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Posts Tagged ‘Relación de equivalencia’

Incluso con el beneficio de una enorme retrospectiva, es difícil introducir los números complejos de  manera convincente. Históricamente, hemos visto (aquí) cómo las ecuaciones cúbicas obligaron a que aparecieran en forma algebraica, y en la discusión de los trabajos de Cotes (aquí) vimos algo de lo inevitable que se vuelve su interpretación geométrica. En próximas entradas vamos a tratar de mostrar cómo los números complejos surgen de manera natural, casi sin quererlo, a partir de una cuidadosa re-examinación de la geometría plana de Euclides. Para ello debemos primero dedicar algunas palabras preliminares.

Aunque los antiguos griegos hicieron muchos hermosos y notables descubrimientos en geometría, fue dos mil años después que Felix Klein se preguntó y respondió por primera vez a la pregunta, «¿Qué es la geometría?»

Felix Klein

Felix Klein

Vamos a restringirnos desde el principio a la geometría plana. Uno podría empezar diciendo que ésta es el estudio de las propiedades geométricas de las figuras geométricas en el plano, pero (i) qué son las «propiedades geométricas», y (ii) qué son las «figuras geométricas'»? Nos concentraremos en (i), pasando rápidamente por encima de (ii) mediante la interpretación de «figura geométrica» como cualquier cosa que podríamos elegir dibujar en un papel plano infinitamente grande con un lápiz infinitamente fino.

En cuanto a (i), comenzamos por señalar que si dos figuras (por ejemplo, dos triángulos) tienen las mismas propiedades geométricas, entonces (desde el punto de vista de la geometría) deben ser las «mismas», «iguales», o, como uno suele decir, congruentes. Así, si tuviéramos una clara definición de congruencia («igualdad geométrica») entonces podríamos revertir esta observación y definir las propiedades geométricas como aquellas propiedades que son comunes a todas las figuras congruentes. ¿Cómo, pues, podemos saber si dos figuras son geométricamente iguales?

Consideremos los triángulos en la Figura 1, e imaginemos que son piezas de papel que se pueden recoger con la mano. Para ver si T es congruente a T', podríamos tomar T y comprobar si podemos ubicarlo sobre T'. Tenga en cuenta que es esencial que se nos permita mover a T en el espacio: con el fin de alcanzar el objetivo debemos colocar T sobre \widetilde{T} dándolo vuelta primero, pues no podemos simplemente deslizar T dentro del plano. Intentando generalizar, esto sugiere que una figura F es congruente a otra figura F' si existe un movimiento de F a través del espacio que la haga coincidir con F'. Nótese que la discusión sugiere que hay fundamentalmente dos tipos diferentes de movimientos: aquellos que implican voltear una figura sobre otra, y los que no lo hacen. Más adelante, volveremos sobre este importante punto.

Figura 1

Figura 1

Está claro que es un tanto insatisfactorio que en el intento de definir la geometría en el plano hayamos apelado a la idea de movimiento a través del espacio. Ahora rectificaremos esto. Volviendo a la Figura 1, imaginemos que T y T' se dibujan en hojas separadas, de plástico transparente. En lugar de tomar sólo el triángulo T, ahora tomamos toda la hoja en la que lo dibujamos, y luego tratamos de colocarlo en la segunda hoja a fin de que T y T' coincidan. Al final de este movimiento, cada punto A en la hoja de T se encuentra sobre un punto A' de la hoja de T', y ahora podemos definir el movimiento \mathcal{M} como el mapeo (o aplicación) A\mapsto A'=\mathcal{M}(A) del plano en sí mismo.

Sin embargo, no cualquier mapeo califica como movimiento, porque también debemos capturar la idea (anteriormente implícita) de que la hoja queda rígida mientras se mueve, por lo que las distancias entre los puntos se mantienen constantes durante el movimiento. Aquí, entonces, está nuestra definición:

Un movimiento \mathcal{M} es un mapeo del plano en sí mismo tal que la distancia entre dos puntos A y B es igual a la distancia entre su imágenes A'=\mathcal{M}(A) y B'=\mathcal{M}(B).

Tenga en cuenta que a lo que hemos llamado un movimiento a menudo se lo denomina un «movimiento rígido», o «isometría».

Armados con este concepto preciso de movimiento, nuestra definición final de igualdad geométrica se convierte en

 F es congruente a F', escrito como F\cong F', si existe un movimiento \mathcal{M} tal que F'=\mathcal{M}(F).

A continuación, como consecuencia de nuestra discusión anterior, una propiedad geométrica de una figura es una que no se altera por todos los posibles movimientos de la figura. Por último, en respuesta a la pregunta inicial sobre «¿Qué es la geometría?», Klein contestaría que es el estudio de estos llamados invariantes del conjunto de movimientos.

Uno de los descubrimientos más notables del siglo pasado fue que la geometría euclidiana no es la única geometría posible. Más adelante estudiaremos dos de las llamadas geometrías no euclidianas, pero por el momento sólo nos contentaremos con explicar cómo Felix Klein fue capaz de generalizar las ideas anteriores para abarcar estas nuevas geometrías.

