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La matemática griega continuó su desarrollo desde la época de Euclides de Alejandría, y después de Arquímedes de Siracusa uno de los matemáticos más grandes fue Apolonio de Perga. Es conocido principalmente por sus contribuciones a la teoría de las secciones cónicas (las figuras planas obtenidas cortando un cono en varios ángulos). La fascinación en este tema, revivida en los siglos XVI y XVII, ha continuado en los tiempos modernos con el inicio de la geometría proyectiva.

Apolonio de Perga

Poca información sobre su vida se ha preservado de los estragos del tiempo, pero parece que Apolonio  floreció en algún momento entre la segunda mitad del siglo III y principios del siglo II a.C. Perga, una pequeña ciudad griega en la parte meridional de lo que ahora es Turquía, fue su ciudad de nacimiento. Apolonio vivió durante algún tiempo en Alejandría, donde pudo haber estudiado con los alumnos de Euclides, y más tarde visitó a Pérgamo y Éfeso.

Su obra más famosa, las Cónicas, se compuso a principios del siglo II a. C., y pronto se reconoció como un texto clásico. Arquímedes, que murió alrededor del año 212 a. C., parece ser el predecesor matemático inmediato de Apolonio, que desarrolló muchas de las ideas del siracusano. Las Cónicas estaba originalmente dividida en ocho libros, y se había previsto como un tratado sobre secciones cónicas. Antes del tiempo de Apolonio se conocían los fundamentos de la teoría de las secciones cónicas: las parábolas, las hipérbolas y las elipses se podían obtener cortando un cono con ángulos de vértice recto, obtuso o agudo, respectivamente. Apolonio empleó un método alternativo de construcción que implicaba cortar un doble cono en varios ángulos, manteniendo el ángulo de vértice fijo (este es el enfoque adoptado en los tiempos modernos). Este método tenía la ventaja de hacer estas curvas accesibles a la “aplicación de áreas”, una formulación geométrica de ecuaciones cuadráticas que en el tiempo moderno se expresaría algebraicamente. Es evidente que el enfoque de Apolonio fue refrescantemente original, aunque el contenido real de las Cónicas podría haber sido bien conocido. Mucha terminología, como parábola, hipérbola y elipse, se debe a Apolonio, y generaliza los métodos para generar secciones.

Cónicas contiene mucho material que ya era conocido, aunque la organización ahora estaba a tono con el método de Apolonio, que suavemente unía numerosos fragmentos de conocimiento geométrico. Se omitieron ciertos resultados elementales y se incluyeron algunos hechos novedosos. Además del material sobre la generación de secciones, Apolonio describió teoremas sobre los rectángulos contenidos por los segmentos de cuerdas de una cónica, las propiedades armónicas de las propiedades de los polos y polares, propiedades de los focos, y el locus de tres y cuatro líneas. Él discute la formación de una línea normal a una cónica, así como ciertas desigualdades de diámetros conjugados. Este trabajo, comparado con otra literatura griega, es bastante difícil de leer, ya que la falta de notación moderna hace el texto pesado, y el contenido en sí es bastante complicado. Sin embargo, el estudio persistente ha recompensado a muchos matemáticos dotados, incluyendo a Sir Isaac Newton, Pierre de Fermat y Blaise Pascal, que se inspiró enormemente en el clásico texto de Apolonio.

En la obra de Pappus de Alejandría se incluye un resumen de otras obras matemáticas de Apolonio: Secciones en una razón dada, Secciones en un área dada, Secciones determinadas, Tangencias, Inclinaciones y Lugares planos. Éstos se ocupan de varios problemas geométricos, y algunos de ellos implican la “aplicación de un área”. Utiliza el método griego de análisis y síntesis: El problema en cuestión se supone primero resuelto y una condición más fácilmente construida se deduce de la solución (“análisis”); luego, de la última construcción, se desarrolla la original (“síntesis”). Parece que Apolonio escribió incluso otros documentos, pero no se ha encontrado ningún vestigio de su contenido hasta nuestros días. Aparentemente, ideó un sistema numérico para la representación de enormes cantidades, similar al sistema de notación de Arquímedes, aunque Apolonio generalizó la idea. También hay referencias a la inscripción del dodecaedro en la esfera, al estudio de la hélice cilíndrica y un tratado general sobre los cimientos de la geometría.

