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A reflexionar por tres

Posted in Análisis de Variable Compleja, Producción propia, tagged Movimientos directos, Movimientos opuestos, Reflexiones, Rotaciones, Teorema de las Tres Reflexiones on 5 mayo 2014| Leave a Comment »

En «Movimientos… directo u opuesto?» hemos establecido una clasificación de los movimientos del plano. A pesar de que se expresó allí que nuestra mayor preocupación se centra en los movimientos directos, podemos obtener una visión más profunda de ellos mediante el estudio de los movimientos opuestos a partir de los cuales se construyen los movimientos directos. Este será entonces el objetivo aquí. Más precisamente,

Cada movimiento directo es la composición de dos reflexiones.

Tenga en cuenta que la segunda frase dada al caracterizar un movimiento opuesto en «Movimientos… directo u opuesto?»:

Por otra parte, $\widetilde{\mathcal{M}}=(\mathcal{M}$ seguida de la

reflexión respecto de la recta $A'B'$ )

implica entonces que cada movimiento opuesto es la composición de tres reflexiones. Más brevemente, cada movimiento es la composición de dos o tres reflexiones, un resultado que se conoce como el Teorema de las Tres Reflexiones.

Hemos tratado de demostrar también en la entrada anterior que el conjunto de los movimientos forma un grupo, pero no estaba claro que cada movimiento tiene una inversa. El Teorema de las Tres Reflexiones afirma esto de forma clara y explícita, pues la inversa de una sucesión de reflexiones se obtiene invirtiendo el orden en el que se realizan las reflexiones.

En lo que sigue, sea $\mathcal{R}_{L}$ la reflexión respecto de la recta $L$ . Por lo tanto, la reflexión respecto de $L_{1}$ seguida por la reflexión respecto de $L_{2}$ se escribe como $\mathcal{R}_{L_{2}}\circ\mathcal{R}_{L_{1}}$ . Dado que «Cada movimiento directo es una rotación, o de lo contrario (excepcionalmente) una traslación», de lo enunciado anteriormente resulta que toda rotación (y toda traslación) es de la forma $\mathcal{R}_{L_{2}}\circ\mathcal{R}_{L_{1}}$ . Esto es una consecuencia inmediata de los siguientes hechos:

Si $L_{1}$ y $L_{2}$ se intersectan en $O$ , y el ángulo entre $L_{1}$ y $L_{2}$ es $\phi$ , entonces $\mathcal{R}_{L_{2}}\circ\mathcal{R}_{L_{1}}$ es una rotación de ángulo $2\phi$ alrededor de $O$ .

Si $L_{1}$ y $L_{2}$ son paralelas, y $\textbf{V}$ es el vector perpendicular que conecta $L_{1}$ con $L_{2}$ , entonces $\mathcal{R}_{L_{2}}\circ\mathcal{R}_{L_{1}}$ es una traslación por $2\textbf{V}$

Ambos resultados son bastante fáciles de demostrar directamente, pero lo que sigue quizás resulte más elegante.

En primer lugar, como $\mathcal{R}_{L_{2}}\circ\mathcal{R}_{L_{1}}$ es un movimiento directo (porque invierte ángulos dos veces), o bien es una rotación o es una traslación. En segundo lugar, debemos tener en cuenta que las rotaciones y las traslaciones pueden ser distinguidas por sus curvas invariantes, es decir, las curvas que se mapean a sí mismas. Para una rotación alrededor de un punto $O$ , las curvas invariantes son los círculos centrados en $O$ , mientras que para una traslación son rectas paralelas a la traslación.

Ahora veamos la Figura 1. Claramente $\mathcal{R}_{L_{2}}\circ\mathcal{R}_{L_{1}}$ deja invariante cualquier círculo con centro en $O$ , por lo que es una rotación alrededor de $O$ . Para ver que el ángulo de la rotación es $2\phi$ , consideremos la imagen $P'$ de cualquier punto $P$ en $L_{1}$ . Listo!!!

Figura 1

Ahora miremos la Figura 2. Claramente $\mathcal{R}_{L_{2}}\circ\mathcal{R}_{L_{1}}$ deja invariante cualquier recta perpendicular a $L_{1}$ y $L_{2}$ , por lo que es una traslación paralela a dichas rectas. Para ver que la traslación es de $2\textbf{V}$ , consideremos la imagen $P'$ de cualquier punto $P$ en $L_{1}$ . Listo!!!

