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Posts Tagged ‘Richard Dedekind’

Los matemáticos griegos clásicos rehuyeron el estudio del infinito, tanto lo infinitamente grande como lo infinitamente pequeño (lo infinitesimal). Los infinitesimales son la piedra angular del cálculo, y muchos griegos, como Arquímedes de Siracusa, dieron los primeros pasos vacilantes hacia un descubrimiento completo del cálculo. Sin embargo, la mayoría rechazó la noción de cantidades infinitamente divisibles, como un continuo, y esta reacción se debió en gran parte a las paradojas de Zenón.

Zenón de Elea nació aproximadamente en el año 490 a.C. en Elea, Italia. Él es de ascendencia griega a pesar de su nacimiento en Italia, y es considerado en la historia miembro del grupo de filósofos griegos. Existe muy poca información confiable sobre su vida, pero se dice que su padre era Telautagoras. Zenón finalmente estudió en la escuela de filosofía de Elea, donde conoció a su maestro Parménides. La escuela eleática, fundada por Parménides, enseñó el monismo, el concepto de que todo es uno. Esta filosofía influyó en Zenón para formular varias paradojas que desafiaban los conceptos de divisibilidad infinita.

Platón afirma que Zenón y Parménides viajaron a Atenas en el 450 a.C., donde se encontraron con el joven Sócrates y discutieron filosofía con él. Antes de viajar a Atenas, Zenón ya había adquirido cierta fama a través de la publicación de un libro (que no ha sobrevivido) que contenía 40 paradojas. Estas paradojas forman una disección profundamente estimulante del concepto del continuo, perturbando así las cómodas nociones de cosas comunes como el movimiento, el tiempo y el espacio. Una de las suposiciones de Zenón es la divisibilidad: si una magnitud se puede dividir en dos, entonces se puede dividir para siempre. El trabajo de Richard Dedekind luego establecería esta propiedad de continuo para los números reales. Zenón también asumió que no existe ningún objeto de magnitud cero (no lo expresó de esta manera, ya que los griegos no tenían el cero).

En la paradoja llamada “La dicotomía”, Zenón afirma que para atravesar una distancia, primero es necesario atravesar la mitad de esa distancia; pero para llegar a la mitad, primero se requiere ir un cuarto del camino. Continuando con este razonamiento indefinidamente, Zenón concluye que comenzar es imposible y que, por lo tanto, el movimiento es imposible. Esta paradoja generalmente se resuelve sumando la serie geométrica de potencias recíprocas de dos. En “La flecha”, Zenón declara que el movimiento es imposible, porque (suponiendo que la instancia actual de tiempo “ahora” es indivisible) si una flecha se mueve cierta distancia en un instante de tiempo indivisible, entonces se movió la mitad de esa distancia en la mitad del tiempo, lo que resulta en una división del instante. Esto puede resolverse permitiendo que el tiempo sea un continuo, infinitamente divisible.

La paradoja más famosa de Zenón es la de Aquiles: establece que se ejecuta una carrera entre el héroe griego Aquiles y una tortuga, donde la lenta tortuga comienza con una ventaja. Después de un tiempo, Aquiles alcanza la mitad de la distancia intermedia. Pero la tortuga ha seguido su camino; Aquiles luego corre la mitad de la distancia restante, pero nuevamente la tortuga ha avanzado más. ¡Llevando este argumento hasta el infinito, Zenón concluye que Aquiles nunca puede ponerse al día! Esto también se puede resolver configurando una serie geométrica adecuada. Sin embargo, las resoluciones de estas paradojas se basan en ciertas nociones de infinito y propiedades del continuo. La estructura matemática detrás de estos conceptos no se desarrolló hasta muchos siglos después. Sir Isaac Newton, Gottfried Leibniz y Blaise Pascal sentaron las bases modernas del cálculo. A finales del siglo XIX, Georg Cantor, Friedrich Ludwig Gottlob Frege y Bertrand Arthur William Russell realizaron trabajos más avanzados sobre el continuo, así como las propiedades básicas de los números reales, entre otros. Por lo tanto, la influencia de Zenón fue de gran alcance, ya que hizo algunas preguntas muy profundas sobre el tiempo, el espacio y el movimiento.