Apolonio conocía todos los aspectos de la geometría griega, pero también contribuyó a la teoría euclidiana de los números irracionales y derivó aproximaciones para el número pi más precisas que las de Arquímedes. Su pensamiento incursionó también en la ciencia de la óptica, donde su profundo conocimiento de las cónicas ayudó a la determinación de diversas reflexiones causadas por espejos parabólicos y esféricos. Apolonio fue reconocido en su tiempo como el astrónomo más importante, e incluso ganó el epíteto de Epsilon, ya que la letra griega de ese nombre tiene una semejanza con la Luna. Calculó la distancia de la Tierra a la Luna como de aproximadamente 600.,000 millas, e hizo varios cálculos de las órbitas de los planetas. De hecho, Apolonio es un importante actor en el desarrollo de modelos geométricos para explicar el movimiento planetario; Hiparco de Rodas y Claudio Ptolomeo, mejorando sus teorías, llegaron al sistema ptolemaico, una hazaña de la investigación científica del mundo antiguo poseía una considerable grandeza y longevidad.

No hubo un sucesor inmediato de Apolonio, aunque sus Cónicas fueron reconocidas como un magnífico logro. Se produjeron varios comentarios simples, pero el interés disminuyó después de la caída de Roma, y ​​sólo los cuatro primeros libros siguieron traduciéndose en Bizancio. Otros tres libros de las Cónicas fueron traducidos al árabe, y los matemáticos islámicos permanecieron intrigados por su trabajo, aunque hicieron pocos avances; el libro final (el octavo) está perdido. A finales del siglo XVI y principios del XVII, varias traducciones de las Cónicas de Apolonio aparecieron en Europa y fueron estudiadas vorazmente por matemáticos franceses como René Descartes, Pierre de Fermat, Girard Desargues y Blaise Pascal. Cuando Descartes propuso su geometría analítica, que tomó un acercamiento algebraico, más bien que constructivo o geométrico, para las curvas y las secciones, el interés en el tratado clásico de Apolonio comenzó a decaer. Sin embargo, más adelante en el siglo XIX, las cónicas experimentaron una resurrección de la curiosidad con la introducción de la geometría proyectiva.

 

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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La idea esencial de Newton y Leibniz era utilizar el álgebra cartesiana para sintetizar resultados anteriores y desarrollar algoritmos que pudieran ser aplicados de manera uniforme a una amplia clase de problemas. El período de formación de las investigaciones de Newton fue 1665-1670, mientras que Leibniz trabajó unos años más tarde, en la década de 1670. Sus contribuciones difieren en su origen, el desarrollo y la influencia, y es necesario tener en cuenta cada uno por separado. En la entrada anterior  recorrimos muy brevemente el  aporte de Newton, y aquí nos dedicaremos a Leibniz.

El interés de Leibniz en la matemática se despertó en 1672 durante una visita a París, donde el matemático holandés Christiaan Huygens le presentó su trabajo sobre la teoría de curvas. Bajo la tutela de Huygens, Leibniz se sumergió en los próximos años al estudio de la matemática. Investigó las relaciones entre la suma y la diferenciación de las sucesiones finitas e infinitas de números. Después de leer las conferencias geométricas de Barrow, ideó una regla de transformación para calcular cuadraturas, obteniendo la famosa serie infinita de π/4:

\frac{\pi }{4}=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\ldots

Leibniz estaba interesado en cuestiones de lógica y de notación, de cómo construir un characteristica universalis para la investigación racional. Después de una considerable experimentación llegó a finales de la década de 1670 a un algoritmo basado en los símbolos d y \int. El primero publicó su investigación sobre el cálculo diferencial en 1684 en un artículo en el Acta Eruditorum, Nova Methodus pro Maximis et Minimis, Itemque Tangentibus,
qua nec Fractas nec Irrationales Quantitates Moratur, et Singulare pro illi Calculi Genus
. En este artículo presenta el diferencial dx, respetando las reglas d(x+y)=dx+dyd(xy)=xdy+ydx e ilustró su cálculo con unos pocos ejemplos. Dos años después publicó un segundo artículo, On a Deeply Hidden Geometry, en el cual presenta y explica el símbolo \int para la integración. Hizo hincapié en el poder de su cálculo para investigar curvas trascendentales, la misma clase de objetos “mecánicos” que Descartes había creído más allá del poder del análisis, y derivó una fórmula analítica sencilla para la cicloide.

