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Posts Tagged ‘Series de Fourier’

Cuando Gauss murió en 1855, su puesto en Göttingen fue ocupado por Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Un matemático que encontró en la presencia de Dirichlet un estímulo a la investigación fue Bernhard Riemann, y sus pocas cortas contribuciones a la matemática estuvieron entre las más influyentes del siglo. El primer trabajo de Riemann, su tesis doctoral (1851) sobre teoría de funciones complejas, proporcionó las bases para un tratamiento geométrico de las funciones de una variable compleja. Su principal resultado garantizaba la existencia de una amplia clase de funciones complejas que satisfacían sólo modestos requisitos generales y así dejaba claro que se podía esperar que las funciones complejas aparecieran ampliamente en la matemática. Más importante aún, Riemann logró este resultado uniendo  la teoría de funciones complejas con la teoría de las funciones armónicas y con la teoría del potencial. Las teorías de funciones complejas y armónicas eran ahora inseparables.

Riemann escribió entonces sobre la teoría de las series de Fourier y su integrabilidad. Su trabajo estaba directamente en la tradición que iba desde Cauchy y Fourier hasta Dirichlet, y marcó un paso considerable en la precisión con que se puede definir el concepto de integral. En 1854 abordó un tema que tanto interesaba a Gauss, las hipótesis que descansaban en la base de la geometría.

El estudio de la geometría siempre ha sido una de las preocupaciones centrales de los matemáticos. Era el lenguaje, y el tema principal, de la matemática griega; era el pilar de la educación elemental en el tema, y tenía un llamamiento visual obvio. Parece fácil de aplicar, porque uno puede proceder de una base de conceptos ingenuamente inteligibles. De acuerdo con las tendencias generales del siglo, sin embargo, fueron sólo los conceptos ingenuos los que Riemann eligió afinar. Lo que él propuso como base de la geometría era mucho más radical y fundamental que cualquier cosa que hubiera pasado antes.

Riemann tomó su inspiración del descubrimiento de Gauss de que la curvatura de una superficie es intrínseca, y argumentó que por lo tanto debemos ignorar el espacio euclidiano y tratar cada superficie por sí misma. Una propiedad geométrica, argumentó, era una que era intrínseca a la superficie. Para hacer geometría, bastaba tener un conjunto de puntos y una forma de medir longitudes a lo largo de curvas en la superficie. Para ello, las formas tradicionales de aplicar el cálculo al estudio de las curvas podrían ser suficientes. Pero Riemann no se detuvo en las superficies. Propuso que los geómetras estudien espacios de cualquier dimensión con este espíritu -incluso, dijo, espacios de dimensión infinita.

De este punto de vista se derivaron varias consecuencias profundas. Destronó la geometría euclidiana, que ahora se convertía en una de muchas geometrías. Permitió que la geometría de Bolyai y Lobachevsky fuera reconocida como la geometría de una superficie de curvatura negativa constante, resolviendo así dudas sobre la consistencia lógica de su trabajo. Destacó la importancia de los conceptos intrínsecos en la geometría. Ayudó a abrir el camino al estudio de espacios de muchas dimensiones. Por último, pero no menos importante, el trabajo de Riemann aseguró que cualquier investigación de naturaleza geométrica del espacio físico tuviera que ser en parte empírica. Ya no se podía decir que el espacio físico es euclidiano porque no existe sólo la geometría de Euclides. Esta comprensión finalmente destruyó cualquier esperanza de que las preguntas sobre el mundo pudieran ser contestadas por un razonamiento a priori.

 En 1857 Riemann publicó varios artículos que aplicaban sus métodos muy generales al estudio de funciones complejas en varias partes de la matemática. Uno de estos trabajos resolvió el problema sobresaliente de extender la teoría de las funciones elípticas a la integración de cualquier función algebraica. Inició la teoría de funciones complejas de varias variables y mostró cómo las ideas topológicas de Riemann eran esenciales en el estudio de funciones complejas. (En las conferencias posteriores Riemann mostró cómo el caso especial de la teoría de las funciones elípticas podría considerarse como el estudio de funciones complejas en un toro.)