Zenón murió en algún momento alrededor del año 425 a.C., y una fuente cuestionable relata que fue ejecutado después de un intento fallido de eliminar a un tirano de Elea. Aunque era filósofo, las ideas de Zenón provocaron una revolución matemática milenios después, ya que sus paradojas apuntaban a la necesidad de proporcionar una base rigurosa a los conceptos intuitivos del espacio y el tiempo. Sus paradojas sobre el movimiento demostraron las dificultades de considerar la velocidad como una distancia dividida por el tiempo, ya que esta relación parece ser cero dividida por cero cuando el tiempo transcurrido de viaje se reduce a cero; solo con el descubrimiento de límites e infinitesimales en la disciplina del cálculo diferencial se resolvió este enigma. Además de proporcionar una gran cantidad de obstáculos mentales para los intelectuales posteriores, Zenón también sirvió para inhibir el crecimiento de las matemáticas griegas para abarcar el infinito; por lo tanto, fue una influencia retardadora clásica, pero milenios más tarde se convirtió en un impulso para el desarrollo matemático.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Karl Weierstrass ha sido descrito como el padre del análisis moderno. De hecho, sus rigurosos estándares de rigor se han incorporado a la disciplina moderna del análisis, y muchos de los métodos y temas se deben a él. Weierstrass también hizo contribuciones fundamentales al análisis complejo y la teoría de las funciones elípticas.

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass nació el 31 de octubre de 1815 en Ostenfelde, Alemania. Su padre, Wilhelm Weierstrass, era un funcionario público altamente educado. La madre de Weierstrass se llamaba Theodora Vonderforst, y Weierstrass era el mayor de cuatro hijos. Cuando Weierstrass tenía ocho años su padre se convirtió en inspector de impuestos, lo que implicaba una constante reubicación. En 1827 murió su madre.

La familia se estableció en 1829 cuando el padre de Weierstrass consiguió un puesto más permanente en Paderborn, y Weierstrass asistió a la escuela secundaria local. Allí se destacó en matemática por encima de todas las materias, y desarrolló una facilidad inusual y amor por esta disciplina. Ya estaba leyendo el famoso Journal de Crelle en 1834 cuando ingresó a un programa de finanzas en la Universidad de Bonn. La carrera de finanzas no era elección de Weierstrass sino de su padre; en rebeldía y con espíritu de aflicción Weierstrass desperdició sus años universitarios con exceso de alcohol y mucho tiempo de dedicación a la esgrima. Aunque no asistía a la mayoría de sus clases, Weierstrass continuó con sus clases privadas.

En 1840, Weierstrass aprobó sus exámenes con excelentes resultados, habiendo demostrado una cierta derivación de Niels Henrik Abel a partir de una ecuación diferencial; su examinador pensó que la prueba era digna de publicación. Weierstrass pasó a enseñar en la escuela secundaria de Münster, y escribió tres artículos entre 1841 y 1842 sobre variables complejas. En estos documentos reformuló el concepto de función analítica en términos de series de potencias convergentes, en oposición al típico enfoque a través de la diferenciación. Mientras tanto, enseñó una variedad de temas, como historia, geografía e incluso gimnasia, y se aburrió por completo. La carga de trabajo era bastante pesada, porque realizaba investigaciones sobre matemática teórica en cada momento libre. Este ajetreo puede haber causado sus problemas de salud posteriores, que comenzaron en 1850: sufrió ataques de mareos, seguidos de náuseas.

Weierstrass trabajó en Brauensberg desde 1848, pero después de la publicación en 1854 de su Toward the Theory of Abelian Functions, que fue ampliamente aclamado por los matemáticos, recibió varias ofertas de universidades destacadas. Este artículo esbozaba la representación de funciones abelianas como series de potencias convergentes, y la Universidad de Königsberg le confirió un doctorado honorario en 1854. Ernst Eduard Kummer intentó conseguir un puesto para Weierstrass en la Universidad de Breslau, pero este intento fracasó. Weierstrass permaneció como profesor titular en Brauensberg hasta 1856, cuando aceptó el trabajo de sus sueños en la Universidad de Berlín. Mientras tanto, publicó un seguimiento de su artículo de 1854, que daba todos los detalles de su método de inversión de integrales hiperelípticas.

