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Posts Tagged ‘Propiedad Arquimediana’

Nuestro título de hoy es: \mathbb{Q} es denso en \mathbb{R}, y no se trata de una persona que se torna un tanto insoportable en un determinado ambiente. Veremos que la densidad es una propiedad interesante que se da entre estos dos conjuntos, y es otra de las aplicaciones del Axioma de Completitud.

Pero antes, recordemos algunos detalles y demostremos otros.

El conjunto \mathbb{Q} es una extensión de \mathbb{N}, y \mathbb{R} es una extensión de \mathbb{Q}. Los próximos resultados indican cómo \mathbb{N} y \mathbb{Q} “encajan” dentro de \mathbb{R}.


Propiedad Arquimediana: 

  • Dado cualquier número x\in\mathbb{R}, existe un n\in\mathbb{N} que satisface n>x.
  • Dado cualquier número real y>0, existe un n\in\mathbb{N} que satisface 1/n<y.

Dem. La primera parte de la propiedad establece que \mathbb{N} no está acotado superiormente. Nunca ha habido ninguna duda acerca de la verdad de esto, y se podría argumentar razonablemente que no deberíamos tener que demostrarlo en absoluto. Este es un punto de vista legítimo, especialmente a la luz del hecho de que hemos decidido asumir otras propiedades familiares de \mathbb{N}, \mathbb{Z} y \mathbb{Q} como dadas en las entradas anteriores.

El argumento en contra es que vamos a probarlo porque podemos. Un conjunto puede poseer la Propiedad Arquimediana sin ser completo —\mathbb{Q} es un buen ejemplo– pero una demostración de este hecho requiere una buena dosis de escrutinio en la construcción axiomática del cuerpo ordenado en cuestión. En el caso de \mathbb{R}, el Axioma de Completitud nos proporciona un argumento muy corto. Un gran número de profundos resultados depende en última instancia de esta relación entre \mathbb{R} y \mathbb{N}, así que tener una prueba para ello añade un poco de seguridad extra para estos próximos argumentos.

De modo que sin dilatarlo más iniciamos aquí la demostración. Supongamos, por contradicción, que \mathbb{N} está acotado superiormente. Por el Axioma de Completitud, \mathbb{N} debe entonces tener una menor cota superior, digamos \alpha=\sup\mathbb{N}. Si consideramos \alpha-1, entonces ya no tenemos una cota superior (Recordar Caracterizando un supremo), y por lo tanto existe un n\in\mathbb{N} que satisface \alpha-1<n. Pero esto es equivalente a \alpha<n+1. Como n+1\in\mathbb{N}, tenemos una contradicción con el hecho de que \alpha se supone que es una cota superior de \mathbb{N}. (Observemos que la contradicción sólo depende del Axioma de Completitud y del hecho de que \mathbb{N} es cerrado bajo la adición.)

La segunda parte se sigue de la primera tomando x=1/y. \clubsuit


Esta familiar propiedad de \mathbb{N} es la clave para un hecho extremadamente importante acerca de cómo \mathbb{Q} encaja dentro de \mathbb{R}.

De más está decir que su nombre se asocia al famoso matemático griego Arquímedes de Siracusa (aproximadamente 287 a.C. – 212 a.C.)


Densidad de \mathbb{Q} en \mathbb{R}.

Para cualesquiera dos números reales a y b con a<b, existe un número racional r que satisface a<r<b.

Dem. Por simplicidad, asumimos que 0\leq a<b. El caso en que a<0 se sigue rápidamente de este. Un número racional es un cociente de enteros, de modo que debemos producir m,n\in\mathbb{N} de modo que

a<\frac{m}{n}<b

El primer paso es elegir el denominador n suficientemente grande como para que incrementos sucesivos de tamaño 1/n estén suficientemente cerca al “pararse sobre” el intervalo (a,b).

Usando la Propiedad Arquimediana, podemos tomar n\in\mathbb{N} suficientemente grande de modo que

\frac{1}{n}<b-a

Multiplicando la desigualdad anterior por n obtenemos na<m<nb. Con el n ya elegido, la idea ahora es elegir m como el menor número natural mayor que na. En otras palabras, tomamos m\in\mathbb{N} tal que

m-1\leq na

y

na<m

Ahora, de la desigualdad anterior inmediatamente se cumple que a<m/n, que es la mitad del objetivo. Teniendo en mente que la desigualdad anterior es equivalente a a<b-1/n, podemos usar una de las desigualdades anteriores para escribir

Como m<nb implica m/n<b, tenemos a<m/n<b, como queríamos. \clubsuit


Este Teorema puede ser redactado de otra manera diciendo que \mathbb{Q} es denso en \mathbb{R}. Sin mayor esfuerzo, podemos usar este resultado para demostrar que también los números irracionales son densos en \mathbb{R}.

Pero antes de irnos hoy, los invito a pensar la relación de lo que hemos visto y el siguiente planteo del Dr. Paenza en su programa Alterados por Pi


Referencias bibliográficas:

  • Abbott, Stephen (2010) Understanding Analysis. Springer.

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