de Newton no surgió en este momento. El florecimiento de su intelecto ocurrió después de su graduación de 1665, cuando regresó a casa durante el verano para escapar de una plaga que cerró Cambridge. Durante los dos años siguientes en Lincolnshire, Newton logró tremendos avances científicos en matemática, física, óptica y astronomía.

El desarrollo de Newton del cálculo diferencial tuvo lugar en este momento, mucho antes de que Gottfried Leibniz hiciera descubrimientos similares e independientes. Newton llamó a su cálculo el «método de fluxiones», y era muy geométrico (mientras que el cálculo de Leibniz es más algebraico). El centro de la técnica de Newton fue la visión de la diferenciación y la integración como procesos inversos. Su método fue capaz de resolver muchos problemas clásicos de una manera más elegante y unificada, mientras que también fue capaz de resolver problemas totalmente nuevos que no se pueden abordar con metodologías más antiguas. El resultado de sus trabajos, De Methodis Serierum et Fluxionum (Sobre los métodos de series y fluxiones), no se publicó hasta 1736, muchos años después de su muerte.

Cambridge volvió a abrir sus puertas en 1667 después de que cesó la plaga, y Newton obtuvo una beca menor, poco tiempo después de obtener su maestría y la silla Lucasiana en 1669, que había sido recientemente abandonada por Barrow. Éste examinó gran parte del trabajo de Newton y ayudó a difundir sus ideas novedosas. También ayudó a Newton a obtener su nuevo puesto. En 1670, Newton incursionó por la óptica, avanzando en una teoría de partículas de la luz, así como en la idea de que la luz blanca estaba compuesta realmente de un espectro de colores diferentes. Ambas ideas eran contrarias a las creencias existentes sobre la naturaleza de la luz, pero aún así fueron bien recibidas. Newton fue elegido miembro de la Royal Society en 1672 después de donar un telescopio reflector de su propia invención. Surgió cierta controversia sobre sus ideas, y Newton no manejó bien las críticas. A lo largo de su vida, experimentó una tensión entre su deseo de publicar y obtener reconocimiento por su genio, y su aversión a las disputas y la política en el ámbito académico.

En 1678, Newton sufrió una crisis nerviosa, probablemente como resultado del exceso de trabajo combinado con el estrés de sus debates escolares. Al año siguiente, su madre murió y Newton se retiró aún más de la sociedad. Su trabajo sobre la gravedad y la mecánica celestial le ha valido la mayor reputación, y sus primeras ideas sobre estos temas se remontan a 1666. Basándose en su propia ley de fuerza centrífuga y la tercera ley del movimiento planetario de Kepler, Newton pudo deducir su ley de cuadratura inversa para la fuerza de gravedad entre dos objetos. Este trabajo se publicó en Philosophiae naturalis principia mathematica (Principios matemáticos de la filosofía natural) en 1687, comúnmente conocido como los Principia. Muchos piensan que este trabajo es el mayor tratado científico de todos los tiempos: presenta un análisis de las fuerzas centrípetas, con aplicaciones en proyectiles y péndulos. Newton demostró la ley del cuadrado inverso para la fuerza gravitacional y formuló el principio general (y universal) de la gravedad como un artefacto fundamental de nuestro universo. Siglos más tarde, Einstein describiría la fuerza de la gravedad como el tejido del espacio mismo. Por supuesto, los Principia tuvieron un éxito enorme, y Newton se convirtió en el científico más famoso de su época.

En la última parte de su vida, Newton se alejó de la investigación científica y se involucró en el gobierno. Cuando Jacobo I intentó nombrar católicos poco calificados para cátedras universitarias, Newton (quien era un ferviente protestante) lo resistió públicamente. Después de la deposición del rey en 1689, Newton fue elegido para el Parlamento y reconocido como un héroe académico. Sufrió una segunda crisis emocional en 1693, tal vez provocada por sustancias químicas de laboratorio, y se retiró oficialmente de la investigación. Se convirtió en guardián de la casa de la moneda en 1696, ascendiendo a un cargo mayor en 1699, y trabajó diligentemente para evitar la falsificación de la nueva moneda.