El mandato de Weierstrass en Berlín, junto con Kummer y Leopold Kronecker, convirtió a esa escuela en la meca matemática de Alemania en ese momento. Las concurridas conferencias de Weierstrass de los próximos años dan una idea de la diversidad y la profundidad de su investigación matemática: en 1856 discutió la teoría de las funciones elípticas aplicadas a la geometría y la mecánica, en 1859 abordó los fundamentos del análisis y en 1860 impartido conferencias sobre cálculo integral. Sus investigaciones produjeron una función continua que no era diferenciable en ninguna parte; la existencia de una función tan extraña destrozó la excesiva dependencia de la mayoría de los analistas en la intuición, ya que hasta ese momento los matemáticos solo podían concebir la no diferenciabilidad que ocurre en puntos aislados. El curso de Weierstrass de 1863 fundó la teoría de los números reales, un área en la que otros matemáticos como Richard Dedekind y George Cantor, también trabajarían. Él demostró que los números complejos son la única extensión algebraica conmutativa de los números reales, un resultado que Carl Friedrich Gauss declaró anteriormente pero nunca probó.

Los problemas de salud de Weierstrass continuaron y experimentó un colapso total en 1861; se tomó el año siguiente para recuperarse, pero nunca fue el mismo. A partir de ese momento, tuvo un asistente para escribir sus conferencias, y los dolores crónicos en el pecho reemplazaron su mareo.

Weierstrass organizó sus diversas conferencias en cuatro cursos principales: funciones analíticas, funciones elípticas, funciones abelianas y el cálculo de variaciones. Los cursos eran frescos y estimulantes, ya que gran parte del material era su propia investigación innovadora. Es un testimonio del legado de su estilo que los cursos modernos de análisis siguen la progresión de temas de Weierstrass, incluido el concepto de serie de potencia de una función, continuidad y diferenciabilidad y continuación analítica.

Weierstrass colaboró con Kummer y Kronecker de manera rentable durante muchos años, pero luego él y Kronecker se separaron de las ideas radicales de Cantor; Weierstrass apoyaba las ideas innovadoras de Cantor en teoría de conjuntos, pero Kronecker no podía aceptar las construcciones patológicas. Weierstrass tuvo muchos estudiantes excelentes, algunos de los cuales se convirtieron en matemáticos famosos, como Cantor, Sophus Lie y Felix Klein. Instruyó en privado a Sofia Vasilyevna Kovalévskaya, a quien no se le permitió inscribirse formalmente debido a su género. Weierstrass tuvo una gran relación intelectual con esta mujer, a quien ayudó a encontrar un puesto adecuado.

Weierstrass estaba muy preocupado por el rigor matemático. Sus altos estándares quedaron impresos para la generación siguiente y provocaron una intensiva investigación sobre los fundamentos de la matemática, como la construcción del sistema de números reales. Los estudios de convergencia de Weierstrass lo llevaron a distinguir diferentes tipos, lo que provocó la investigación en varias topologías para espacios de funciones. Estudió el concepto de convergencia uniforme, que preserva la continuidad, e ideó varias pruebas para la convergencia de series y productos infinitos. Su enfoque de publicación fue cuidadoso y metódico, por lo que sus publicaciones fueron pocas pero extremadamente profundas y exactas.

Weierstrass continuó enseñando hasta 1890. Sus últimos años se dedicaron a publicar los trabajos recopilados de Jakob Steiner y Carl Jacobi. Murió de neumonía el 19 de febrero de 1897 en Berlín, Alemania. Sus contribuciones a la matemática, en particular al análisis real y complejo, fueron extensas y de gran alcance, lo que le valió el epíteto de “padre del análisis moderno”. Su influencia también se extendió a través de la gran cantidad de estudiantes talentosos a quienes dirigió y que además desarrolló sus ideas en varias nuevas direcciones. Desde sus humildes comienzos como profesor de secundaria, Weierstrass logró grandes cosas para el campo de la matemática.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Ernst Kummer fue uno de los grandes matemáticos creativos del siglo XIX, contribuyendo a la teoría de funciones, el álgebra y la geometría. Se le atribuyen varias técnicas e ideas matemáticas, y sus esfuerzos ayudaron a avanzar en la matemática moderna. 

