Las universidades

En las Universidades la matemática era estudiada desde un punto de vista teórico. Las Universidades de París y Oxford, que fueron fundadas relativamente temprano (aprox. 1200), eran centros para la matemática y la filosofía.

De particular importancia en estas universidades eran las versiones basadas en el árabe de Euclides, de las cuales había al menos cuatro para el siglo XII. De las numerosas redacciones y compendios que se hicieron, la de Johannes Campanus (aprox. 1250; primera impresa en 1482) fue sin duda la más conocida, sirviendo como libro de texto para muchas generaciones. Estas redacciones  de los Elementos tenían por finalidad ayudar a los estudiantes no sólo a entender los libros de texto de Euclides, sino también a manejar otras cuestiones, principalmente filosóficas, sugeridas por los pasajes de Aristóteles. La teoría de la razón de los Elementos proporcionaba un medio para expresar las distintas relaciones entre las cantidades asociadas al movimiento de los cuerpos, relaciones que ahora se expresan mediante fórmulas. También en Euclides se encontraban los métodos para analizar el infinito y la continuidad (paradójicamente, porque Euclides siempre evitó el infinito).

Johannes Campanus

Primera página de la edición latina de los elementos de Euclides por Campanus (impresión de1482)

Los estudios de este tipo de preguntas no sólo dieron lugar a nuevos resultados, sino también a un nuevo enfoque de lo que ahora se llama física. Thomas Bradwardine, que participaba en el Merton College, Oxford, en la primera mitad del siglo XIV fue uno de los primeros estudiosos medievales en preguntarse si el continuum podía ser dividido infinitamente o si había partes más pequeñas (indivisibles).

Entre otros temas, comparó diferentes formas geométricas en términos de la multitud de puntos que se suponía las componen, y a partir de tal enfoque generó paradojas que no fueron resueltas por siglos. Otra pregunta fértil derivada de Euclides se refiere al ángulo entre un círculo y una línea tangente a él: si este ángulo es distinto de cero, rápidamente sobreviene una contradicción, pero si es cero entonces, por definición, no puede haber ángulo. Para la relación de la fuerza, la resistencia y la velocidad de un cuerpo movido por esta fuerza, Bradwardine sugirió una ley exponencial. Nicolás Oresme (muerto en 1382) amplió las ideas de Bradwardine a exponentes fraccionarios.

Nicolás Oresme

Otra cuestión que tiene que ver con la cuantificación de cualidades, la llamada latitud de formas, comenzó a ser discutida en esta época en París y en el Merton College. Se asignaba a varias cualidades aristotélicas (por ejemplo, calor, densidad y velocidad) una intensidad y extensión, que a veces se representaban por la altura y la base (respectivamente) de una figura geométrica. Se consideraba entonces que el área de la figura representaba la cantidad de la cualidad. En el importante caso en el que la cualidad es el movimiento de un cuerpo, la intensidad es su velocidad y la extensión es su tiempo, se consideró el área de la figura para representar la distancia cubierta por el cuerpo. Un movimiento uniformemente acelerado a partir de una velocidad cero da lugar a una figura triangular. La escuela de Merton demostró que la cantidad de movimiento en tal caso es igual a la cantidad de un movimiento uniforme a la velocidad alcanzada a la mitad del camino a través del movimiento acelerado. En una formulación moderna, (regla de Merton). Discusiones como esta sin duda influyeron indirectamente en Galileo y pueden haber influido en la fundación de la geometría analítica en el siglo XVII. Otro desarrollo importante en los «cálculos» escolásticos fue la suma de series infinitas.

Basando su trabajo en fuentes griegas traducidas, alrededor del año 1464 el matemático y astrónomo alemán Regiomontano escribió el primer libro en Occidente independiente de la astronomía (impreso en 1533) sobre trigonometría plana y esférica. También publicó tablas de senos y tangentes que estuvieron en uso constante durante más de dos siglos.

Regiomontano

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Cuando reordenar trae lío

Consideremos la serie infinita

Si ingenuamente comenzamos sumando desde el lado izquierdo, obtenemos una sucesión llamada sumas parciales. En otras palabras, sea igual a la suma de los primeros términos de la serie, de manera que , , , , y así sucesivamente. Una observación inmediata es que las sucesivas sumas oscilan en un espacio cada vez más estrecho. Las sumas impares decrecen (), mientras que las sumas pares aumentan ().

 Parece razonable –y pronto lo demostraremos– que la sucesión eventualmente se acerca a un valor, llamémoslo , en el que las sumas parciales pares e impares «se reúnen». En este momento, no podemos calcular exactamente, pero sabemos que cae en algún lugar entre y . La suma de unos pocos cientos de términos revela que . Cualquiera que sea su valor, ahora hay una tentación abrumadora de escribir

lo que significa, tal vez, que si pudiéramos efectivamente sumar toda esta cantidad infinita de números, la suma sería igual a . Un ejemplo más familiar de una ecuación de este tipo podría ser

la única diferencia es que en la segunda ecuación tenemos un valor más reconocible para la suma.