Los científicos y matemáticos de toda Europa reconocieron a Newton como uno de los más grandes intelectos, aunque la controversia con Leibniz que estalló sobre el tema de la prioridad en la invención del cálculo restó valor a su reinado intelectual. Gran parte de su energía se dedicó a este prolongado debate, llevado a cabo por los discípulos de ambos hombres, y ciertamente el feroz temperamento de Newton fue evidente en su tratamiento de su competidor. Newton ocupó la presidencia de la Royal Society desde 1703 hasta su muerte, y también tiene la distinción de ser el primer inglés en ser nombrado caballero (en 1705 por la reina Ana) por sus logros científicos. Murió el 21 de marzo de 1727 en Londres, Inglaterra.

Es difícil sobreestimar la importancia del trabajo de Newton por lo grande que ha sido su impacto en la ciencia y la matemática. Debe entenderse que su invención del cálculo nació de una larga progresión de esfuerzo intelectual de figuras como Arquímedes, Blaise Pascal y John Wallis, entre otros. Sin embargo, la voz de Newton sonó como una llamada de atención a través de un murmullo de voces desorganizadas e incoherentes. Su cálculo no sólo proporcionó un sistema general que reveló que las metodologías anteriores eran variaciones sobre un tema, sino que también fue una herramienta práctica y poderosa capaz de abordar espinosas preguntas científicas. Su cálculo colocó a las ciencias aún más bajo la sombra de la matemática y el razonamiento cuantitativo, y así aumentó la precisión y el rigor de la física y la astronomía. Solo por su matemática, Newton habría sido considerado una de las mentes más grandes de la historia humana. 

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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Nuestra teoría moderna de números reales es esencial para la solución de ecuaciones algebraicas y en todo el análisis matemático; y sin embargo, para muchos griegos, no existía el concepto de número irracional. Eudoxo, que creó una base matemática rigurosa para los números reales a través de su teoría de proporciones, eliminó este bloque conceptual. Como resultado, la matemática griega pudo continuar avanzando. 

Eudoxo nació en Cnido en el año 408 a.C., hijo de Aischines. Cuando aún era un hombre joven, estudió geometría con Arquitas de Tarento, y sus investigaciones filosóficas bien pueden haber sido inspiradas por Platón, a cuyas conferencias asistió mientras estudiaba en Atenas. Después de regresar a su ciudad natal, Eudoxo se fue de viaje a Egipto, pasando parte de su tiempo con los sacerdotes de Heliópolis. Él compuso su ciclo calendárico de ocho años, que probablemente incluyó los ascensos y configuraciones de las constelaciones. Después de un año en Egipto, se estableció en Cícico y fundó una escuela (que probablemente se ocupaba de matemática y filosofía), y más tarde hizo una segunda visita a Atenas. Parece que tuvo alguna interacción adicional con Platón en este momento, aunque Platón no ejerció mucha influencia sobre la filosofía de Eudoxo. Regresó a Cnido, donde dio conferencias, escribió libros de texto y proporcionó leyes para los ciudadanos. 

El pensamiento matemático de Eudoxo se encuentra detrás de gran parte del material de los Libros V, VI y VII de los Elementos de Euclides de Alejandría. Como ninguna de las obras escritas de Eudoxo existe, podemos confiar únicamente en el relato de Euclides. Eudoxo volvió a buscar la proporción matemática, dando por primera vez una definición sensible y rigurosa del concepto (que todavía está en uso hoy en día). También investigó el método de agotamiento (una idea de protocalculo, utilizada para calcular áreas y volúmenes), y se interesó en el desarrollo axiomático de la matemática (este enfoque influyó mucho en Euclides, quien cuidadosamente planteó varios postulados y axiomas de la geometría en los Elementos). Eudoxo pudo haber sido el primero en abordar la matemática de esta manera sistemática. 

