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Posts Tagged ‘Ptolomeo’

Un cambio de paradigma importante en la intuición geométrica tuvo lugar en el siglo XIX, cuando Carl Friedrich Gauss, János Bolyai y Lobachevsky desarrollaron, independientemente, geometrías alternativas al espacio plano. Lobachevsky fue el primero en publicar este descubrimiento. Sus generalizaciones de la noción intuitiva de espacio han demostrado ser extremadamente relevantes dentro de la matemática (allanando el camino para la definición abstracta y el estudio de la geometría) y la física, a través del modelado del efecto de la gravedad en la forma del universo. 

Nikolai Lobachevsky nació el 2 de diciembre de 1792 en Gorki, Rusia. Su padre, Ivan Maksimovich, era empleado administrativo, y su madre se llamaba Praskovia Aleksandrovna Lobachevskaya. En 1800, la madre de Lobachevsky se trasladó, junto con Lobachevsky y sus dos hermanos, a Kazan. Allí los tres chicos se inscribieron en el Gymnasium con becas. En 1807 Lobachevsky ingresó a la Universidad de Kazan, donde estudió matemática y física, obteniendo su maestría en 1812. 

En 1814 Lobachevsky dio una conferencia sobre matemática y mecánica como adjunto y se convirtió en profesor el mismo año; fue promovido en 1822 y ocupó diversos cargos en la Universidad de Kazan, incluido el de decano del departamento de física y matemática, bibliotecario de la universidad, rector y asistente del fideicomisario del distrito de Kazan. Su primer trabajo importante, escrito en 1823, se llamó Geometriya (Geometría), y sus estudios geométricos básicos lo condujeron a sus investigaciones posteriores sobre geometría no euclidiana. Informó de sus primeros descubrimientos en 1826 y publicó estas ideas en 1829–1830. 

Lobachevsky intentó inicialmente probar el quinto postulado de Euclides de Alejandría, como muchos antes que él (incluyendo Claudio Ptolomeo, Thabit ibn Qurra, Abu Ali al-Haytham, Adrien-Marie Legendre y John Wallis) lo habían intentado y fracasado. Pronto recurrió a la construcción de una geometría más general que no requería el quinto postulado, que establece que dada una recta y un punto fuera de ella, existe una única recta a través del punto que es paralela a la recta dada. La geometría resultante, que Lobachevsky denominó “geometría imaginaria”, permitió la construcción de múltiples rectas paralelas distintas a través del punto dado. Desde aquí pudo deducir varias propiedades interesantes: la más importante es que la geometría era consistente(no había contradicción en sus reglas, por más que fueran intuitivas sus características). Curiosamente, la suma de los ángulos en un triángulo es menor que 180 grados; posteriormente, Lobachevsky intentó deducir la geometría del universo midiendo los ángulos de un vasto triángulo cósmico atravesado por estrellas distantes. Concluyó que, dentro de los márgenes del error de medición, los ángulos sumaban 180 grados y, por lo tanto, el universo es euclidiano. 

Lobachevsky produjo varios artículos más sobre este tema; dio tanto una definición axiomática como una constructiva de su “pangeometría”, que más tarde se conocería como geometría hiperbólica. Sus ideas no fueron aceptadas inicialmente en el extranjero, aunque fue promovido en Kazán y convertido en noble en 1837. Se casó en 1832 con una adinerada aristócrata, Lady Varvara Aleksivna Moisieva, y tuvieron siete hijos. 

Además de su importante trabajo geométrico, Lobachevsky contribuyó en álgebra, series infinitas y teoría de la integración. Sin embargo, este trabajo estaba condimentado por sus ideas geométricas y se relacionaba con su “geometría imaginaria”. Gauss apreció los esfuerzos de Lobachevsky, que eran similares a su propio trabajo sobre geometría no euclidiana, y ayudó a su elección a la Academia de Ciencias de Göttingen después de 1842. 

Lobachevsky, a pesar de su matrimonio ventajoso, experimentó dificultades financieras en sus últimos años, debido al costo de su familia numerosa y al mantenimiento de su patrimonio. Sus ojos se deterioraron con la edad hasta que quedó totalmente ciego. Murió el 24 de febrero de 1856, en Kazán. 