Figura 2

Tenga en cuenta que una rotación de ángulo $\theta$ se puede representar como $\mathcal{R}_{L_{2}}\circ\mathcal{R}_{L_{1}}$ , donde $L_{1}$ , $L_{2}$ es cualquier par de rectas que pasan a través del centro de rotación y que contienen un ángulo $(\theta/2)$ . Del mismo modo, una traslación por $\textbf{T}$ corresponde a cualquier par de rectas paralelas separadas $\textbf{T}/2$ . Esta circunstancia da un método muy elegante para componer rotaciones y traslaciones.

Por ejemplo, consideremos la Figura 3. Aquí una rotación alrededor de $a$ con ángulo $\theta$ está siendo representada como $\mathcal{R}_{L_{2}}\circ\mathcal{R}_{L_{1}}$ , y una rotación alrededor de $b$ de ángulo $\phi$ se representa como $\mathcal{R}_{L'_{2}}\circ\mathcal{R}_{L'_{1}}$ .

Figura 3

Para encontrar el efecto neto de rotar alrededor de $a$ y luego alrededor de $b$ , elegimos $L_{2}=L'_{1}$ como la recta a través de $a$ y $b$ . Si $\theta+\phi\neq2\pi$ , entonces $L_{1}$ y $L'_{2}$ se cortarán en algún punto $c$ , como en la Figura 4. Por lo tanto la composición de las dos rotaciones está dada por

$(\mathcal{R}_{L'_{2}}\circ\mathcal{R}_{L'_{1}}.)\circ(\mathcal{R}_{L_{2}}\circ\mathcal{R}_{L_{1}})=\mathcal{R}_{L'_{2}}\circ\mathcal{R}_{L_{1}},$

que es una rotación en torno a $c$ de ángulo $(\theta+\phi)$ !!!

Figura 4

Información más detallada del Teorema de las Tres Reflexiones puede encontrarse en el libro Geometry of Surfaces de John Stillwell.

Fuente bibliográfica:

Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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Geometría asistida por complejos

Posted in Análisis de Variable Compleja, Producción propia, tagged Funciones complejas, Geometría, Números complejos, Rotaciones, Traslaciones on 24 marzo 2014| Leave a Comment »

Tener habilidad en el trabajo con números complejos se constituye en una ventaja al momento de demostrar muchas propiedades geométricas. Veamos algunos ejemplos concretos a continuación.

En la Figura 1 hemos construido cuadrados en los lados de un cuadrilátero arbitrario. Veamos lo que sugiere esta imagen: los segmentos lineales que unen los centros de cuadrados opuestos son perpendiculares y de igual longitud. Se requeriría una gran cantidad de ingenio para encontrar una demostración puramente geométrica de este resultado sorprendente, así que en vez de confiar en nuestra propia inteligencia, invoquemos la inteligencia de los números complejos!

Figura 1 – Clic sobre la imagen para escenario de exploración

Introduciendo un factor $2$ por conveniencia, sean $2a$ , $2b$ , $2c$ , y $2d$ números complejos que se desplazan a lo largo de los lados del cuadrilátero. La única condición es que el cuadrilátero sea cerrado, es decir, que

$a+b+c+d=0.$

Como se ilustra, elegimos el origen de $\mathbb{C}$ como el vértice donde comienza $2a$ . Para llegar al centro $p$ del cuadrado construido en ese lado, vamos a lo largo de $a$ , y luego nos desplazamos una distancia igual en ángulo recto a $a$ . Por lo tanto, como $ia$ rota a $a$ respecto de un ángulo recto, $p=a+ia=(1+i)a$ . Del mismo modo,

$q=2a+(1+i)b,\quad r=2a+2b+(1+i)c,\quad s=2a+2b+2c+(1+i)d.$

Los números complejos $A=s-q$ (de $q$ a $s$ ) y $B=r-p$ (de $p$ a $r$ ) están por lo tanto dados por

$A = (b + 2c + d) + i(d-b)$

$B = (a + 2b + c) +i(c-a).$

Queremos demostrar que $A$ y $B$ son perpendiculares y de igual longitud. Estas dos afirmaciones se pueden combinar en el único enunciado complejo $B = iA$ , que dice que $B$ es $A$ rotado por $(\pi/2)$ . Para finalizar la demostración, tengamos en cuenta que esto es lo mismo que decir que $A + iB = 0$ , cuya verificación se trata de un simple cálculo rutinario:

$A + iB = (a + b + c + d) + i (a + b + c + d) = 0.$

Como un primer paso hacia una explicación puramente geométrica del resultado de la Figura 1, consideremos la Figura 2.

