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Argumentos no constructivos

Posted in Historia de la Matemática, tagged Augustus De Morgan, Axioma de Elección, Ernst Zermelo, Friedrich Ludwig Gottlob Frege, Georg Cantor, Lógica matemática, Leopold Kronecker, Principio de Buena Ordenación, Solomon Feferman on 24 abril 2017| 1 Comment »

Otra crítica al programa Cantor-Frege fue planteada por Kronecker, quien se opuso a argumentos no constructivos, como la siguiente prueba de que existen números irracionales $a$ y $b$ tales que $a^{b}$ es racional. Si $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ es racional, entonces la prueba está completa; de lo contrario tomar $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ y $b=\sqrt{2}$ , de modo que $a^{b}=2$ . El argumento es no constructivo, porque no nos dice qué alternativa se cumple. En el presente caso, el resultado se puede probar constructivamente tomando $a=\sqrt{2}$ y $b=2\log_{2}3$ . Pero hay otros teoremas clásicos para los cuales no existe ninguna prueba constructiva.

Leopold Kronecker

Consideremos, por ejemplo,

$\exists_{x}(\exists_{y}\phi(y)\supset\phi(x))$

que simboliza la afirmación de que existe una persona famosa si hay personas famosas. Esto se puede demostrar con la ayuda de las leyes de De Morgan, nombradas después del matemático y lógico inglés Augustus De Morgan (1806-1871). Afirma la equivalencia de $\exists_{y}\phi(y)$ con $\neg\forall_{y}\neg\phi(y)$ , usando la lógica clásica, pero no hay manera de construir un $x$ , por ejemplo, cuando $\phi(x)$ afirme la existencia de un buen orden de los reales, como lo demostró Solomon Feferman. Se dice que un conjunto ordenado está bien ordenado si cada subconjunto no vacío tiene un elemento mínimo.

Augustus De Morgan

El matemático alemán Ernst Zermelo (1871-1951) demostró que todo conjunto puede ser bien ordenado, siempre y cuando se adopte otro axioma, el axioma de elección, que dice que, para toda familia no vacía de conjuntos no vacíos, hay un conjunto que se puede obtener seleccionando exactamente un elemento de cada uno de estos conjuntos. Este axioma es una fértil fuente de argumentos no constructivos.