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Posts Tagged ‘Siglo XVIII’

Aunque el énfasis en la matemática a partir de 1650 estaba puesto cada vez más en el análisis, las preguntas fundamentales de la geometría clásica continuaron despertando interés. La atención se centró en el quinto postulado del Libro I de los Elementos, que Euclides había utilizado para probar la existencia de una única paralela a través de un punto a una recta dada. Desde la antigüedad, geómetras griegos, islámicos y europeos habían intentado, sin éxito, demostrar que el postulado de las paralelas no tiene por qué ser un postulado, sino que podía deducirse de los otros postulados de la geometría euclidiana. Durante el período entre 1600 y 1800, los matemáticos continuaron estos esfuerzos por tratar de demostrar que el postulado era equivalente a algún resultado que fuera considerado evidente por sí mismo. Aunque el avance decisivo en la geometría no euclidiana no ocurriría hasta el siglo XIX, los investigadores lograron un entendimiento más profundo y sistemático de las propiedades clásicas del espacio.

El interés por el postulado de las paralelas se desarrolló en el siglo XVI después de la recuperación y traducción al latin del comentario de Proclo sobre los Elementos de Euclides. Los investigadores italianos Christopher Clavius en 1574 y Giordano Vitale en 1680 mostraron que el postulado es equivalente a afirmar que la línea equidistante a una recta es una línea recta. En 1693 John Wallis, profesor savilian de geometría en Oxford, intentó una demostración diferente, probando que el axioma se sigue de la hipótesis de que a cada figura existe una figura semejante de magnitud arbitraria.

Christopher Clavius

En 1733 el italiano Girolamo Saccheri publicó su Euclides ab Omni Naevo Vindicatus («Euclides Borrado de todos los defectos»). Este fue un importante trabajo de síntesis en el que proporciona un análisis completo del problema de las paralelas en términos de los cuadriláteros de Omar Khayyam. Utilizando el supuesto euclidiano de que las líneas rectas no encierran un área, fue capaz de excluir a las geometrías que no contienen paralelas. Queda por demostrar la existencia de una única paralela a través de un punto a una recta dada. Para ello, Saccheri adoptó el procedimiento de reducción al absurdo. Supuso la existencia de más de un paralela y trató de derivar una contradicción. Después de una investigación larga y detallada, fue capaz de convencerse a sí mismo (erróneamente) que había encontrado la contradicción deseada.

En 1766 Johann Heinrich Lambert de la Academia de Berlín compuso Die Theorie der Parallellinien ( «La Teoría de líneas paralelas», publicado en 1786), un estudio penetrante del quinto postulado de la geometría euclidiana. Entre otros teoremas Lambert demostró que el axioma de las paralelas es equivalente afirmar que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos. Combinó este hecho con el resultado de Wallis para llegar a una caracterización inesperada del espacio clásico. De acuerdo con Lambert, si se rechaza el postulado de las paralelas, se deduce que para cada ángulo \theta es menor que 2R/3 (R es un ángulo recto) se puede construir un triángulo equilátero con \theta ángulo en la esquina. Como consecuencia del resultado de Wallis cualquier triángulo semejante a este triángulo debe ser congruente a él. Por lo tanto, es posible asociar con cada ángulo de una longitud definida, el lado del triángulo equilátero correspondiente. Dado que la medición de ángulos es absoluta, independiente de cualquier convención relativa a la selección de unidades, se deduce que existe una unidad absoluta de longitud. Por lo tanto, aceptar el postulado de las paralelas es negar la posibilidad de un concepto absoluto de longitud.

Johann Heinrich Lambert

La contribución final del siglo XVIII a la teoría de las paralelas fue un libro de texto de Adrien-Marie Legendre titulado Éléments de géométrie (Elementos de Geometría y Trigonometría), cuya primera edición apareció en 1794. Legendre presentó una elegante demostración que pretendía demostrar que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos. Él creía que había establecido de manera concluyente la validez del postulado de las paralelas. Su trabajo atrajo a una gran audiencia y fue influyente al informar a los lectores las nuevas ideas en la geometría.