Figura 2 – Clic sobre la imagen para abrir el escenario de exploración

Aquí los cuadrados se han construido en dos lados de un triángulo arbitrario y, como sugiere la imagen, los segmentos lineales de sus centros al punto medio $m$ del lado restante son perpendiculares y de igual longitud. La Figura 1 puede ser rápidamente deducida de la Figura 2 (lo que se basa en el artículo de Finney de título Dynamic Proofs of Euclidean Theorems [1970]). Este último resultado puede, por supuesto, ser demostrado de la misma manera que arriba, pero en su lugar consideraremos un argumento puramente geométrico.

Para ello tomaremos un desvío interesante, investigando las traslaciones y las rotaciones del plano en términos de funciones complejas. En realidad, este «desvío» es mucho más importante que el rompecabezas geométrico al que aplicaremos los resultados.

Sea $T_{v}$ una traslación del plano por $v$ , de modo que un punto cualquiera $z$ se mapea en $T_{v}(z)=z+v$ . La Figura 3 muestra el efecto de la traslación en un triángulo.

Figura 3 – Clic sobre la imagen para ir al escenario de exploración

La inversa de $T_{v}$ , escrita como $T_{v}^{-1}$ , es la transformación que deshace el movimiento anterior; más formalmente, $T_{v}^{-1}$ se define por $T_{v}^{-1}\circ T_{v}=I=T_{v}\circ T_{v}^{-1}$ , donde $I$ es la transformación «que no hace nada» (llamada identidad), es decir, que mapea cada punto en sí mismo: $I(z)=z$ . Claramente, $T_{v}^{-1}=T_{-v}$ .

Si aplicamos $T_{v}$ seguida por otra traslación $T_{w}$ , entonces el mapeo compuesto $T_{w}\circ T_{v}$ del plano es otra traslación:

$T_{w}\circ T_{v}(z)=T_{w}(z+v)=(z+v)+w=z+(w+v)=T_{w+v}(z).$

Figura 4 – Clic sobre la imagen para abrir el escenario de exploración

Sea $R_{a}^{\theta}$ una rotación del plano respecto de un ángulo $\theta$ alrededor del punto $a$ . Por ejemplo, $R_{a}^{\phi}\circ R_{a}^{\theta}=R_{a}^{\theta+\phi}$ , y $\left(R_{a}^{\theta}\right)^{-1}=R_{a}^{-\theta}$ . Como un primer paso hacia expresar rotaciones como funciones complejas, notemos que la interpretación geométrica de la multiplicación de números complejos:

«la multiplicación por un número complejo $A=R\angle\phi$ es una rotación del plano a través de un ángulo $\phi$ , y una expansión del plano por el factor $R$ «

dice que una rotación alrededor del origen puede ser escrita como $R_{0}^{\theta}=e^{i\theta}z$ .

Como se muestra en la Figura 5, la rotación general $R_{a}^{\theta}$ puede llevarse a cabo mediante la traslación de $a$ hasta $0$ , seguida de una rotación de ángulo $\theta$ alrededor de $0$ , y a continuación la traslación de $0$ de nuevo a $a$ :

$R_{a}^{\theta}=\left(T_{a}\circ R_{0}^{\theta}\circ T_{a}^{-1}\right)(z)=e^{i\theta}(z-a)+a=e^{i\theta}z+k,$

donde $k=a(1-e^{i\theta})$ .

Figura 5 – Clic sobre la imagen para seguir el paso a paso

Por lo tanto nos encontramos con que una rotación alrededor de cualquier punto se puede expresar también como una rotación alrededor del origen seguida de una traslación: $R_{a}^{\theta}=(T_{k}\circ R_{0}^{\theta})$ . Recíprocamente, una rotación de ángulo $\alpha$ alrededor del origen seguida de una traslación por $v$ siempre se puede reducir a una sola rotación:

$T_{v}\circ R_{0}^{\alpha}=R_{c}^{\alpha},$

donde

$c=v/(1-e^{i\alpha}).$

De la misma manera, se puede comprobar fácilmente que si realizamos la traslación antes que la rotación, la transformación neta puede volver a llevarse a cabo mediante una sola rotación: $R_{0}^{\theta}\circ T_{v}=R_{p}^{\theta}$ . ¿Quién es $p$ ?

