Serie geométrica | Blog de Matemática y TIC's

Posts Tagged ‘Serie geométrica’

Cuando reordenar trae lío

Posted in Análisis Real, Producción propia, tagged Serie geométrica, Series infinitas on 7 abril 2015| Leave a Comment »

Consideremos la serie infinita

$\displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\cdots.$

Si ingenuamente comenzamos sumando desde el lado izquierdo, obtenemos una sucesión llamada sumas parciales. En otras palabras, sea $s_{n}$ igual a la suma de los primeros $n$ términos de la serie, de manera que $s_{1} = 1$ , $s_{2} = 1/2$ , $s_{3} = 5/6$ , $s_{4} = 7/12$ , y así sucesivamente. Una observación inmediata es que las sucesivas sumas oscilan en un espacio cada vez más estrecho. Las sumas impares decrecen ( $s_{1}> s_{3}> s_{5}>\ldots$ ), mientras que las sumas pares aumentan ( $s_{2} <s_{4} <s_{6} <\ldots$ ).

Parece razonable –y pronto lo demostraremos– que la sucesión $(s_{n})$ eventualmente se acerca a un valor, llamémoslo $S$ , en el que las sumas parciales pares e impares «se reúnen». En este momento, no podemos calcular $S$ exactamente, pero sabemos que cae en algún lugar entre $7/12$ y $5/6$ . La suma de unos pocos cientos de términos revela que $S\approx 0,69$ . Cualquiera que sea su valor, ahora hay una tentación abrumadora de escribir

$\displaystyle S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\cdots$

lo que significa, tal vez, que si pudiéramos efectivamente sumar toda esta cantidad infinita de números, la suma sería igual a $S$ . Un ejemplo más familiar de una ecuación de este tipo podría ser

$\displaystyle 2=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\cdots,$

la única diferencia es que en la segunda ecuación tenemos un valor más reconocible para la suma.

Pero ahora llega el quid de la cuestión. Los símbolos $+$ , $-$ y $=$ en las ecuaciones anteriores son nociones engañosamente conocidas que se utilizan de una manera muy poco familiar. La pregunta crucial es si las propiedades de la suma y la igualdad que son bien comprendidas para sumas finitas siguen siendo válidas cuando se aplican a objetos infinitos, como las mostradas arriba. La respuesta, como estamos a punto de presenciar, es un tanto ambigua.

Tratando la ecuación

$\displaystyle S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\cdots$

de manera algebraica estándar, vamos a multiplicar por $1/2$ y sumar el resultado de nuevo a la ecuación arriba):

Ahora, miremos cuidadosamente el resultado. La suma arriba consiste precisamente de los mismos términos que la ecuación de partida, sólo que en un orden diferente. Específicamente, estamos ante un reordenamiento de la serie original, donde se listan los dos primeros términos positivos $(1 + \frac{1}{3})$ seguidos por el primer término negativo $(-\frac{1}{2})$ , seguido por los próximos dos términos positivos $(\frac{1}{5}+\frac{1}{7})$ y luego el siguiente término negativo $(-\frac{1}{4})$ . Continuando con esto, es evidente que cada término en la serie resultante aparece en la serie original, y viceversa. El quiebre viene cuando nos damos cuenta de que la última ecuación asegura que la suma de este reordenamiento, y no alterado de otro modo, de números es igual a $3/2$ de su valor original. De hecho, la adición de unos pocos cientos de términos de esta ecuación produce sumas parciales en la vecindad de $1,03$ . La adición, en esta configuración infinita, no es conmutativa!!!

Echemos un vistazo a un reordenamiento similar de la serie

$\displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}(-1/2)^{n}.$

Esta serie es geométrica con primer término $1$ y la razón común $r=-1/2$ . Utilizando la fórmula $1 / (1 - r)$ para la suma de una serie geométrica, obtenemos

$\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\frac{1}{16}-\frac{1}{32}+\frac{1}{64}-\frac{1}{128}+\frac{1}{256}\cdots=\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{2}{3}.$

Esta vez, un poco de experimentación computacional con el reordenamiento «dos positivos, uno negativo»

$\displaystyle 1+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}-\frac{1}{8}+\frac{1}{256}+\frac{1}{1024}-\frac{1}{32}\cdots$

produce sumas parciales bastante cercanas a $2/3$ . La suma de los primeros $30$ términos, por ejemplo, es igual a $0,666667$ . La adición infinita es conmutativa en algunos casos pero no en otros!!!