Antes de la teoría de la proporción de Eudoxo, la matemática griega estaba inmovilizada por los números irracionales: los pitagóricos ya habían descubierto raíces cuadradas, pero a su modo de pensar estas cantidades no existían realmente. Sólo los números racionales (proporciones de enteros) existían para estos griegos anteriores. Para avanzar en la teoría de números y las soluciones de ecuaciones (y también en la geometría), era necesario incluir números irracionales; la teoría de proporciones de Eudoxo dio una definición rigurosa de los números reales, mostrando en particular la existencia de cantidades irracionales. Es interesante que las definiciones modernas de los números reales, como las propuestas por Richard Dedekind  y Karl Weierstrass, sean prácticamente idénticas a la antigua formulación de Eudoxo. 

Eudoxo trabajó en el viejo «problema de Delos» de duplicar el cubo. Según Arquímedes, Eudoxo probó que el volumen de una pirámide es un tercio del volumen del prisma que lo contiene, con resultados similares para el cono. Aunque Demócrito de Abdera ya conocía estos hechos, Eudoxo fue el primero en probarlos. Parece que también descubrió fórmulas para el área y el volumen de círculos y esferas, respectivamente. Estas proposiciones se dan en el Libro XII de los Elementos, que refleja gran parte del trabajo de Eudoxo en este campo. 

Otro aspecto importante de su trabajo fue la aplicación de la geometría esférica a la astronomía. Eudoxo, en su trabajo Sobre velocidades, expone un sistema astronómico geocéntrico que involucra esferas giratorias. Aunque el modelo estaba altamente idealizado, teniendo un ajuste pobre a los datos de observación conocidos, Aristóteles tomó la idea literalmente y la popularizó a través de su propio trabajo. Eudoxo tenía su propio observatorio y observaba cuidadosamente los cielos como parte de sus propios estudios; publicó sus resultados en el Enoptron y el Phaenomena, que fueron referencias muy utilizadas durante dos siglos. Eudoxo también era conocido como un gran geógrafo, y su Vuelta a la Tierra dio una descripción sistemática del mundo conocido, que incluye información política, histórica y etnográfica. 

Eudoxo fue sin duda uno de los mejores intelectuales de su tiempo, aunque su trabajo se conoce hoy sólo a través de relatos de segunda mano. Su contribución a la matemática a través de la formulación del sistema de los números reales no puede exagerarse; este trabajo permitió un mayor desarrollo de la matemática griega a través de personas como Arquímedes y Eratóstenes.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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La actividad matemática de la antigua Grecia no estaba tan organizada como en los tiempos modernos, ya que había poca uniformidad de notación o esfuerzo. A Euclides de Alejandría se le atribuye la organización del vasto material de teoremas conocidos pero incoherentes y su recopilación en la única obra conocida como los Elementos. Aunque hizo algunas contribuciones propias, Euclides se distingue principalmente por reunir la gran cantidad de información geométrica producida en su tiempo. 

Solo sabemos que Euclides vivió en Alejandría durante la primera parte de la vida de esa ciudad, estando activo en los años comprendidos entre el año 325 a.C. y el 265 a.C. Trabajó después del tiempo de los discípulos de Platón, pero antes del surgimiento de Arquímedes de Siracusa. Vivió en Alejandría durante el reinado del primer Ptolomeo y fundó una próspera escuela de matemática en esa ciudad. 

Euclides pudo haber sido un platónico, ya que era amigo de los asociados de Platón, Eudoxo de Cnido y Teeteto de Atenas. Cuando un estudiante le preguntó sobre el uso de la geometría, Euclides respondió dándole tres óbolos (las monedas de ese momento), ya que «debe sacar provecho de lo que aprende». Euclides es descrito como un hombre justo, no dado a jactancia. Es probable que asistiera a la Academia en Atenas cuando era joven, donde habría estudiado matemática, y luego fue invitado a Alejandría durante la fundación de su famosa biblioteca. 

