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Series de Fourier y variable compleja

Posted in Análisis de Variable Compleja, Historia de la Matemática, Producción propia, tagged Jean Baptiste Joseph Fourier, Series de Fourier, Series de potencias, Series de Taylor on 6 octubre 2014| 1 Comment »

El 21 de diciembre de 1807 tuvo lugar el anuncio de un descubrimiento tan extraordinario que la distinguida audiencia convocada en el lugar (la Academia Francesa de las Ciencias) lo calificó de literalmente increíble. El francés Jean Baptiste Joseph Fourier afirmaba que cualquier función real periódica $F(\theta)$ , sin importar cuan caprichosa resultara su gráfica, podía ser descompuesta como suma de ondas sinusoidales de frecuencia cada vez más alta. En otras palabras, y considerando por razones de simplicidad un período de $2\pi$ , la serie de Fourier es

$F(\theta)=\displaystyle\frac{1}{2}a_{0}+\sum^{\infty}_{n=1}\left(a_{n}\cos n\theta+b_{n}\sin n\theta\right),$

donde

$a_{n}=\displaystyle\frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_{0}F(\theta)\cos n\theta d\theta$

$b_{n}=\displaystyle\frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_{0}F(\theta)\sin n\theta d\theta.$

Joseph Fourier

En el mundo de los números reales no parece haber ninguna conexión posible entre los conceptos de series de Fourier y series de Taylor, pero cuando pasamos al mundo complejo surge un hecho hermoso y notable:

Las series de Taylor y de Fourier de funciones reales no son más que dos formas diferntes de ver las series de potencias complejas.

Analicemos este enigmático enunciado por medio de un ejemplo.

Consideremos la función compleja $f(z)=\displaystyle\frac{1}{1-z}$ . Escribiendo $z=r e^{i\theta}$ es fácil ver que las partes real e imaginaria de $f(r e^{i\theta})$ están dadas por

$u(r e^{i\theta})=\displaystyle\frac{1-r\cos\theta}{1+r^{2}-2r\cos\theta}$

$v(r e^{i\theta})=\displaystyle\frac{r\sin\theta}{1+r^{2}-2r\cos\theta}$

Concentrémonos en la función $v$ , la parte imaginaria de la función compleja $f$ .

Si $z$ se aleja del origen a lo largo de un rayo $\theta=constante$ , entonces $v(r e^{i\theta})$ se convierte en una función sólo de $r$ , digamos $V_{\theta}(r)$ . Por ejemplo,

$V_{\pi/4}(r)=\displaystyle\frac{r}{\sqrt{2}(1+r^{2})-2r}$

Si $z$ se mueve alrededor de una circunferencia $r=constante$ , entonces $v(r e^{i\theta})$ se convierte en una función sólo de $\theta$ , digamos $\tilde{V}_{r}(\theta)$ . Por ejemplo,

$\tilde{V}_{1/2}(\theta)=\displaystyle\frac{2\sin\theta}{5-4\cos\theta}$

Nótese que $\tilde{V}_{r}(\theta)$ es una función periódica de $\theta$ con período $2\pi$ . La razón es simple y se aplica a cualquier $\tilde{V}_{r}(\theta)$ resultante de una función (univaluada) $f(z)$ .

Para ver ahora la unidad de las series de Taylor y de Fourier, recordemos que (en el disco unitario) $f(z)=\displaystyle\frac{1}{1-z}$ puede expresarse como una serie de potencias compleja convergente:

$f(r e^{i\theta})=1+r e^{i\theta}+(r e^{i\theta})^{2}+\cdots$

o bien

$f(r e^{i\theta})=1+r(\cos\theta+i\sin\theta)+r^{2}(\cos 2\theta+i\sin 2\theta)+\cdots$

En particular

$v(r e^{i\theta})=r\sin\theta+r^{2}\sin 2\theta+r^{3}\sin 3\theta+\cdots$

Si tomamos $\theta=\pi/4$ inmediatamente obtenemos la serie de Taylor para $V_{\pi/4}(r)$ :

$\displaystyle\frac{r}{\sqrt{2}(1+r^{2})-2r}=V_{\pi/4}(r)=\frac{1}{\sqrt{2}}r+r^{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}r^{3}-\frac{1}{\sqrt{2}}r^{5}-r^{6}-\frac{1}{\sqrt{2}}r^{7}+\cdots$

Tengamos en cuenta lo difícil que habría resultado obtener este desarrollo usando sólo números reales !!!

Si ahora tomamos $r=1/2$ inmediatamente obtenemos la serie de Fourier para $\tilde{V}_{1/2}(\theta)$ :

$\displaystyle\frac{2\sin\theta}{5-4\cos\theta}=\tilde{V}_{1/2}(\theta)=\frac{1}{2}\sin\theta+\frac{1}{2^{2}}\sin 2\theta+\frac{1}{2^{3}}\sin 3\theta+\cdots$

La ausencia de las ondas coseno en esta serie refleja correctamente el hecho de que $\tilde{V}_{1/2}(\theta)$ es una función impar de $\theta$ .