Una interesante caja de sorpresas, no crees?

Son las patologías lo que dan lugar a la necesidad de rigor. Una resolución satisfactoria a estas cuestiones requiere que seamos absolutamente precisos acerca de lo que entendemos cuando manipulamos estos objetos infinitos. Puede parecer que el progreso es lento al principio, pero eso es porque no queremos caer en la trampa de dejar que los prejuicios de nuestra intuición corrompan nuestros argumentos. Las pruebas rigurosas están destinadas a ser un chequeo de nuestra intuición, y al final veremos que en realidad mejoran nuestra imagen mental del infinito matemático.

Como último ejemplo, consideremos la posibilidad de algo tan fundamental como intuitivo como es la propiedad asociativa de la suma aplicada a la serie $\sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n}$ . La agrupación de los términos de una forma da

$(-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + \cdots = 0 + 0 + 0 + 0 + \cdots = 0,$

mientras que la agrupación de otra manera da

$-1 + (1-1) + (1-1) + (1-1) + (1-1)+\cdots = -1+0+0+0+0+\cdots = -1.$

Las manipulaciones que son legítimas en escenarios finitos no siempre se extienden a escenarios infinitos. Decidir cuándo lo hacen y por qué es uno de los temas centrales del análisis, y lo que lo torna una rama fascinante de la matemática.

Referencias bibliográficas:

Abbott, Stephen (2010) Understanding Analysis. Springer.

Read Full Post »

Un misterio detrás de las series reales de potencias

Posted in Análisis de Variable Compleja, Producción propia, tagged Números complejos, Números reales, Radio de convergencia, Serie geométrica, Series de potencias on 4 julio 2014| Leave a Comment »

Varias funciones reales $f(x)$ pueden ser expresadas (por ejemplo mediante el Teorema de Taylor) como una serie de potencias:

$f(x)=\displaystyle\sum^{\infty}_{j=0}a_{j}x^{j}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots$

donde los $a_{j}$ son constantes reales. Por supuesto, esta serie infinita normalmente será convergente a $f(x)$ sólo en algún intervalo de convergencia centrado en el origen $-R<x<R$ . La pregunta es… ¿cómo determinamos el valor de $R$ , llamado el radio de convergencia, para una determinada $f(x)$ ?

Esta pregunta tiene una respuesta muy simple si la planteamos en el contexto del campo complejo, en tanto que si nos restringimos a la recta real, como sucedía en la época en que estas series comenzaron a transitar los escritos matemáticos, la relación entre $latex R$ y $f(x)$ se torna absolutamente misteriosa. Fue precisamente este halo de misterio lo que llevó a Cauchy, mientras investigaba la convergencia de las soluciones mediante series a la ecuación de Kepler que describe dónde se ubica un planeta en su órbita en cualquier instante, a avanzar varios pasos en el ámbito del análisis complejo.

Veamos entonces cuál era el misterio en cuestión. Consideremos las representaciones en series de potencias de las funciones

$g(x)=\displaystyle\frac{1}{1-x^{2}}$

y
$h(x)=\displaystyle\frac{1}{1+x^{2}}$

La familiar serie geométrica infinita que todos conocemos de nuestro curso de cálculo nos dice que

$\displaystyle\frac{1}{1-x}=\sum^{\infty}_{j=0}x^{j}$

si y sólo si $-1<x<1$ , de modo que inmediatamente deducimos que

$g(x)=\displaystyle\sum^{\infty}_{j=0}x^{2j}$

$h(x)=\displaystyle\sum^{\infty}_{j=0}(-1)^{j}x^{2j},$

donde ambas series tienen el mismo intervalo de convergencia}, $-1<x<1$ .

Resulta fácil entender el intervalo de convergencia de la serie para $g(x)$ si miramos el gráfico de la Figura 1. La serie se torna divergente en $x=\pm 1$ debido a que estos puntos son singularidades de la función, es decir, son lugares donde $\left|g(x)\right|$ se vuelve infinito.

Figura 1

Pero si miramos el gráfico de la Figura 2 correspondiente a $y=\left|h(x)\right|$ , no pareciera haber una razón para que la serie se quiebre en $x=\pm 1$ . Sin embargo lo hace.

