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Posts Tagged ‘Postulado de las paralelas’

Cuando Euclides presentó su tratamiento axiomático de la geometría, uno de sus supuestos, su quinto postulado, parecía ser menos obvio o fundamental que los otros. Como ahora se formula convencionalmente, afirma que hay exactamente una paralela a una recta dada a través de un punto dado. Los intentos de derivar esto de los otros axiomas de Euclides no tuvieron éxito y, a comienzos del siglo XIX, se dieron cuenta de que el quinto postulado de Euclides es, de hecho, independiente de los otros. Se vio entonces que Euclides no había descrito la única geometría verdadera, sino sólo una de varias geometrías posibles.

Geometrías Elípticas e Hiperbólicas

Dentro del marco de los otros cuatro postulados de Euclides (y algunos que omitió), también estaban como posibles las geometrías elípticas e hiperbólicas. En la geometría elíptica plana no existen paralelas a una línea dada a través de un punto dado. Puede ser vista como la geometría de una superficie esférica sobre la cual se han identificado puntos antipodales y todas las rectas son grandes círculos. Esto no fue visto como revolucionario. Más emocionante fue la geometría hiperbólica plana, desarrollada independientemente por el matemático húngaro János Bolyai (1802-1860) y el matemático ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856), en la que hay más de una paralela a una recta dada a través de un punto dado. Esta geometría es más difícil de visualizar, pero un modelo útil presenta al plano hiperbólico como el interior de un círculo, en el que las rectas toman la forma de arcos de círculos perpendiculares a la circunferencia.

János Bolyai

Nikolai Ivanovich Lobachevsky

Otra forma de distinguir las tres geometrías es mirar la suma de los ángulos de un triángulo. En la geometría euclidiana es igual a 180° , como fue descubierto por Tales de Mileto (siglo VI a.C.), mientras que es mayor a 180° en la geometría elíptica y menor a 180° en la geometría hiperbólica.

Geometría de Riemann

El descubrimiento de que hay más de una geometría era de importancia fundacional y contradecía al filósofo alemán Immanuel Kant (1724-1804). Kant había argumentado que hay una sola geometría verdadera, la euclidiana, que se sabe que es verdadera a priori por una facultad interior (o intuición) de la mente. Para Kant, y prácticamente para todos los demás filósofos y matemáticos de su tiempo, esta creencia en la verdad inatacable de la geometría euclidiana formó el fundamento y la justificación para nuevas exploraciones sobre la naturaleza de la realidad. Con el descubrimiento de geometrías no euclidianas consistentes, hubo una pérdida subsiguiente de certidumbre y confianza en esta intuición innata, y esto fue fundamental para separar la matemática de una adhesión rígida a un orden externo sensorial y llevó a la creciente abstracción de la matemática como un universo auto-contenido. Este divorcio de la intuición geométrica sirvió de ímpetu a los esfuerzos posteriores tendientes a reconstruir la garantía de la verdad sobre la base de la lógica.

¿Cuál es entonces la geometría correcta para describir el espacio (en realidad el espacio-tiempo) en que vivimos? Resulta que no es ninguna de las anteriores, sino una geometría más general, tal como fue descubierta por el matemático alemán Bernhard Riemann (1826-1866). A principios del siglo XX, Albert Einstein mostró, en el contexto de su teoría general de la relatividad, que la verdadera geometría del espacio es sólo aproximadamente euclidiana. Es una forma de geometría riemanniana en la que el espacio y el tiempo están unidos en una variedad cuatridimensional, y es la curvatura en cada punto la responsable de la «fuerza» gravitatoria en ese punto. Einstein pasó la última parte de su vida tratando de extender esta idea a la fuerza electromagnética, con la esperanza de reducir toda la física a la geometría, pero una exitosa teoría del campo unificado le fue esquiva.

Bernhard Riemann

 

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Aunque el énfasis en la matemática a partir de 1650 estaba puesto cada vez más en el análisis, las preguntas fundamentales de la geometría clásica continuaron despertando interés. La atención se centró en el quinto postulado del Libro I de los Elementos, que Euclides había utilizado para probar la existencia de una única paralela a través de un punto a una recta dada. Desde la antigüedad, geómetras griegos, islámicos y europeos habían intentado, sin éxito, demostrar que el postulado de las paralelas no tiene por qué ser un postulado, sino que podía deducirse de los otros postulados de la geometría euclidiana. Durante el período entre 1600 y 1800, los matemáticos continuaron estos esfuerzos por tratar de demostrar que el postulado era equivalente a algún resultado que fuera considerado evidente por sí mismo. Aunque el avance decisivo en la geometría no euclidiana no ocurriría hasta el siglo XIX, los investigadores lograron un entendimiento más profundo y sistemático de las propiedades clásicas del espacio.

El interés por el postulado de las paralelas se desarrolló en el siglo XVI después de la recuperación y traducción al latin del comentario de Proclo sobre los Elementos de Euclides. Los investigadores italianos Christopher Clavius en 1574 y Giordano Vitale en 1680 mostraron que el postulado es equivalente a afirmar que la línea equidistante a una recta es una línea recta. En 1693 John Wallis, profesor savilian de geometría en Oxford, intentó una demostración diferente, probando que el axioma se sigue de la hipótesis de que a cada figura existe una figura semejante de magnitud arbitraria.