Esta conexión entre la serie de potencias complejas y las series de Fourier no es solamente estéticamente satisfactoria, sino que también es de índole sumamente práctica. La derivación convencional de la serie de Fourier de $\tilde{V}_{1/2}(\theta)$ requiere evaluar integrales complicadas (ver arriba las fórmulas para $a_{n}$ y $b_{n}$ ), mientras que aquí lo hemos logrado mediante simples manipulaciones algebraicas. De hecho, podemos ahora utilizar nuestra serie de Fourier para calcular la integral:

$\displaystyle\int^{2\pi}_{0}\left(\frac{2\sin\theta\sin n\theta}{5-4\cos\theta}\right)d\theta=\frac{\pi}{2^{n}}$

Sin lugar a dudas, el mundo complejo hace que muchas de nuestras tareas resulten sumamente simples.

Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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Encontrando el radio de convergencia

Posted in Análisis de Variable Compleja, Producción propia, tagged Convergencia de series, Disco de convergencia, Fórmula de Cauchy-Hadamard, Fórmula de D´Alembert, Radio de convergencia, Series de potencias, Teorema de Cauchy-Hadamard, Test de la raíz, Test de la razón on 25 septiembre 2014| 1 Comment »

Dada una serie compleja de potencias $f(z)=\sum c_{j}z^{j}$ , existen varias maneras de determinar su radio de convergencia directamente a partir de sus coeficientes. Como ellas son formalmente idénticas a los métodos utilizados en las series reales, nos limitaremos aquí sólo a enunciarlas.

El test de la razón nos dice que

$R=\displaystyle\lim_{j\rightarrow\infty}\left|\frac{c_{j}}{c_{j+1}}\right|$

siempre que este límite exista. Esta fórmula es conocida como Fórmula de D’Alembert y su demostración puede encontrarse en el libro de Conway. Por ejemplo, si

$f(z)=1+z+\displaystyle\frac{z^{2}}{2^{2}}+\frac{z^{3}}{3^{2}}+\cdots$

entonces

$R=\displaystyle\lim_{j\rightarrow\infty}\left|\frac{1/j^{2}}{1/(j+1)^{2}}\right|=\lim_{j\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{j}\right)^{2}=1$

Si $\displaystyle\left|\frac{c_{j}}{c_{j+1}}\right|$ tiende a infinito entonces (formalmente) $R=\infty$ , correspondiendo a la convergencia en todo el plano complejo. Por ejemplo,

$e^{z}=\displaystyle\sum^{\infty}_{j=0}\frac{z^{j}}{j!}$

converge en todo el plano complejo, dado que

$R=\displaystyle\lim_{j\rightarrow\infty}\left|\frac{1/j!}{1/(j+1)!}\right|=\lim_{j\rightarrow\infty}(j+1)=\infty.$

Cuando no es posible aplicar el test de la razón, o resulta dificil hacerlo, podemos emplear el test de la raíz, que dice que

$R=\displaystyle\lim_{j\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt[j]{\left|c_{j}\right|}}$

siempre que este límite exista. Por ejemplo, si recordamos primero que la función real $e^{x}$ se expresa como

$e^{x}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}$

entonces aplicando el test de la raíz a la serie

$f(z)=\displaystyle\sum^{\infty}_{j=1}\left(\frac{j-3}{j}\right)^{j^{2}}z^{j}$

obtenemos mediante un simple cálculo que $R=e^{3}$ .

Existen ocasiones en las cuales tanto el test de la razón como el test de la raíz fallan, pero existe una versión ligeramente refinada de estos que funciona en todos los casos. Es conocido como el Teorema de Cauchy-Hadamard y dice que

$R=\displaystyle\frac{1}{\lim\sup\sqrt[j]{\left|c_{j}\right|}}$

No discutiremos esto aquí pero el lector interesado puede encontrar la demostración correspondiente en el libro de Conway.

Los ejemplos anteriores de series de potencias surgen de la nada, pero a menudo el punto de partida es una función compleja conocida $f(z)$ que a continuación se expresa como una serie de potencias. El problema de determinar $R$ tiene entonces una respuesta conceptualmente mucho más satisfactoria. A grandes rasgos,

Si $f(z)$ puede expresarse como una serie de potencias centrada en $k$ , entonces el radio de convergencia es la distancia de $k$ a la singularidad más cercana de $f(z)$ .