Figura 2

Para comenzar a entender esto, desarrollemos estas funciones en series de potencias centradas en $x=k$ , en lugar de en el origen como lo hemos hecho. Es decir, buscamos series de la forma $\sum^{\infty}_{j=0}a_{j}X^{j}$ , con $X=x-k$ , que no es otra cosa que una medida del desplazamiento de $x$ a partir del centro $k$ .

Para determinar el desarrollo de la función $g(x)$ comencemos por generalizar el desarrollo de la serie geométrica, desarrollando ahora la función $x)$ alrededor de $k$ :

$\displaystyle\frac{1}{a-x}=\frac{1}{a-(X+k)}=\frac{1}{(a-k)}\frac{1}{\left(1-\left(\frac{X}{a-k}\right)\right)}$

de modo que

$\displaystyle\frac{1}{a-x}=\sum^{\infty}_{j=0}\frac{X^{j}}{(a-k)^{j+1}},$

si y sólo si $\left|\frac{X}{a-k}\right|<1$ , o lo que es lo mismo, $\left|X\right|<\left|a-k\right|$ .

Apliquemos ahora este resultado para obtener el desarrollo buscado de $g(x)$ . El truco es expresar el denominado como $x)(1+x)$ , descomponer la función en fracciones parciales y emplear el resultado anterior. Así,

$\displaystyle\frac{1}{1-x^{2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{-1-x}\right)=\frac{1}{2}\sum^{\infty}_{j=0}\left(\frac{1}{(1-k)^{j+1}}-\frac{1}{(-1-k)^{j+1}}\right)X^{j},$

$R=\min\left\{\left|1-k\right|,\left|1+k\right|\right\},$

es decir, $R$ es la distancia de $k$ a la singularidad más cercana de la función $g$ .

Es posible que el lector se vea tentado a estas alturas de replicar el método para determinar el desarrollo de la función $h(x)$ alrededor de $k$ , pero de inmediato vemos que las singularidades en este caso son números complejos (más precisamente, se trata de $\pm i$ ), de modo que automáticamente debemos intentar otra alternativa.

Dibujemos la recta real embebida en un plano, que identificaremos con el plano complejo $\mathbb{C}$ . Notemos que con la ayuda del Teorema de Pitágoras es fácil obtener la distancia $R$ de $k$ a los valores que anulan el denominador de la función $h$ : $R=\sqrt{1+k^{2}}$ (Véase la Figura 3.)

Figura 3

El misterio comienza a desentrañarse cuando miramos la función compleja $h_{1}(z)=1/(1+z^{2})$ , que coincide con $h(x)$ cuando restringimos los valores de $z$ al eje real del plano complejo. De hecho, $h_{1}(z)$ es la única función compleja que coincide con $h$ en la recta real (hecho que develaremos más adelante en este blog).

Mientras que la Figura 2 muestra que $h_{1}(z)$ presenta un buen comportamiento para valores reales de $z$ , es claro que $h_{1}(z)$ tiene dos singularidades en el plano complejo, tal como hemos observado. Estas han sido identificadas claramente en la Figura 3. La Figura 4 intenta hacer más transparente la situación describiendo el comportamiento de la superficie modular de $h_{1}(z)$ , donde las singularidades en $\pm i$ aparecen como «volcanes» en erupción arriba de estos puntos.

Figura 4

El misterio ha desaparecido por completo… en ambas funciones el radio de convergencia es la distancia a la singularidad más cercana.

Si intersectamos la superficie de la Figura 4 con un plano vertical que pase por el eje real tendremos la imagen de la Figura 2. Pero si imaginariamente comenzamos a desplazar el plano a lo largo del eje imaginario entonces llegaremos a un punto en el cual aparecerá algo similar al gráfico en la Figura 1. Esto no es ningún accidente fortuito, por el contrario, debemos notar que $g(x)$ es la restricción al eje real de la función $g_{1}(z)=1/(1-z^{2})$ . Como $g_{1}(z)=h_{1}(iz)$ , las funciones $g_{1}$ y $h_{1}$ son esencialmente las mismas: Si rotamos el plano con un ángulo igual a $\pi/2$ y a continuación aplicamos $h_{1}$ obtenemos $g_{1}$ . En particular entonces, la superficie modular de $g_{1}$ es simplemente la superficie de la Figura 3 rotada un ángulo igual a $\pi/2$ , por lo que los «volcanes» pasan de $\pm i$ a ubicarse en $\pm 1$ .