Christopher Clavius

En 1733 el italiano Girolamo Saccheri publicó su Euclides ab Omni Naevo Vindicatus («Euclides Borrado de todos los defectos»). Este fue un importante trabajo de síntesis en el que proporciona un análisis completo del problema de las paralelas en términos de los cuadriláteros de Omar Khayyam. Utilizando el supuesto euclidiano de que las líneas rectas no encierran un área, fue capaz de excluir a las geometrías que no contienen paralelas. Queda por demostrar la existencia de una única paralela a través de un punto a una recta dada. Para ello, Saccheri adoptó el procedimiento de reducción al absurdo. Supuso la existencia de más de un paralela y trató de derivar una contradicción. Después de una investigación larga y detallada, fue capaz de convencerse a sí mismo (erróneamente) que había encontrado la contradicción deseada.

En 1766 Johann Heinrich Lambert de la Academia de Berlín compuso Die Theorie der Parallellinien ( «La Teoría de líneas paralelas», publicado en 1786), un estudio penetrante del quinto postulado de la geometría euclidiana. Entre otros teoremas Lambert demostró que el axioma de las paralelas es equivalente afirmar que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos. Combinó este hecho con el resultado de Wallis para llegar a una caracterización inesperada del espacio clásico. De acuerdo con Lambert, si se rechaza el postulado de las paralelas, se deduce que para cada ángulo \theta es menor que 2R/3 (R es un ángulo recto) se puede construir un triángulo equilátero con \theta ángulo en la esquina. Como consecuencia del resultado de Wallis cualquier triángulo semejante a este triángulo debe ser congruente a él. Por lo tanto, es posible asociar con cada ángulo de una longitud definida, el lado del triángulo equilátero correspondiente. Dado que la medición de ángulos es absoluta, independiente de cualquier convención relativa a la selección de unidades, se deduce que existe una unidad absoluta de longitud. Por lo tanto, aceptar el postulado de las paralelas es negar la posibilidad de un concepto absoluto de longitud.

Johann Heinrich Lambert

La contribución final del siglo XVIII a la teoría de las paralelas fue un libro de texto de Adrien-Marie Legendre titulado Éléments de géométrie (Elementos de Geometría y Trigonometría), cuya primera edición apareció en 1794. Legendre presentó una elegante demostración que pretendía demostrar que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos. Él creía que había establecido de manera concluyente la validez del postulado de las paralelas. Su trabajo atrajo a una gran audiencia y fue influyente al informar a los lectores las nuevas ideas en la geometría.

El fracaso del siglo XVIII para desarrollar una geometría no euclidiana estaba arraigado en profundas creencias filosóficas. En su Crítica de la razón pura (1781) Emmanuel Kant había hecho hincapié en el carácter sintético a priori de los juicios matemáticos. Desde este punto de vista, las afirmaciones de la geometría y la aritmética son necesariamente proposiciones verdaderas con contenido empírico definido. La existencia de figuras semejantes de diferente tamaño, o el carácter convencional de las unidades de longitud, parecía evidente para los matemáticos de la época. Incluso en 1824 Pierre-Simon, marqués de Laplace, escribió:

Así, la noción de espacio incluye una propiedad especial, evidente por sí misma, sin la cual las propiedades de las paralelas no se pueden establecer de forma rigurosa. La idea de una región acotada, por ejemplo, el círculo, no contiene nada que depende de su magnitud absoluta. Pero si nos imaginamos su radio disminuyendo, somos llevados sin falta a la disminución en la misma proporción de su circunferencia y los lados de todas las figuras inscritas. Esta proporcionalidad se me aparece un postulado más natural que el de Euclides, y es digno de notar que se descubre de nuevo en los resultados de la teoría de la gravitación universal.

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El matemático y poeta Omar Khayyam nació en Neyshabur (Irán) sólo unos pocos años antes de la muerte de al-Biruni. Más tarde vivió en Samarcanda y en Isfahán, y su brillante trabajo allí continuó muchas de las principales líneas de desarrollo de la matemática del siglo X. No sólo descubrió un método general para la extracción de raíces de grado alto arbitrario, sino que su Álgebra contiene el primer tratamiento completo de la solución de ecuaciones cúbicas. Omar hizo esto por medio de secciones cónicas, pero declaró su esperanza de que sus sucesores tendrían éxito donde él había fracasado: en encontrar una fórmula algebraica para las raíces.

Omar fue también parte de la tradición islámica, que incluía a Thabit y a Ibn al-Haytham, dedicada a investigar el postulado de las paralelas de Euclides. A esta tradición Omar contribuyó con la idea de un cuadrilátero con dos lados congruentes perpendiculares a la base. El postulado de las paralelas se demostraría, reconoció Omar, si podía demostrarse que los dos ángulos restantes eran ángulos rectos. En esto fracasó, pero su pregunta sobre el cuadrilátero se convirtió en la forma estándar para hablar sobre el postulado de las paralelas.

Ese postulado, sin embargo, fue sólo una de las preguntas sobre los fundamentos de la matemática que interesaron a los científicos islámicos. Otra fue la definición de razón. Omar Khayyam, junto con otros antes que él, sintió que la teoría en el Libro V de los Elementos de Euclides era lógicamente  satisfactoria pero intuitivamente poco atractiva, por lo que demostró que una definición conocida de Aristóteles era equivalente a la dada en Euclides. De hecho, Omar argumentó que las razones deben ser consideradas como «números ideales», y así concibió un sistema mucho más amplio de números que el utilizado desde la antigüedad griega, el de los números reales positivos.

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