Los resultados obtenidos no son por cierto geométricamente evidentes [intente demostrarlos], y sirven para ilustrar el poder de pensar las traslaciones y las rotaciones como funciones complejas. Como un ejemplo adicional, consideremos el efecto neto de efectuar dos rotaciones alrededor de diferentes puntos. Representando las rotaciones como funciones complejas, un cálculo fácil nos dice que

$\left(R_{b}^{\phi}\circ R_{a}^{\theta}\right)(z)=e^{i(\phi+\theta)}z+v,$

donde

$v=a e^{i\phi}(1-e^{i\theta})+b(1-e^{i\phi}).$

A menos que $(\theta+\phi)$ sea un múltiplo de $2\pi$ , el párrafo anterior nos dice entonces que

$R_{b}^{\phi}\circ R_{a}^{\theta}=R_{c}^{(\theta+\phi)}$

donde

$c=\frac{v}{1-e^{i(\theta+\phi)}}=\frac{a e^{i\phi}(1-e^{i\theta})+b(1-e^{i\phi})}{1-e^{i(\theta+\phi)}}.$

[¿Cuánto debe valer $c$ si $b = a$ o si $\phi=0$ ? Compruebe la fórmula.] Este resultado se ilustra en la Figura 6.

Figura 6

Si, por otro lado, $(\theta+\phi)$ es un múltiplo de $2\pi$ , entonces $e^{i(\theta+\phi)}=1$ , y

$R_{b}^{\phi}\circ R_{a}^{\theta}=T_{v},$

donde

$v=(1-e^{i\phi})(b-a).$

Por ejemplo, tomando $\theta=\phi=\pi$ , esto predice que $R_{b}^{\pi}\circ R_{a}^{\pi}=T_{2(b-a)}$ es una traslación por el doble del número complejo que conecta el primer centro de rotación con el segundo. Que esto es cierto se puede deducir directamente de la Figura 7.

Figura 7

El resultado anterior de la composición de dos rotaciones implica lo siguiente:

Sea $M=R_{a_{n}}^{\theta_{n}}\circ\cdots\circ R_{a_{2}}^{\theta_{2}}\circ R_{a_{1}}^{\theta_{1}}$ la composición de $n$ rotaciones, y sea $\Theta=\theta_{1}+\theta_{2}+\cdots+\theta_{n}$ la cantidad total de la rotación. En general, $M=R_{c}^{\Theta}$ (para algún $c$ ), pero si $\Theta$ es un múltiplo de $2\pi$ entonces $M = Tv$ , para algún $v$ .

Retornando a nuestro problema original, ahora podemos dar una elegante explicación geométrica del resultado en la Figura 2. Refiriéndonos a la Figura 6, sea $M=R_{m}^{\pi}\circ R_{p}^{(\pi/2)}\circ R_{s}^{(\pi/2)}$ . Según el resultado ya obtenido, $M$ es una traslación. Para averiguar qué traslación, sólo necesitamos descubrir el efecto de $M$ en un solo punto. Claramente, $M (k) = k$ , así que $M$ es la traslación nula, es decir, la transformación identidad $I$ . Así

$R_{p}^{(\pi/2)}\circ R_{s}^{(\pi/2)}=\left(R_{m}^{\pi}\right)^{-1}\circ M=R_{m}^{\pi}.$

Figura 8

Si definimos $s'=R_{m}^{\pi}(s)$ entonces $m$ es el punto medio de $ss'$ . Pero, por otra parte,

$s'=\left(R_{p}^{(\pi/2)}\circ R_{s}^{(\pi/2)}\right)(s)=R_{p}^{(\pi/2)}(s).$

Por lo tanto, el triángulo $sps'$ es isósceles y tiene un ángulo recto en $p$ , por lo que $sm$ y $pm$ son perpendiculares y de igual longitud. Así hemos logrado demostrar la conclusión extraída de la Figura 2.