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Posts Tagged ‘René Descartes’

François Viète, junto con Pierre de Fermat, René Descartes y Blaise Pascal, fue uno de los principales fundadores de las matemáticas europeas. Se le conoce como el “padre del álgebra” debido a su introducción de tantos conceptos y notaciones importantes que todavía están en uso. Sin embargo, su trabajo matemático no se limitó al álgebra, sino que también contribuyó con la geometría, la trigonometría y el análisis.

Viète nació en 1540 en Fontenay-le-Comte, una ciudad en la provincia de Poitou, Francia. Su padre, Étienne Viète, era abogado en Fontenay-le-Comte, y su madre era Marguerite Dupont. Viète siguió la profesión de su padre y se graduó con una licenciatura en derecho de la Universidad de Poitiers en 1560. Durante cuatro años siguió una carrera legal antes de abandonarla para dedicarse a la ciencia y la matemática. Viète se convirtió en tutor de la hija de un noble en la ciudad de La Rochelle.

En los años siguientes, las guerras de religión francesas continuaron causando furor entre los católicos romanos y los protestantes. Viète era un hugonote, y naturalmente se alió con los protestantes. Más tarde en su vida se convirtió en víctima de persecución religiosa. Antes de 1570, cuando se fue de La Rochelle a París, trabajó en varios temas de matemática y ciencias, y publicó su primer trabajo matemático, el Canon Mathematicus seu ad triangular, en 1571. Este libro fue diseñado para proporcionar material matemático introductorio pertinente al área de la astronomía; incluía varias tablas trigonométricas, así como técnicas para estudiar triángulos planos y esféricos. Aquí, Viète primero da una notación para las fracciones decimales siendo un precursor de las notaciones modernas. La notación, especialmente en esta etapa inmadura en la historia de la matemática, era tremendamente importante para el avance del conocimiento, ya que daba un lenguaje conveniente y apropiado para expresar ideas sutiles. Podría decirse que la buena notación sigue siendo de vital importancia para las matemáticas abstractas modernas. Un ejemplo destacado de este punto es el sistema de números arábigos, que es esencialmente una notación que ha facilitado enormemente el cálculo y la teoría de números; otro ejemplo son las notaciones de ecuaciones algebraicas (con exponentes para potencias de cantidades desconocidas y letras para designar variables o constantes) introducidas en gran parte por el propio Viète.

En 1572, el rey Carlos IX autorizó la masacre de los hugonotes, pero Viète escapó y fue nombrado consejero del gobierno de Bretaña en 1573. En los años posteriores de inestabilidad política trabajó para Enrique III y, después de su asesinato, para Enrique IV. Viète fue nombrado primer consejero real de Enrique III en 1580 pero, después del ascenso del poder católico en París, fue desterrado en 1584 por su fe protestante. Pasó los siguientes cinco años en Beauvoir-sur-Mer, dedicándose a actividades matemáticas.

Enfocó sus labores iniciales en la astronomía, pues deseaba publicar un libro importante, que se convertiría en su Ad harmonicon coeleste, sobre astronomía. Esto nunca se completó, pero cuatro versiones manuscritas han sobrevivido a los estragos del tiempo. Estos manuscritos muestran que Viète se preocupaba principalmente por la geometría y las teorías planetarias de Copérnico y Claudio Ptolomeo.

En 1588, los católicos obligaron a Enrique III a huir de París, y instaron a Viète para que lo acompañara en el exilio. Viète fue nombrado miembro del parlamento del rey en su gobierno en Tours. Un fraile católico asesinó a Enrique III en 1589, y Viète entró al servicio del heredero, Enrique IV. Enrique IV, anteriormente protestante, se basó en gran medida en las habilidades de Viète, quien finalmente decodificó las transmisiones secretas del rey de España, que estaba tramando una invasión de Francia. Es interesante señalar que el rey español Felipe II, confiado en su cifrado, creyó que el conocimiento francés de sus planes militares se logró mediante magia negra. En este caso, fue la matemática en lugar de la brujería quien contribuyó en la tarea.

