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Posts Tagged ‘Principio de induccion’

En la entrada anterior me referí en general y de manera muy escueta a la demostración en matemática (a pesar de recomendar un buen texto referido al tema), y hablé de la Demostración por Contradicción y de la Demostración Directa. Otro método bastante conocido es el de Demostración por Inducción, y este es el eje de lo que sigue.

La inducción se utiliza en conjunción con los números naturales \mathbb{N} (o a veces con el conjunto \mathbb{N}\cup\left\{0\right\}). El principio fundamental detrás de la inducción es que si S es un subconjunto de \mathbb{N} con la propiedad de que

  • S contiene al 1 y
  • siempre que S contiene a un número natural n, también contiene a n+1,

entonces debe ser que S=\mathbb{N}. Como el siguiente ejemplo ilustra, este principio se puede utilizar para definir sucesiones de objetos así como para probar hechos acerca de ellos.


Ejemplo. Sea x_{1}=1, y para cada n\in\mathbb{N} definimos

x_{n+1}=(1/2)x_{n}+1.

Usando esta regla, podemos calcular x_{2}=(1/2)(1)+1=3/2, x_{3}=7/4, y es inmediatamente evidente cómo esto lleva a una definición de x_{n} para todo n\in\mathbb{N}.

La sucesión que hemos definido parece al principio ir en aumento. Para los términos calculados, tenemos x_{1}\leq x_{2}\leq x_{3}. Vamos a usar inducción para demostrar que esta tendencia continúa; es decir, vamos a demostrar que

x_{n}\leq x_{n+1}

para todos los valores de n\in\mathbb{N}.

Para n=1, x_{1}=1 y x_{2}=3/2, de modo que es claro que x_{1}\leq x_{2}. Ahora queremos demostrar que

si tenemos que x_{n}\leq x_{n+1}, entonces se sigue que x_{n+1}\leq x_{n+2}.

Pensemos en S como el conjunto de los números naturales para los cuales la afirmación en la ecuación x_{n}\leq x_{n+1} es cierta. Hemos demostrado que 1\in S. Ahora estamos interesados en demostrar que si n\in S, entonces también n+1\in S. Partiendo de la hipótesis inductiva x_{n}\leq x_{n+1}, podemos multiplicar ambos miembros de la desigualdad por 1/2 y sumar 1 para obtener

\frac{1}{2}x_{n}+1\leq\frac{1}{2}x_{n+1}+1,

que es precisamente la conclusión deseada x_{n+1}\leq x_{n+2}. Por inducción, la afirmación se prueba para todo n\in\mathbb{N}. \diamondsuit


Cualquier discusión acerca de por qué la inducción es una técnica argumentativa válida inmediatamente abre una caja de preguntas acerca de cómo entendemos a los números naturales. Anteriormente, cuando hablamos de la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos, evitamos este problema haciendo referencia a la famosa observación de Kronecker respecto de que los números naturales se dan de alguna manera divina. Aunque no vamos a mejorar esta explicación aquí, hay que señalar que es posible un enfoque más ateo y matemáticamente satisfactorio de \mathbb{N} desde el punto de vista de la teoría axiomática de conjuntos. Esto nos lleva de nuevo a un tema recurrente de discusión matemática. Pedagógicamente hablando, los fundamentos de la matemática se aprenden mejor y se aprecian en una especie de orden inverso. Un estudio riguroso de los números naturales y la teoría de conjuntos es sin duda recomendable, pero sólo después de tener una comprensión de las sutilezas del sistema de los números reales.

Para cerrar esta entrada es interesante observar una imagen muy intuitiva de la inducción matemática en el primer segmento del siguiente episodio del programa Alterados por Pi, conducido por el Dr. Adrian Paenza.


Referencias bibliográficas:

  • Abbott, Stephen (2010) Understanding Analysis. Springer.

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Como está llegando el fin de semana les propongo un poco de entretenimiento.

Un juego muy interesante es el de las Torres de Hanoi, que muchos matemáticos conocemos. Se trata de un juego de estrategia bastante antiguo. En el siguiente enlace (clic aquí) van a poder encontrar informaciòn bastante detallada de sus orígenes y verán que está íntimamente ligado al concepto de inducción matemática.

Torres de Hanoi

Torres de Hanoi

Precisamente si han visto el Capítulo 8 del programa Alterados por Pi que se emite por el canal Encuentro y es conducido por el Dr. Adrian Paenza encontrarán una alusión a este juego al hablar del Principio de Inducción Matemática.

Pero también verán que podemos asociar las Torres de Hanoi con grafos y hasta con fractales …

Para que se entretengan entonces los invito al desafío de experimentar con el juego on-line aquí.

Hasta pronto, María Teresa

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