Leibniz continuó publicando resultados sobre el nuevo cálculo en el Acta Eruditorum y comenzó a explorar sus ideas en una extensa correspondencia con otros estudiosos. En pocos años, había atraído a un grupo de investigadores para promulgar sus métodos, incluyendo a los hermanos Johann Bernoulli y Jakob Bernoulli en Basilea y al sacerdote Pierre Varignon y Guillaume-François-Antoine de l’Hospital en París. En 1700 convenció a Federico Guillermo I de Prusia para establecer la Sociedad de Ciencias de Brandenburg (más tarde rebautizada como Academia de Ciencias de Berlín), con él mismo nombrado como presidente de por vida.

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La idea esencial de Newton y Leibniz era utilizar el álgebra cartesiana para sintetizar resultados anteriores y desarrollar algoritmos que pudieran ser aplicados de manera uniforme a una amplia clase de problemas. El período de formación de las investigaciones de Newton fue 1665-1670, mientras que Leibniz trabajó unos años más tarde, en la década de 1670. Sus contribuciones difieren en su origen, el desarrollo y la influencia, y es necesario tener en cuenta cada uno por separado.

Newton, hijo de un granjero inglés, se convirtió en 1669 en profesor lucasiano en la Universidad de Cambridge. Las primeras investigaciones de Newton en matemática surgieron en 1665 de su estudio de la edición de Van Schooten de La Géométrie y la Arithmetica Infinitorum de Wallis. Usando la ecuación cartesiana de la curva, reformuló los resultados de Wallis, presentando a tal efecto sumas infinitas en las potencias de una incógnita x, ahora conocidas como series infinitas. Posiblemente bajo la influencia de Barrow, usó los infinitesimales para establecer para diferentes curvas la relación inversa de tangentes y áreas. Las operaciones de diferenciación e integración surgieron en su trabajo como procesos analíticos que podían aplicarse en general para investigar curvas.

Inusualmente sensible a preguntas de rigor, Newton, en una etapa bastante temprana, trató de establecer su nuevo método en una base sólida usando ideas de la cinemática. Consideraba a una variable como una “fluidez”, una magnitud que fluye con el tiempo. Llamó a su derivada o tasa de cambio con respecto al tiempo “fluxión”, denotándola como la variable con un punto por encima de ella. El problema básico del cálculo era  investigar las relaciones entre los fluentes y sus fluxiones. Newton terminó un tratado sobre el método de fluxiones ya en 1671, aunque no se publicó hasta 1736. En el siglo XVIII este método se convirtió en el enfoque preferido para el cálculo entre los matemáticos británicos, especialmente después de la aparición en 1742 del influyente Treatise of Fluxions de Colin Maclaurin.

Newton publicó por primera vez el cálculo en el Libro I de su gran Philosophiae Naturalis Principia Mathematica de 1687. Originado como un tratado sobre la dinámica de partículas, los Principia presentó una física inercial que combinaba la mecánica de Galileo y la astronomía planetaria de Kepler. Fue escrito a principios de la década de 1680 en un momento en que Newton estaba reaccionando contra la ciencia y la matemática de Descartes. Dejando a un lado el método analítico de fluxiones, Newton introdujo en lemas su cálculo de primera y última razones, una teoría geométrica de límites que sirvió de base matemática para su dinámica.

El uso del cálculo en los Principia de Newton se ilustra en la Proposición 11 del Libro I: si la órbita de una partícula que se mueve bajo una fuerza centrípeta es una elipse con el centro de fuerza en un foco, entonces la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde el centro. Debido a que por las leyes de Kepler se sabía que los planetas se movían en elipses con el Sol en un foco, este resultado apoyaba la ley del cuadrado inverso de la gravitación. Para establecer la proposición, Newton deriva una medida aproximada de la fuerza mediante el uso de pequeñas líneas definidas en función del radio (la línea del centro de la fuerza a la partícula) y la tangente a la curva en un punto. Este resultado expresaba geométricamente la proporcionalidad de la fuerza a la aceleración del vector. Usando las propiedades de la elipse conocidas a partir de la geometría clásica, Newton calculó el límite de esta medida y demostró que era igual a una constante multiplicada por 1 más el cuadrado del radio.

 Newton evitaba procesos analíticos en los Principia al expresar magnitudes y razones directamente en términos de cantidades geométricas, tanto finitas como infinitesimales. Su decisión de abstenerse constituye un rechazo notable por los métodos algebraicos que habían sido importantes incluso en sus primeras investigaciones sobre el cálculo. A pesar de que los Principia tuvo un valor inestimable para los mecánicos posteriores, sería reelaborado por los investigadores del continente y expresado en el lenguaje matemático del cálculo de Leibniz, el que trataremos en la próxima entrada.

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