Estos eventos tuvieron lugar en 1590, y Viète, por su parte, dio conferencias en Tours. Éstas trataron varios supuestos avances en matemática, por ejemplo, había por entonces una prueba de que el círculo podía cuadrarse, y Viète demostró que estos argumentos eran erróneos. Quizás muestra una debilidad de carácter en él que se convirtiera al catolicismo romano en 1593, siguiendo el ejemplo de su señor, que probablemente se convirtió por razones políticas. Como resultado, Viète regresó a París.

Poco después, Viète participó en una competencia con el matemático holandés Adriaan von Roomen, quien planteó un problema que involucraba una ecuación de grado 45. Viète resolvió este problema y planteó una pregunta geométrica propia. Como resultado de este intercambio, surgió una amistad entre Roomen y Viète. Este último  continuó al servicio del rey hasta su despido en 1602. Murió el 13 de diciembre de 1603 en París, Francia.

Viète es considerado el fundador preeminente del álgebra. Por supuesto, hay numerosos matemáticos árabes (sin mencionar a los griegos) que hicieron contribuciones fundamentales al dar forma a las concepciones de lo que constituye la aritmética (por ejemplo, la introducción del número cero y los números negativos). Sin embargo, Viète ciertamente produjo el primer sistema algebraico completo con una notación consistente. En Introduction to the Analytic Art, publicado en Tours en 1591, Viète usó símbolos alfabéticos familiares para designar variables y constantes, usando vocales para incógnitas y consonantes para cantidades conocidas. Más tarde, Descartes introdujo la convención de que las letras del final del alfabeto deberían designar incógnitas, mientras que las letras del principio del alfabeto debían indicar cantidades conocidas. Sin embargo, Viète hizo una defensa convincente de su sistema de notación; la literatura anterior sobre ecuaciones algebraicas se basaba en expresiones inconvenientes, y con frecuencia las ecuaciones se describían con oraciones en lugar de símbolos abstractos. El uso de símbolos facilitó el cómputo.

Viète hizo poco uso de la matemática árabe, prefiriendo el estilo de los algebraistas italianos como Girolamo Cardano. Debería haber investigado los escritos árabes con más cuidado, ya que muchas de las ideas que presentó ya eran conocidas por los árabes. Sin embargo, Viète estableció un marco algebraico superior para los matemáticos europeos. Además, desarrolló la teoría de las ecuaciones algebraicas, aunque todavía adjuntaba una interpretación geométrica a las cantidades, como lo hacían los griegos. En esencia, esto limitaba los tipos de ecuaciones que podía examinar (por ejemplo, ecuaciones homogéneas). El siguiente nivel de abstracción algebraica fue iniciado por la siguiente generación, incluidos Descartes y Fermat. Sin embargo, la anotación de Viète para las ecuaciones algebraicas fue adoptada con ajustes menores por estos sucesores. Uno puede medir su influencia observando que el término coeficiente para la constante conocida que multiplica una variable desconocida se debe a Viète.

Además del trabajo estrictamente algebraico, Viète también investigó sobre análisis, geometría y trigonometría. Produjo métodos numéricos tempranos para resolver ecuaciones algebraicas, dio una nueva aproximación decimal para pi (así como una caracterización infinita del producto) y presentó métodos geométricos para duplicar el cubo y trisecar un ángulo.

El trabajo matemático de Viète es claramente parte de un movimiento intelectual de Arabia a Italia a Francia, y sus ideas dependían de varios contemporáneos, así como de sus predecesores, como Cardano y Leonardo Fibonacci. Pero su sistema algebraico representa la siguiente etapa en el pensamiento matemático sobre el álgebra, ya que proporcionó una base para futuras exploraciones y generalizaciones. A pesar de que se consideraba a sí mismo como un aficionado (y, de hecho, carecía de formación formal en matemáticas), pudo hacer contribuciones intelectuales que afectarían un cambio de paradigma en los círculos matemáticos.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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Bertrand Russell fue una de las personalidades matemáticas más coloridas del siglo XX, y se encuentra entre los lógicos más importantes de la era moderna. Creía en el potencial de que toda la matemática se redujera a la lógica y ejerció mucho esfuerzo para validar este paradigma. Russell también fue un activo filósofo y revolucionario social, aplicando sus ideas lógicas a la ciencia, la ética y la religión.