Pero ahora llega el quid de la cuestión. Los símbolos , y en las ecuaciones anteriores son nociones engañosamente conocidas que se utilizan de una manera muy poco familiar. La pregunta crucial es si las propiedades de la suma y la igualdad que son bien comprendidas para sumas finitas siguen siendo válidas cuando se aplican a objetos infinitos, como las mostradas arriba. La respuesta, como estamos a punto de presenciar, es un tanto ambigua.

Tratando la ecuación

de manera algebraica estándar, vamos a multiplicar por y sumar el resultado de nuevo a la ecuación arriba):

Ahora, miremos cuidadosamente el resultado. La suma arriba consiste precisamente de los mismos términos que la ecuación de partida, sólo que en un orden diferente. Específicamente, estamos ante un reordenamiento de la serie original, donde se listan los dos primeros términos positivos seguidos por el primer término negativo , seguido por los próximos dos términos positivos y luego el siguiente término negativo . Continuando con esto, es evidente que cada término en la serie resultante aparece en la serie original, y viceversa. El quiebre viene cuando nos damos cuenta de que la última ecuación asegura que la suma de este reordenamiento, y no alterado de otro modo, de números es igual a de su valor original. De hecho, la adición de unos pocos cientos de términos de esta ecuación produce sumas parciales en la vecindad de . La adición, en esta configuración infinita, no es conmutativa!!!

Echemos un vistazo a un reordenamiento similar de la serie

Esta serie es geométrica con primer término y la razón común . Utilizando la fórmula para la suma de una serie geométrica, obtenemos

Esta vez, un poco de experimentación computacional con el reordenamiento «dos positivos, uno negativo»

produce sumas parciales bastante cercanas a . La suma de los primeros términos, por ejemplo, es igual a . La adición infinita es conmutativa en algunos casos pero no en otros!!!

Una interesante caja de sorpresas, no crees?

Son las patologías lo que dan lugar a la necesidad de rigor. Una resolución satisfactoria a estas cuestiones requiere que seamos absolutamente precisos acerca de lo que entendemos cuando manipulamos estos objetos infinitos. Puede parecer que el progreso es lento al principio, pero eso es porque no queremos caer en la trampa de dejar que los prejuicios de nuestra intuición corrompan nuestros argumentos. Las pruebas rigurosas están destinadas a ser un chequeo de nuestra intuición, y al final veremos que en realidad mejoran nuestra imagen mental del infinito matemático.

Como último ejemplo, consideremos la posibilidad de algo tan fundamental como intuitivo como es la propiedad asociativa de la suma aplicada a la serie . La agrupación de los términos de una forma da

mientras que la agrupación de otra manera da

Las manipulaciones que son legítimas en escenarios finitos no siempre se extienden a escenarios infinitos. Decidir cuándo lo hacen y por qué es uno de los temas centrales del análisis, y lo que lo torna una rama fascinante de la matemática.

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Referencias bibliográficas:

• Abbott, Stephen (2010) Understanding Analysis. Springer.

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El número Pi y la maratón de sus cifras

Para terminar estas entregas sobre el número Pi, nos dedicaremos aquí a la gran carrera llevada a cabo a lo largo de la historia, y me animaría a decir que hasta nuestros días, por hallar la mejor aproximación al número Pi.

Arquímedes ha establecido una forma de calcular en forma teórica el valor del número Pi, conocida como el método exhaustivo.

Pero debemos nuestro famoso 3,1416 a Ptolomeo, que en el siglo II d. de C. utiliza polígonos de hasta 720 lados y una circunferencia de 60 unidades de radio para  aproximarse un poco más, y obtener el valor 3 + 8/60 + 30/3600 = 377/120 =3’14166….

Chun Chih en China dio una aproximación de 7 cifras, pero mucho tiempo después fue Viète quien obtuvo una mejor aproximación. Pero quien se obsesionó con el tema fue van Ceulen a fines del siglo XVI, que obtuvo 35 dígitos.

Las series infinitas comenzaron a dar sus frutos en tiempos posteriores, y el impulso final fue la aparición del ordenador.

El número pi sigue fascinando aún hoy a los matemáticos, tal como señala una nota reciente. En la misma se indica que «Fabrice Bellard, un técnico informático francés, anunció haber calculado el número Pi hasta casi 2,7 trillones de decimales, batiendo el record precedente realizado por una supercomputadora japonesa 2.000 veces más veloz y miles de veces más cara que la empleada por él».

Mientras tanto, les parece conocer algunas de esas cifras?

Continuará …

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