El reconocimiento del trabajo pionero de Lobachevsky llegó lentamente. Muchos matemáticos, como Arthur Cayley, no pudieron comprender su significado y lo denigraron. En la década de 1860, las obras de Bolyai y Lobachevsky ganaron cada vez más renombre entre los franceses, y Eugenio Beltrami más tarde dio una construcción de la geometría lobachevskiana en un círculo cerrado del plano. Después de 1870 Karl Weierstrass y Felix Klein se interesaron por el trabajo de Lobachevsky, y Klein finalmente formuló las diversas geometrías (elíptica, plana e hiperbólica) en términos de invariantes de transformaciones de grupo. Posteriormente se demostró que la geometría lobachevskiana era un caso especial de las geometrías de Cayley. Henri Poincaré, junto con Klein, se basó en las ideas de Bernhard Riemann y Lobachevsky. En el siglo XX se demostró que la geometría no euclidiana era relevante para la teoría general de la relatividad. Es intrigante que luego se demostró que el espacio del universo tiene curvatura variable, con la urdimbre y la trama de su tejido definidas por fuerzas gravitacionales. Esta realidad está modelada por la geometría de Lobachevsky.

 

 

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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Al-Khwarizmi es un árabe importante en la historia de la matemática de Oriente Medio, ya que desempeñó un papel en la transmisión del conocimiento hindú a Arabia, desde donde se abrió camino a Europa. Su desarrollo del álgebra, aunque rudimentario, fue una base importante para matemáticos posteriores como al-Karaji

La vida de al-Khwarizmi es bastante oscura, pero probablemente nació poco antes del año 800 en Qutrubbull, un distrito entre los ríos Tigris y Éufrates cerca de Bagdad. Bajo el reinado del califa al-Mamun de 813 a 833, al-Khwarizmi se convirtió en miembro de la Casa de la Sabiduría, una academia de científicos en Bagdad. Al-Khwarizmi escribió libros que trataban sobre astronomía, álgebra, números hindúes, calendario judío, geografía e historia. 

Su Algebra fue un trabajo elemental, diseñado para proporcionar ayuda práctica con cálculos comunes utilizados en el comercio. La primera parte se ocupa de la solución de las ecuaciones algebraicas reales, mientras que la segunda y tercera secciones tratan la medición y aplicaciones. Al-Khwarizmi da seis tipos básicos de ecuaciones que incluyen ecuaciones lineales y cuadráticas en una variable. En esta etapa no hay noción de cero o número negativo, y una parte sustancial de las técnicas se refiere a la eliminación de cantidades negativas. De hecho, la palabra álgebra proviene de al-jabr, que significa “restauración”. Esto se refiere a la operación de agregar una cantidad positiva a ambos lados de una ecuación para eliminar una cantidad negativa. También se usa una operación similar llamada balanceo. El nombre completo del libro es The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing. Además de estas reglas básicas, el autor proporcionó información sobre cómo encontrar el área de varias figuras planas, como triángulos y círculos, así como el volumen de sólidos como el cono y la pirámide. 

Se cree que el Álgebra de Al-Khwarizmi es el primer trabajo árabe sobre el tema. Existe cierta controversia entre los estudiosos acerca de si obtuvo su información de fuentes griegas o hindúes. Su uso de diagramas indica que puede haber estado familiarizado con los Elementos de Euclides de Alejandría

El tratado de Al-Khwarizmi sobre los números hindúes también es bastante importante para la historia de la matemática, ya que es uno de los primeros trabajos en exponer el sistema numérico superior de los hindúes. Este es esencialmente el sistema moderno, que involucra 10 símbolos numéricos en un sistema posicional. Se les llama erróneamente “números arábigos”, ya que llegaron a los europeos a través de los árabes. Es probable que el sistema numérico hindú ya haya sido introducido a los árabes, pero al-Khwarizmi fue el primero en presentar una exposición sistemática. 

Además de estos trabajos matemáticos, al-Khwarizmi compuso un trabajo sobre astronomía que se derivó del conocimiento de los hindúes. Su Geografía fue una mejora con respecto a la de Ptolomeo, ya que incluía el mayor conocimiento de los árabes. 