La Figura 1 muestra esto; las singularidades de $f(z)$ son representadas como pequeñas estrellas. Para entender qué funciones pueden desarrollarse en series de potencias necesitamos resultados más profundos, pero estamos en condiciones de verificar que podemos hacerlo para una función racional (cociente de dos polinomios), y que el radio de convergencia para su desarrollo está dado por la afirmación anterior.

Figura 1

Para empezar, reconsideremos las Figuras 1 y 2 en «Un misterio detrás de las series reales de potencias«. Recordemos que en la Figura 2 simplemente nos limitamos a afirmar que $R=\sqrt{1+k^{2}}$ para el desarrollo en serie de $h_{1}(z)=1/(1+z^{2})$ centrado en el punto real $k$ . Ahora verifiquemos esto encontrando explícitamente la serie.

Para ello, primero notemos que en la entrada citada obtuvimos que

$\displaystyle\frac{1}{a-x}=\sum^{\infty}_{j=0}\frac{X^{j}}{(a-k)^{j+1}}$

si y sólo si $\left|X\right|<\left|a-k\right|$ . Generalizando tenemos que

$\displaystyle\frac{1}{a-z}=\sum^{\infty}_{j=0}\frac{Z^{j}}{(a-k)^{j+1}}$

si y sólo si $\left|Z\right|<\left|a-k\right|$ , donde $a$ y $k$ son ahora números complejos arbitrarios, y $Z=(z-k)$ es el número complejo que conecta el centro del desarrollo en $z$ . La condición $\left|z-k\right|<\left|a-k\right|$ para la convergencia significa que $z$ pertenece al interior del círculo centrado en $k$ y que pasa por $a$ . La Figura 2 abajo muestra esta situación, y además los discos de convergencia cuando elegimos desarrollar $1/(a-z)$ alrededor de $k_{1}$ o $k_{2}$ . Como la función $1/(a-z)$ tiene sólo una singularidad en $z=a$ hemos verificado la afirmación anterior para esta función particular.

Figura 2

Al principio encontramos el desarrollo de $1/(1-x^{2})$ factorizando el denominador y usando fracciones simples. Ahora estamos en condiciones de usar exactamente el mismo enfoque para hallar el desarrollo de $h_{1}(z)=1/(1+z^{2})$ centrado en un número complejo arbitrario $k$ :

$\displaystyle\frac{1}{1+z^{2}}=\frac{1}{(z-i)(z+i)}=\frac{1}{2i}\left(\frac{1}{-i-z}-\frac{1}{i-z}\right)$

Aplicando el desarrollo obtenido para $\displaystyle\frac{1}{a-z}$ en ambos términos resulta

$\displaystyle\frac{1}{1+z^{2}}=\sum^{\infty}_{j=0}\frac{1}{2i}\left(\frac{1}{(-i-k)^{j+1}}-\frac{1}{(i-k)^{j+1}}\right)Z^{j}$

La serie para $1/(\pm i-z)$ converge dentro de las circunferencias concéntricas $\left|z-k\right|=\left|\pm i-k\right|$ centradas en $k$ y que pasan por los puntos $\mp i$ , que son las singularidades de $h_{1}(z)=1/(1+z^{2})$ . Pero el desarrollo obtenido sólo convergerá cuando ambas series converjan, es decir, en el disco $\left|z-k\right|<R$ donde $R$ es la distancia del centro $k$ a la singularidad más cercana de $h_{1}$ . Esto confirma la afirmación anterior para $h_{1}(z)$ .

En particular, si $k$ es real entonces el desarrollo anterior converge en el disco que se muestra en la Figura 3 de «Un misterio detrás de las series reales de potencias». Si restringimos los valores de $z$ al eje real entonces $h_{1}(z)$ se reduce a la función real $1/(1-x^{2})$ , y el desarrollo de esta función en potencias de $X=x-k$ se deduce fácilmente del desarrollo anterior. Como $k$ ahora es real, $\left|i-k\right|=\sqrt{1+k^{2}}$ , y podemos escribir $i-k=\sqrt{1+k^{2}}e^{i\theta}$ donde $\theta=\arg(i-k)$ es el valor apropiado de $\tan^{-1}(-1/k)$ . Así,

$\displaystyle\frac{1}{1+x^{2}}=\sum^{\infty}_{j=0}\left(\frac{\sin(j+1)\theta}{(\sqrt{1+k^{2}})^{j+1}}\right)X^{j}$

lo que resulta de un simple cálculo que se bosqueja a continuación:

Nuevamente tenemos aquí un resultado concerniente a funciones reales que podría ser muy difícil de obtener usando sólo números reales.

El análisis anterior de $1/(1+z^{2})$ puede fácilmente ser generalizado para demostrar que cualquier función racional puede ser expresada como una serie de potencias, con radio de convergencia dado por la afirmación anterior.