En otro artículo Riemann trató la cuestión de cuántos números primos son menores que cualquier número dado x. La respuesta es una función de x, y Gauss había conjeturado sobre la base de una extensa evidencia numérica de que esta función era aproximadamente x /\ln(x). Esto resultó ser cierto, pero no fue probado hasta 1896, cuando tanto Charles-Jean de la Vallée Poussin de Bélgica como Jacques-Salomon Hadamard de Francia lo demostraron independientemente. Es notable que una pregunta sobre enteros llevó a una discusión de funciones de una variable compleja, pero conexiones similares habían sido hechas previamente por Dirichlet. Riemann tomó la expresión

\prod\left ( 1-p^{-s} \right )^{-1}=\sum n^{-s}

introducida por Euler el siglo anterior, donde el producto infinito se toma sobre todos los números primos p y la suma sobre todos los números enteros n, y lo trata como una función de s. La suma infinita tiene sentido cada vez que s es real y mayor que 1. Riemann procedió a estudiar esta función cuando s es complejo (ahora llamada la función zeta de Riemann), y no sólo ayudó a aclarar la cuestión de la distribución de los números primos sino también llevó a varias otras observaciones que los matemáticos posteriores encontrarían de interés excepcional. Una observación ha seguido eludiendo las pruebas y sigue siendo una de las mayores conjeturas en matemática: la afirmación de que los ceros no reales de la función zeta son números complejos cuya parte real es siempre igual a 1/2.

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La otra figura crucial de la época  en Francia era Joseph, barón de Fourier. Su contribución más importante se presenta en la teoría analítica del calor (1822), es decir, la teoría de la difusión del calor en cuerpos sólidos. Propuso que cualquier función podía escribirse como una suma infinita de las funciones trigonométricas seno y coseno; por ejemplo,

f(x)=a_0+a_1\sin x+a_2\sin 2x+\ldots

Expresiones de este tipo ya habían sido escritas antes, pero el tratamiento de Fourier aportaba la novedad de prestar atención a su convergencia. Él investigó la siguiente cuestión: «Dada la función f(x), ¿para qué rango de valores de x la expresión anterior suma un número finito?» Resultó que la respuesta depende de los coeficientes a_n y Fourier dio reglas para obtenerlos de la forma

a_n=\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin (nx) dx.

El trabajo de Fourier había sido enteramente correcto, haciendo posible la solución de muchos tipos de ecuaciones diferenciales y extendiendo en gran medida la teoría de la física matemática. Sin embargo, sus argumentos eran excesivamente ingenuos: después de Cauchy no estaba claro que la función f(x) \sin (n x) fuera necesariamente integrable. Cuando las ideas de Fourier fueron finalmente publicadas, se tomaron con impaciencia, pero los matemáticos más prudentes, en particular el influyente alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet, querían alcanzar las conclusiones de Fourier de manera más rigurosa. La metodología de Fourier fue ampliamente aceptada, pero las preguntas sobre su validez fueron ocupando a  los matemáticos durante el resto del siglo.

Dirichlet

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El 21 de diciembre de 1807 tuvo lugar el anuncio de un descubrimiento tan extraordinario que la distinguida audiencia convocada en el lugar (la Academia Francesa de las Ciencias) lo calificó de literalmente increíble. El francés Jean Baptiste Joseph Fourier afirmaba que cualquier función real periódica F(\theta), sin importar cuan caprichosa resultara su gráfica, podía ser descompuesta como suma de ondas sinusoidales de frecuencia cada vez más alta. En otras palabras, y considerando por razones de simplicidad un período de 2\pi, la serie de Fourier es

F(\theta)=\displaystyle\frac{1}{2}a_{0}+\sum^{\infty}_{n=1}\left(a_{n}\cos n\theta+b_{n}\sin n\theta\right),

donde

a_{n}=\displaystyle\frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_{0}F(\theta)\cos n\theta d\theta

y

b_{n}=\displaystyle\frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_{0}F(\theta)\sin n\theta d\theta.

Joseph Fourier

En el mundo de los números reales no parece haber ninguna conexión posible entre los conceptos de series de Fourier y series de Taylor, pero cuando pasamos al mundo complejo surge un hecho hermoso y notable:

Las series de Taylor y de Fourier de funciones reales no son más que dos formas diferntes de ver las series de potencias complejas.