Al-Khwarizmi murió en algún momento del siglo IX, quizás alrededor del año 850. El Álgebra de Al-Khwarizmi se utilizó ampliamente tanto en Arabia como en Europa después del siglo XII. Más importante, tal vez, es el impacto de su tratado sobre los números hindúes, que facilitó la explosión de la matemática europea después del siglo XII.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Hiparco de Rodas fue uno de los astrónomos más grandes de la antigüedad, y también fue muy conocido por las técnicas matemáticas que importó en el estudio de las estrellas. Muchos de los cálculos astronómicos se hicieron accesibles a través de las fórmulas trigonométricas de Hiparco; también puede haber sido el primero en usar la trigonometría esférica y la proyección estereográfica. 

Hiparco de Rodas no nació en Rodas, aunque pasó gran parte de su carrera posterior en esa isla. Nació en Nicea, en la parte noroeste de Turquía, en algún momento del primer cuarto del siglo II a.C. E. Estuvo más activo entre los años 147 a.C. y 127 a.C., que se sabe son las fechas de su primera y última observación astronómica.

Poco se sabe de la vida temprana de Hiparco, pero es probable que comenzara su carrera científica en Nicea y se mudara a Rodas antes del 141 a. C. Fue muy famoso y respetado durante su vida, pero luego cayó en la oscuridad debido a la poca circulación de sus obras publicadas. Claudio Ptolomeo escribió el Almagesto, que se basó en gran medida en las escrituras previas de Hiparco, y es de esta fuente que se extrae el escaso conocimiento de los eruditos sobre Hiparco. 

Para calcular la posición de los cuerpos celestes, era necesario que los griegos resolvieran ciertos problemas trigonométricos. Hiparco escribió una obra (se desconoce su nombre y su existencia se conoce solo indirectamente) sobre las cuerdas de un círculo, y produjo una tabla de cuerdas, que era básicamente una tabla inicial de senos. Construyó la tabla calculando los valores directamente a intervalos de 71/2 grados, y luego interpolando linealmente entre estos valores. Aunque los astrónomos hindúes usaron más tarde esta tabla de cuerdas, la tabla de cuerdas de Ptolomeo la reemplazó. Sin embargo, Hiparco fue el primero en construir tal tabla, y esta herramienta le permitió resolver muchos problemas trigonométricos relevantes para la astronomía. En este sentido, Hiparco puede ser considerado como el fundador de la trigonometría; también transformó la astronomía en una ciencia cuantitativa. 

Muchos de los cálculos astronómicos realizados por Hiparco implicaron la trigonometría esférica (la medición de triángulos ubicados sobre una esfera), pero muchos estudiosos piensan que fue capaz de resolver estos problemas sin un conocimiento explícito de la trigonometría esférica. También hay evidencia de que Hiparco usó la proyección estereográfica, que es un método para mapear la esfera (menos el Polo Norte) sobre un plano que pasa por el ecuador, proporcionando así una forma de traducir las coordenadas. 

Además de estos logros matemáticos, Hiparco fue más famoso por sus numerosas contribuciones a la astronomía. Es interesante que recurriera a los datos lunares de Babilonia para algunas de sus teorías; fue capaz de calcular el tamaño de la Luna y el Sol (el último cálculo fue inexacto). Compuso obras de geografía y astrología, así como un libro sobre óptica. 

El logro principal de Hiparco fue la transformación de la astronomía de una ciencia cualitativa a una cuantitativa; él empleó con éxito fórmulas matemáticas para calcular distancias y ángulos de varios cuerpos celestes. Sus propios datos de observación, junto con la transmisión de datos astronómicos de Babilonia, fueron importantes para el desarrollo de la astronomía. Se sabía que Hiparco era de mente abierta, crítico y empírico; probó las teorías científicas contra las observaciones. Sus propios escritos fueron altamente especializados, pero parece que Hiparco había concebido un sistema astronómico completo. Matemáticamente, Hiparco merece un lugar destacado en la historia por fundar la disciplina de la trigonometría y construir la primera tabla trigonométrica.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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