 

 

Además de los Elementos, Euclides escribió algunos trabajos matemáticos menores: Datos, Sobre divisiones de figuras, Porismas, Loci de superficies y Libro de falacias. Estos tratan una variedad de temas, tales como magnitudes, análisis, divisiones de círculos, secciones cónicas y teoremas de locus. Los Elementos, obra escrita en 13 libros, ha influido mucho en el pensamiento humano durante más de dos milenios. El trabajo se ocupa principalmente de ciertos problemas geométricos, y se propone resolverlos en una serie de proposiciones con demostraciones. El método de Euclides siempre va de lo conocido a lo desconocido a través de pasos cuidadosamente razonados. Las diversas proposiciones se ubican en un orden majestuoso, por lo que resultados anteriores se utilizan en pruebas posteriores, en una especie de progresión matemática. Los libros también contienen varias definiciones esenciales, así como ciertos postulados y axiomas, que son supuestos que deben darse por sentados. Por ejemplo, da por sentada la existencia de puntos, líneas y círculos (así como la capacidad de construirlos), y desde aquí muestra cuántas otras figuras se pueden dibujar. 

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Es interesante observar que a partir de sus tres primeros postulados uno puede deducir que el espacio de la geometría de Euclides es infinito y continuo, abarcando tanto lo infinitamente grande como lo infinitamente pequeño. El quinto postulado ha llamado mucho la atención, especialmente en los últimos dos siglos, y establece que las líneas paralelas nunca se encuentran. Muchos matemáticos posteriormente intentaron deducir este quinto postulado de los otros cuatro, por lo que de lograrlo sería redundante; su falla ha resultado en las llamadas geometrías no euclidianas. 

El Libro I trata la geometría de puntos, líneas, triángulos, cuadrados y paralelogramos; esto incluye la proposición 47, más conocida como «teorema de Pitágoras». El Libro II desarrolla la transformación de áreas, y el Libro III se ocupa de intersecciones de círculos. El Libro IV se refiere a la inscripción de figuras rectilíneas en círculos, con aplicaciones a la astronomía. A continuación, Euclides desarrolla una teoría general de la proporción, que ha sido elogiada por los matemáticos por su elegancia y precisión. Su definición de proporción en el Libro V nunca ha sido reemplazada como una formulación del concepto de proporción, y se reconoce como una maravillosa contribución a la matemática. 

A continuación, el Libro VI trata la teoría general de la proporción aplicada a figuras semejantes, ilustrando la importancia de la definición de proporción previamente discutida. Los siguientes tres libros tratan de aritmética; estos presentan un enfoque más bien anticuado al estudio de los números, que Euclides probablemente incluyó por deferencia a las doctrinas tradicionales. Los temas incluyen números primos y mínimo común múltiplo, así como progresiones geométricas de números. El Libro X trata magnitudes irracionales, ya que Euclides establece el «método de agotamiento» utilizado para calcular áreas y volúmenes. Sus últimos tres libros tratan geometría sólida, como paralelepípedos, pirámides, conos y esferas. Euclides termina con la consideración de las cinco figuras platónicas, llamadas pirámide, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro, que habían sido objetos de estudio ferviente para los griegos. No solo determina sus ángulos, sino que también determina que estos son los únicos sólidos regulares posibles. 

De este gran cuerpo de trabajo, a Euclides se le atribuye principalmente la organización del material ya conocido de la época y la provisión de demostraciones simplificadas en algunos casos. La teoría de la proporción y el método de agotamiento se atribuyen a Eudoxo, y el conocimiento de cantidades irracionales se debe a Teeteto. Sin embargo, Euclides fue el inventor del postulado de las paralelas, dando una definición perspicaz del concepto de línea paralela. Los Elementos introdujeron nuevos estándares de rigor en el pensamiento matemático y también llevaron la matemática aún más a la arena de la geometría. La influencia de Euclides, por estas dos razones, fue profunda y duradera; numerosos matemáticos posteriores, como Sir Isaac Newton, también lanzaron sus ideas matemáticas en el riguroso molde geométrico que Euclides estableció hace tanto tiempo.

 

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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