Analicemos este enigmático enunciado por medio de un ejemplo.

Consideremos la función compleja f(z)=\displaystyle\frac{1}{1-z}. Escribiendo z=r e^{i\theta} es fácil ver que las partes real e imaginaria de f(r e^{i\theta}) están dadas por

u(r e^{i\theta})=\displaystyle\frac{1-r\cos\theta}{1+r^{2}-2r\cos\theta}

v(r e^{i\theta})=\displaystyle\frac{r\sin\theta}{1+r^{2}-2r\cos\theta}

Concentrémonos en la función v, la parte imaginaria de la función compleja f.

Si z se aleja del origen a lo largo de un rayo \theta=constante, entonces v(r e^{i\theta}) se convierte en una función sólo de r, digamos V_{\theta}(r). Por ejemplo,

V_{\pi/4}(r)=\displaystyle\frac{r}{\sqrt{2}(1+r^{2})-2r}

Si z se mueve alrededor de una circunferencia r=constante, entonces v(r e^{i\theta}) se convierte en una función sólo de \theta, digamos \tilde{V}_{r}(\theta). Por ejemplo,

\tilde{V}_{1/2}(\theta)=\displaystyle\frac{2\sin\theta}{5-4\cos\theta}

Nótese que \tilde{V}_{r}(\theta) es una función periódica de \theta con período 2\pi. La razón es simple y se aplica a cualquier \tilde{V}_{r}(\theta) resultante de una función (univaluada) f(z).

Para ver ahora la unidad de las series de Taylor y de Fourier, recordemos que (en el disco unitario) f(z)=\displaystyle\frac{1}{1-z} puede expresarse como una serie de potencias compleja convergente:

f(r e^{i\theta})=1+r e^{i\theta}+(r e^{i\theta})^{2}+\cdots

o bien

f(r e^{i\theta})=1+r(\cos\theta+i\sin\theta)+r^{2}(\cos 2\theta+i\sin 2\theta)+\cdots

En particular

v(r e^{i\theta})=r\sin\theta+r^{2}\sin 2\theta+r^{3}\sin 3\theta+\cdots

Si tomamos \theta=\pi/4 inmediatamente obtenemos la serie de Taylor para V_{\pi/4}(r):

\displaystyle\frac{r}{\sqrt{2}(1+r^{2})-2r}=V_{\pi/4}(r)=\frac{1}{\sqrt{2}}r+r^{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}r^{3}-\frac{1}{\sqrt{2}}r^{5}-r^{6}-\frac{1}{\sqrt{2}}r^{7}+\cdots

Tengamos en cuenta lo difícil que habría resultado obtener este desarrollo usando sólo números reales !!!

Si ahora tomamos r=1/2 inmediatamente obtenemos la serie de Fourier para \tilde{V}_{1/2}(\theta):

\displaystyle\frac{2\sin\theta}{5-4\cos\theta}=\tilde{V}_{1/2}(\theta)=\frac{1}{2}\sin\theta+\frac{1}{2^{2}}\sin 2\theta+\frac{1}{2^{3}}\sin 3\theta+\cdots

La ausencia de las ondas coseno en esta serie refleja correctamente el hecho de que \tilde{V}_{1/2}(\theta) es una función impar de \theta.

Esta conexión entre la serie de potencias complejas y las series de Fourier no es solamente estéticamente satisfactoria, sino que también es de índole sumamente práctica. La derivación convencional de la serie de Fourier de \tilde{V}_{1/2}(\theta) requiere evaluar integrales complicadas (ver arriba las fórmulas para a_{n} y b_{n}), mientras que aquí lo hemos logrado mediante simples manipulaciones algebraicas. De hecho, podemos ahora utilizar nuestra serie de Fourier para calcular la integral:

\displaystyle\int^{2\pi}_{0}\left(\frac{2\sin\theta\sin n\theta}{5-4\cos\theta}\right)d\theta=\frac{\pi}{2^{n}}

Sin lugar a dudas, el mundo complejo hace que muchas de nuestras tareas resulten sumamente simples.


  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

 


 

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