El objetivo en la definición dada de congruente era utilizar una familia de transformaciones para introducir un concepto de igualdad geométrica. Pero, ¿este tipo \cong de igualdad se comportará de la manera que nos gustaría y esperamos? Para responder a esta pregunta primero debemos hacer explícitas nuestras expectativas. Para no confundir esta discusión general con el concepto particular de congruencia dado arriba, vamos a denotar a la igualdad geométrica por \sim.

  1. Una figura debe ser igual a sí misma: F\sim F, para toda F.
  2. Si F es igual a F', entonces F' debe ser igual a F: F \sim F'\Rightarrow F' \sim F.
  3. Si $ F$ y F' son iguales, y F' y F'' son iguales, entonces F y F'' también deben ser iguales: F \sim F'\wedge F' \sim F''\Rightarrow F \sim F''.

Cualquier relación que satisface estas expectativas se llama una relación de equivalencia.

Ahora supongamos que retenemos la definición anterior de igualdad geométrica, pero que generalizamos la definición de «movimiento» que dimos mediante la sustitución de la familia de las transformaciones que preservan la distancia con algunos otros miembros de la familia \mathcal{G} de transformaciones. Debe quedar claro que no cualquier \mathcal{G} será compatible con nuestro objetivo de definir la igualdad geométrica. De hecho, (1), (2), y (3) implican que \mathcal{G} debe tener la siguiente estructura muy especial(*), que se ilustra en la Figura 2.

Figura 2

Figura 2

  • La familia \mathcal{G} debe contener una transformación \epsilon (llamada la identidad) que mapea cada punto en sí mismo.
  • Si \mathcal{G} contiene una transformación \mathcal{M}, entonces debe contener también una transformación \mathcal{M}^{-1} (llamada la inversa) que deshace \mathcal{M}.
  • Si \mathcal{M} y \mathcal{N} son miembros de \mathcal{G} entonces también lo es la transformación compuesta \mathcal{N}\circ\mathcal{M} (\mathcal{M} seguida por \mathcal{N}) Esta propiedad de \mathcal{G} se denomina clausura.

Así, hemos llegado, muy naturalmente, a un concepto de importancia fundamental en el conjunto de la matemática: una familia \mathcal{G} de transformaciones que satisface estos tres (**) requisitos se denomina grupo.

Vamos a ver que los movimientos definidos en la definición inicial de movimiento en efecto forman un grupo: (i) Dado que la transformación identidad preserva las distancias, es un movimiento; (ii) Siempre que exista, la inversa de un movimiento preserva las distancias y por lo tanto será un movimiento en sí. En cuanto a la existencia, (a) es ciertamente posible que cuando aplicamos un movimiento a todo el plano, entonces la imagen es todo el plano y (b) la distancia no nula entre puntos distintos es preservada por un movimiento, por lo que sus imágenes son una vez más diferentes; (iii) Si dos transformaciones no alteran las distancias, entonces la aplicación de ellas en sucesión no alterará las distancias, por lo que la composición de dos movimientos es otro movimiento.

La idea de Klein fue que primero podríamos seleccionar un grupo \mathcal{G} a voluntad, y luego definir la «geometría» correspondiente con el estudio de los invariantes de \mathcal{G}. [Klein anunció por primera vez esta idea en 1872, cuando tenía 23 años!, en la Universidad de Erlangen, y ha llegado a ser conocida como el Programa de Erlangen.] Por ejemplo, si elegimos \mathcal{G} como el grupo de movimientos, recuperamos la geometría euclidiana familiar del plano. Pero ésta está lejos de ser la única geometría del plano, como muestra la denominada geometría proyectiva de la Figura 2.

La visión de Klein de la geometría fue más amplia todavía. Nos hemos preocupado por qué geometrías son posibles cuando las figuras se dibujan en cualquier parte del plano, pero supongamos por ejemplo que sólo se nos permite dibujar dentro de algún disco D. Debe quedar claro que podemos construir «geometrías de D» exactamente de la misma manera en que construimos geometrías del plano: dado un grupo \mathcal{H} de transformaciones de D en sí mismo, la geometría correspondiente es el estudio de los invariantes de \mathcal{H}. Sin duda existen tales grupos, basta considerar el conjunto de todas las rotaciones en torno al centro de D.

El lector puede sentir que la discusión anterior es un caso crónico de generalización matemática «tan sutil como inútil». Nada podría estar más lejos de la verdad! Más adelante veremos, muy naturalmente, cómo considerar un grupo particularmente interesante de transformaciones de un disco en sí mismo. La geometría no euclidiana resultante se llama geometría hiperbólica o lobachevskiana. Lejos de ser inútil, esta geometría ha demostrado ser una herramienta muy poderosa en diversas áreas de la matemática, y las ideas que continúa ofreciendo se encuentran a la vanguardia de la investigación contemporánea.

(*) Aquí \mathcal{G} es el grupo de proyecciones. Si hacemos un dibujo en perspectiva de las figuras en el plano, entonces el mapeo de ese plano al plano «lienzo» se llama perspectiva. Una proyección se define entonces como cualquier secuencia de perspectivas.

(**) En configuraciones más abstractas, es necesario añadir un cuarto requisito de asociatividad, es decir, \mathcal{A}\circ(\mathcal{B}\circ\mathcal{C})=(\mathcal{A}\circ\mathcal{B})\circ\mathcal{C}. Por supuesto, para las transformaciones es automáticamente cierto.


Fuente bibliográfica:

  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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