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Bertrand Russell nació el 18 de mayo de 1872 en Ravenscroft, Gales. Era nieto de lord John Russell. Su madre y su padre murieron en 1874 y 1876, respectivamente, por lo que sus abuelos lo criaron. Este abuelo había servido dos veces como primer ministro bajo la reina Victoria, pero murió en 1878 y su abuela continuó con la educación del niño. Recibió educación privada al principio, y luego fue instruido en el Trinity College, en Cambridge, donde obtuvo los primeros logros en la matemática.

Russell se convirtió en académico, y finalmente fue elegido miembro de la Royal Society en 1908. Pasó sus primeros años en su programa centrado en la lógica, creyendo que toda la matemática podía reducirse a afirmaciones lógicas. En este sentido, era seguidor de Friedrich Ludwig Gottlob Frege, quien tenía una filosofía similar. El trabajo de Russell de 1910 sobre los Principia Mathematica, escrito junto con Alfred North Whitehead, estableció que las pruebas matemáticas podrían reducirse a pruebas lógicas. Los primeros volúmenes de este trabajo trataron sobre teoría de conjuntos, aritmética y lateoría de la medida; un cuarto volumen, sobre geometría, no fue completado. Parte de este enfoque, inspirado en las ideas de Frege, fue expresar los números y otros objetos matemáticos como conjuntos de clases que comparten una propiedad común. Este ambicioso proyecto perdió fuerza en los últimos años, probablemente debido a las tendencias filosóficas que se alejan del logicismo.

Antes de los Principia, Russell adquirió fama a través de la construcción de la llamada paradoja de Russell. Formó el conjunto (conjunto A) de todos los conjuntos que tienen la propiedad de que no son miembros de sí mismos. Luego uno hace la pregunta: ¿Es A (visto como un elemento) un miembro del conjunto A? Esto no se puede resolver como verdadero o falso, ya que cualquiera de las respuestas conduce a una contradicción. Esto demostró el problema fundamental de tomar colecciones de conjuntos y suponer que dicha colección es en sí misma un conjunto. Kurt Gödel utilizará posteriormente este concepto de autorreferencia para producir sus teoremas de incompletitud. 

La solución de Russell a la paradoja fue desarrollar su teoría de tipos, principalmente desarrollada en su lógica matemática de 1908, basada en la teoría de tipos. En esto Russell describió una jerarquía de clases para la cual la idea de conjunto está especialmente definida en cada nivel. Otras resoluciones a la paradoja han resultado del debilitamiento del poder del axioma básico de comprensión formulado por George Cantor, que establece que siempre se pueden reunir objetos que comparten una propiedad común en un conjunto. La consecuencia inmediata de la paradoja fue poner en duda el programa lógico propuesto por David Hilbert, que buscaba establecer rigurosamente los fundamentos de la lógica matemática y la teoría de conjuntos. Parecía que incluso el concepto intuitivo de conjunto se proyectaba en la sombra.

Además de estas importantes contribuciones a la lógica, Russell también fue famoso por su “filosofía analítica”, que intentaba plantear cuestiones filosóficas en el riguroso marco de la lógica matemática. Por supuesto, este enfoque computacional de la filosofía tiene una larga historia, que se remonta a René Descartes y otros matemáticos.

La vida personal y pública de Russell interfirió con el avance de su carrera. Fue declarado culpable de actividad contra la guerra en 1916, y esto resultó en su despido del Trinity College. Dos años más tarde fue nuevamente condenado y sometido a una breve pena de prisión. Durante su encarcelamiento, escribió su famosa Introducción a la Filosofía Matemática (1919). Tropezó con cuatro matrimonios que estuvieron plagados de asuntos extra matrimoniales, e incluso fue despedido de un puesto de profesor en el City College de Nueva York en 1940 después de que un juez dictaminó que era moralmente incapaz. Se postuló (pero no fue elegido) para el Parlamento tres veces; se convirtió en Earl Russell en 1931 después de la muerte de su hermano. Abrió una escuela experimental con su segunda esposa a finales de los años veinte. Sus sentimientos contra la guerra ganaron una mejor aceptación en las décadas de 1950 y 1960, cuando fue reconocido como líder en el movimiento antinuclear. El manifiesto de Russell-Einstein de 1955 exigía el abandono de las armas nucleares. En 1957, Russell organizó la Conferencia Pugwash, una convención de científicos contra las armas nucleares, y se convirtió en presidente de la Campaña por el Desarme Nuclear en 1958. Russell fue arrestado nuevamente en 1961 por protestas nucleares. 