Fuente bibliográfica:

Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press
John B. Conway (1978) Functions of One Complex Variable I. Springer

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Operando con series de potencias

Posted in Análisis de Variable Compleja, Producción propia, tagged Función exponencial compleja, Operaciones elementales, Series de potencias on 18 septiembre 2014| Leave a Comment »

El hecho de que las series de potencias puedan ser aproximadas con precisión arbitrariamente alta mediante polinomios implica que

Dos series de potencia con el mismo centro pueden ser sumadas, multiplicadas y divididas de la misma manera que lo hacemos con los polinomios.

No nos detendremos aquí en la demostración formal de este hecho, y el lector interesado puede recurrir a los libros de Lang o Conway. Centraremos nuestra atención en apropiarnos de una idea intuitiva del resultado y en cómo puede ayudarnos en la práctica.

Si dos series $f(z)$ y $g(z)$ tienen discos de convergencia $D_{1}$ y $D_{2}$ , respectivamente, entonces las series resultantes para $f+g$ y para $fg$ serán convergentes en el disco más pequeño de los dos, aunque de hecho pueden converger dentro de un disco aún mayor. No es posible una afirmación general en el caso de la serie resultante para $f/g=f(1/g)$ , debido a que la convergencia de la serie para $1/g$ está limitada no sólo por la frontera de la circunferencia de $D_{2}$ sino también por aquellos puntos dentro de $D_{2}$ para los cuales $g(z)=0$ .

Ilustremos la afirmación inicial con algunos ejemplos. Anteriormente hemos asumido como válida la afirmación para hallar la serie para $1/(1-z^{2})$ centrada en $k$ . Usamos la descomposición en fracciones simples

$\displaystyle\frac{1}{1-z^{2}}=\frac{1}{2}\frac{1}{1-z}+\frac{1}{2}\frac{1}{1+z},$

y los desarrollos en serie de cada una de las funciones en el miembro de la derecha, y asumimos que podíamos sumar estas series de potencias tal como lo hacemos con dos polinomios, sumando los coeficientes.

En el caso en que $k=0$ es fácil chequear que este procedimiento funciona, porque ya conocemos la respuesta correcta para la serie centrada en el origen:

$\displaystyle\frac{1}{1-z^{2}}=1+z^{2}+z^{4}+\cdots.$

Como

$\displaystyle\frac{1}{1-z}=1+z+z^{2}+z^{3}+\cdots$

$\displaystyle\frac{1}{1+z}=1-z+z^{2}-z^{3}+\cdots,$

vemos que sumando los coeficientes de estas series obtenemos la serie correcta para $1/(1-z^{2})$ .

Como

$\displaystyle\frac{1}{1-z^{2}}=\left(\frac{1}{1-z}\right)\left(\frac{1}{1+z}\right),$

podemos reciclar este ejemplo para ilustrar la exactitud de la multiplicación de series de potencias como si se tratara de polinomios:

$(1+z+z^{2}+z^{3}+\cdots)(1-z+z^{2}-z^{3}+\cdots)=1+(1-1)z+(1-1+1)z^{2}+(1-1+1-1)z^{3}+\cdots,$

que nuevamente nos da la respuesta correcta para la serie de potencias de $1/(1-z^{2})$ .

También podemos valernos de nuestra afirmación inicial para hallar el desarrollo de $1/(1-z)^{2}$ :

$(1+z+z^{2}+z^{3}+\cdots)(1+z+z^{2}+z^{3}+\cdots)=1+(1+1)z+(1+1+1)z^{2}+(1+1+1+1)z^{3}+\cdots,$

y así

$\displaystyle\frac{1}{(1-z)^{2}}=\sum^{\infty}_{j=0}(j+1)z^{j}.$

Las series obtenidas para $1/(1-z)$ y $1/(1-z)^{2}$ son casos especiales del Teorema Binomial general, que establece que si $n$ es cualquier número real (no necesariamente un entero positivo), entonces en el disco unitario,

$(1+z)^{n}=1+nz+\displaystyle\frac{n(n-1)}{2!}z^{2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}z^{3}+\cdots.$

Históricamente, este resultado fue una de las armas clave de Newton para el desarrollo del cálculo, y más tarde desempeñó un papel igualmente central en la obra de Euler.

Ahora describiremos cómo dividir dos series de potencias $f(z)$ y $g(z)$ . Para hallar la serie $f(z)/g(z)=\sum c_{j}z^{j}$ multiplicamos ambos miembros por $g(z)$ para obtener $f(z)=g(z)\sum c_{j}z^{j}$ , y luego multiplicamos las dos series de la derecha. Por la unicidad de las series de potencia, los coeficientes de esta serie deben ser iguales a los conocidos coeficientes de $f(z)$ , y esto no permite calcular los $c_{j}$ . Un ejemplo hará este proceso mucho más claro.