El fracaso del siglo XVIII para desarrollar una geometría no euclidiana estaba arraigado en profundas creencias filosóficas. En su Crítica de la razón pura (1781) Emmanuel Kant había hecho hincapié en el carácter sintético a priori de los juicios matemáticos. Desde este punto de vista, las afirmaciones de la geometría y la aritmética son necesariamente proposiciones verdaderas con contenido empírico definido. La existencia de figuras semejantes de diferente tamaño, o el carácter convencional de las unidades de longitud, parecía evidente para los matemáticos de la época. Incluso en 1824 Pierre-Simon, marqués de Laplace, escribió:

Así, la noción de espacio incluye una propiedad especial, evidente por sí misma, sin la cual las propiedades de las paralelas no se pueden establecer de forma rigurosa. La idea de una región acotada, por ejemplo, el círculo, no contiene nada que depende de su magnitud absoluta. Pero si nos imaginamos su radio disminuyendo, somos llevados sin falta a la disminución en la misma proporción de su circunferencia y los lados de todas las figuras inscritas. Esta proporcionalidad se me aparece un postulado más natural que el de Euclides, y es digno de notar que se descubre de nuevo en los resultados de la teoría de la gravitación universal.

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Durante el periodo 1600-1800, se produjeron importantes avances en la teoría de ecuaciones, en los fundamentos de la geometría euclidiana, en la teoría de números, en la geometría proyectiva y en la teoría de la probabilidad. Estos temas, que se convirtieron en ramas maduras de la matemática en el siglo XIX, nunca rivalizaron con el análisis y la mecánica como programas de investigación.

Después de los dramáticos éxitos de Niccolò Fontana Tartaglia y Ludovico Ferrari en el siglo XVI, la teoría de las ecuaciones se desarrolló lentamente, cuando los problemas resistían una solución mediante técnicas conocidas. A finales del siglo XVIII el tema experimentó una infusión de nuevas ideas. El interés se concentró en dos problemas. El primero era establecer la existencia de una raíz de la ecuación polinómica general de grado n. El segundo era expresar las raíces como funciones algebraicas de los coeficientes o demostrar por qué, en general, no era posible hacerlo.

Tartaglia

Ferrari

La proposición de que el polinomio general con coeficientes reales tiene una raíz de la forma a+b\sqrt{-1} llegó a ser conocida más tarde como el teorema fundamental del álgebra. Por 1742 Euler había reconocido que las raíces aparecen en pares conjugados. Si a+b\sqrt{-1} es una raíz, entonces también lo es a-b\sqrt{-1}. Por lo tanto, sia+b\sqrt{-1} es una raíz de f(x)=0, entonces f(x)=(x^2-2ax-a^2-b^2)g(x). El teorema fundamental era, por tanto, equivalente a la afirmación de que un polinomio puede descomponerse en factores lineales y cuadráticos. Este resultado fue de considerable importancia para la teoría de la integración, ya que por el método de fracciones parciales se garantizaba que una función racional, el cociente de dos polinomios, siempre se podía integrar en términos de funciones algebraicas y trascendentales elementales.

Aunque D’Alembert, Euler y Lagrange trabajaron sobre el teorema fundamental, la primera prueba exitosa fue desarrollada por Carl Friedrich Gauss en su tesis doctoral de 1799. Al principio los investigadores habían investigado casos especiales o se habían concentrado en demostrar que todas las raíces posibles eran de la forma a \pm b\sqrt{-1}. Gauss abordó directamente el problema de la existencia. Expresando la incógnita en términos de las variables de coordenadas polares r y \theta, demostró que una solución del polinomio pertenecería a la intersección de dos curvas de la forma T(r, \theta)=0U(r, \theta)=0. Por una investigación cuidadosa y rigurosa demostró que las dos curvas se intersectan.

La demostración del teorema fundamental de Gauss inició un nuevo enfoque a la cuestión de la existencia matemática. En el siglo XVIII los matemáticos se interesaban por la naturaleza de procesos analíticos particulares o por la forma que las soluciones dadas deben tomar. Las entidades matemáticas eran consideradas como las cosas que eran dadas, no como cosas cuya existencia es necesario establecer. Debido a que el análisis se aplicaba a la geometría y a la mecánica, el formalismo parecía poseer una interpretación clara que evitaba cualquier necesidad de considerar cuestiones relativas a la existencia. La demostración de Gauss fue el comienzo de un cambio de actitud hacia la matemática, de un giro a un desarrollo riguroso e interno del tema.