Después de una vida llena de matemática, filosofía y protesta pública, Russell murió el 2 de febrero de 1970 en Penrhyndeudraeth, Gales. Fue reconocido por sus extensas contribuciones a la literatura y la ciencia, ganando el Premio Nobel de literatura en 1950. Es mejor conocido por su paradoja y su posterior resolución a través de la teoría de tipos, pero también a través de sus investigaciones posteriores sobre el logicismo y el problema de la incompletitud estudiado por Gödel. El pensamiento de Russell ha sido enormemente influyente en la lógica, la matemática y la filosofía, así como en la ética, la religión y la responsabilidad social. 

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Pappus de Alejandría es el último de los grandes matemáticos griegos. Se le conoce principalmente por considerar ciertas preguntas geométricas que florecieron en el campo de la geometría proyectiva. Prácticamente nada se sabe de su vida personal. 

Pappus nació aproximadamente en el año 290 en Alejandría, Egipto. Las fuentes antiguas que describen las fechas de su actividad están en conflicto, pero el consenso de los estudiosos indica que estuvo activo desde 284 hasta 305, durante el reinado del emperador Diocleciano. Sin embargo, esto también puede ser demasiado temprano, ya que ahora se sabe que el Almagesto de Pappus se escribió después del año 320. Se calcula que su muerte ocurrió alrededor del 350 en Alejandría.

Al parecer, Pappus vivió en Alejandría toda su vida. Tenía una familia, ya que dedica uno de sus libros a su hijo Hermodorus. También habla sobre su amigo filósofo Heirius, y parece que Pappus dirigió una escuela en Alejandría.

El principal trabajo de Pappus sobre geometría se llama Colección matemática y se cree que fue escrito alrededor del año 340. Un manual de geometría diseñado para reavivar el interés en las obras clásicas, este volumen se divide en varios libros. El libro I, sobre aritmética está perdido, y el libro II trata la notación de Apolonio de Perga para expresar grandes números. El libro II analiza los medios armónicos, geométricos y aritméticos y las construcciones que los acompañan, así como algunas paradojas geométricas. En el Libro IV, Pappus trata algunas curvas especiales, como la espiral y la cuadratriz. Divide problemas geométricos en problemas planos, sólidos y lineales. El libro V describe la construcción de panales por abejas y la optimalidad del círculo para encerrar el área máxima con un perímetro mínimo. Revisa los 13 sólidos semirregulares de Arquímedes de Siracusa y demuestra los resultados que relacionan el área de la superficie y el volumen para varios tipos de sólidos. El libro VI considera el campo de la astronomía, repasando las obras de Euclides de Alejandría, Eratóstenes de Cirene y Apolonio.

El libro VII contiene el “Tesoro del análisis”, en el que Pappus expone el método de análisis y síntesis que se encuentra en las obras clásicas de Euclides y otros. Describe el análisis como un desglose de un problema en problemas más simples y relacionados; estos luego se sintetizan en la solución final. Este método de pensamiento fue distintivamente griego, y más tarde fue dominado por los matemáticos europeos que estudiaron los clásicos. Pappus también presenta el llamado problema de Pappus, que ha influido enormemente en la evolución de la geometría; René Descartes y Sir Isaac Newton, analizaron más adelante este tema de la geometría. El libro VIII trata la mecánica, que Pappus define como el estudio del movimiento y la fuerza. El trabajo en su conjunto demuestra el dominio de Pappus de muchas ciencias matemáticas, y su exposición es bastante buena.

Además de su Colección matemática, Pappus escribió varios comentarios de calidad variable, incluidos aquellos sobre el Almagesto de Claudio Ptolomeo y los Elementos de Euclides. Pappus también escribió un trabajo sobre geografía, y bien pudo haber escrito sobre música e hidrostática, pero las fuentes originales no han sobrevivido. 

Pappus fue influyente en los matemáticos europeos posteriores, ya que dio una visión perspicaz de todas las obras matemáticas griegas más antiguas. Después de leer a Pappus, un matemático podría rastrear las fuentes originales de grandes matemáticos como Euclides y Arquímedes. Sus propios descubrimientos matemáticos parecen limitados, aunque el problema de Pappus puede verse como la base de la geometría proyectiva.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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