Ernst Kummer nació el 29 de enero de 1810, en Sorau, Alemania, hijo de Carl Gotthelf Kummer, un médico que murió en 1813, y Frederike Sophie Rothe. Kummer ingresó en la escuela secundaria de Sorau en 1819, y estudió teología protestante en la Universidad de Halle en 1828. Sin embargo, pronto comenzó a estudiar matemática, en principio como preparación para la filosofía. En 1831 recibió su doctorado, y enseñó matemática y física en el Gymnasium de Liegnitz desde 1832 a 1842. Durante este tiempo, Leopold Kronecker fue uno de sus estudiantes, y Kummer pudo fomentar su talento natural. 

Su investigación en este tiempo se centró en las series hipergeométricas introducidas por Carl Friedrich Gauss. Kummer investigó más profundamente que nadie, obteniendo varios descubrimientos notables. Los intentos fallidos de probar el Último Teorema de Fermat llevaron a Kummer a estudiar la factorización de enteros y desarrollar la teoría de los ideales. También descubrió la superficie de Kummer, una variedad de cuatro dimensiones con 16 puntos dobles cónicos y 16 planos tangentes singulares. Maestro dotado, logró inspirar a varios estudiantes a llevar a cabo investigaciones independientes. Anteriormente había enviado parte de su trabajo sobre la teoría de funciones a Carl Jacobi, quien lo ayudó a obtener una cátedra en la Universidad de Breslau en 1842. En 1840 Kummer se casó con Ottilie Mendelssohn, prima de la esposa de Peter Lejeune Dirichlet. Ocupó su cargo en Breslau hasta 1855, y allí realizó su importante trabajo sobre la teoría de números y álgebra. Kummer introdujo números ideales y factores primos ideales para demostrar un gran teorema de Pierre de Fermat. En años posteriores, Kronecker y Richard Dedekind desarrollaron aún más sus resultados iniciales. 

En 1855, Dirichlet abandonó la Universidad de Berlín para suceder a Gauss en Göttingen, y Kummer fue nombrado reemplazo de Dirichlet. En 1856, tanto Karl Weierstrass como Kronecker también habían llegado a Berlín, iniciando un período de productividad matemática en la universidad. Kummer y Weierstrass construyeron el primer seminario alemán de matemática pura en 1861, que atrajo a muchos jóvenes estudiantes. Las conferencias de Kummer, que cubrían temas como geometría analítica, mecánica y teoría de números, fueron muy concurridas debido a su excelente exposición. 

Kummer fue bendecido con una inmensa cantidad de energía. Enseñó simultáneamente en la Kriegsschule de 1855 a 1874, fue secretario de la sección matemática de la Academia de Berlín de 1863 a 1878, y se desempeñó varias veces como decano y rector de la Universidad de Berlín. Durante esta última fase de su carrera, Kummer se centró en la geometría, con aplicaciones en sistemas de rayos y balística. Su estudio de los sistemas de rayos siguió el trabajo de Sir William Rowan Hamilton, aunque Kummer adoptó una perspectiva algebraica. En el curso de esta investigación, descubrió la llamada superficie de Kummer. Numerosos conceptos matemáticos han sido nombrados después de él. 

Cuando Kronecker y Weierstrass se separaron en la década de 1870, Kummer también podría haberse alejado de Weierstrass. Ciertamente, Kummer era política y matemáticamente conservador, evitando muchos de los nuevos desarrollos. Por ejemplo, Kummer rechazó la geometría no euclidiana por inútil. También consideraba la matemática como una ciencia pura, y creía que el atractivo de la matemática estaba en su escasez de aplicaciones. Cabe destacar que esta ha sido probablemente la opinión de los matemáticos durante la mayor parte de la historia, y solo en la era moderna surgió la opinión de que la matemática es valiosa solo si puede contribuir a la tecnología y al mejoramiento de la sociedad. 

En 1882 Kummer se retiró de su puesto, afirmando que su memoria se había debilitado. Murió el 14 de mayo de 1893 en Berlín. Tanto Gauss como Dirichlet ejercieron una gran influencia sobre el desarrollo de Kummer como matemático, y él sintió siempre un gran respeto por ambos. A pesar de su conservadurismo, Kummer pudo afectar influir en el desarrollo de la matemática a través de sus numerosos alumnos y su creatividad en bruto. Su trabajo en álgebra sobre la aritmetización de la matemática fue quizás el más importante.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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