El problema de expresar las raíces de un polinomio en función de los coeficientes fue abordado por varios matemáticos independientemente alrededor del año 1770. El matemático de Cambridge Edward Waring publicó en 1762 y en 1770 tratados sobre la teoría de ecuaciones. En 1770 Lagrange presentó una larga memoria expositiva sobre el tema a la Academia de Berlín, y en 1771 Alexandre Vandermonde presentó un artículo a la Academia de Ciencias de Francia. Aunque las ideas de los tres hombres estaban relacionadas, las memorias de Lagrange fueron las más extensas y más influyentes históricamente.

Waring

 

Lagrange presentó un análisis detallado de la solución por radicales de ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado e investigó por qué estas soluciones fallaban cuando el grado era mayor o igual a cinco. Presentó la novedosa idea de considerar funciones de las raíces y examinar los valores asumidos cuando las raíces eran permutadas. Él fue capaz de demostrar que la solución de una ecuación depende de la construcción de una segunda ecuación resolvente, pero no fue capaz de proporcionar un procedimiento general para resolver la resolvente cuando el grado de la ecuación original era superior a cuatro. Aunque su teoría deja al tema en un estado inacabado, proporcionó una base sólida para el trabajo futuro. La búsqueda de una solución general para la ecuación polinómica proporcionaría el mayor y único impulso para la transformación del álgebra en el siglo XIX.

Los esfuerzos de Lagrange, Vandermonde y Waring ilustran lo difícil que fue el desarrollo de nuevos conceptos en el álgebra. La historia de la teoría de las ecuaciones contrasta con la opinión de que la matemática es  objeto de un desarrollo casi técnico, automático. Más tarde gran parte del trabajo algebraico estaría dedicado a la elaboración de terminología, conceptos y métodos necesarios para avanzar en el tema.

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El enfoque analítico de Euler del cálculo recibió el apoyo de su contemporáneo más joven Joseph-Louis Lagrange quien, tras la muerte de Euler en 1783, lo reemplazó como el líder de la matemática europea. En 1755 el joven Lagrange  con 19 años de edad le escribió a Euler para anunciarle el descubrimiento de un nuevo algoritmo en el cálculo de variaciones, un tema al que Euler había dedicado un importante tratado 11 años atrás. Euler había utilizado ideas geométricas y había hecho hincapié en la necesidad de métodos analíticos. La idea de Lagrange era introducir el nuevo símbolo \delta al cálculo y experimentar formalmente hasta idear un algoritmo para obtener las ecuaciones variacionales. Matemáticamente muy distinto del procedimiento de Euler, su método no  requería ninguna referencia a la configuración geométrica. Euler adoptó de inmediato la idea de Lagrange, y en los próximos años los dos hombres revisaron sistemáticamente el tema usando las nuevas técnicas.

En 1766 Lagrange fue invitado por el rey de Prusia, Federico el Grande, para convertirse en el director en matemática de la Academia de Berlín. Durante las próximas dos décadas escribió importantes memorias en casi todas las principales áreas de la matemática. En 1788 publicó su famoso Mécanique analytique, un tratado que utilizaba las ideas variacionales para presentar la mecánica desde un punto de vista analítico unificado. En el prefacio Lagrange escribió:

No se encontrará ninguna figura en este trabajo. Los métodos que presento no requieren ni construcciones ni razonamientos geométricos o mecánicos, sino sólo operaciones algebraicas sujetas a un curso regular y uniforme. Los admiradores del análisis, verán  con placer que la mecánica se convierte en una nueva rama de él, y estarán agradecidos conmigo por haber extendido su dominio.

Después de la muerte de Federico el Grande, Lagrange viajó a París para convertirse en un pensionnaire de la Academia de Ciencias. Con el establecimiento de la École Polytechnique en 1794, se le pidió conferencias sobre matemática. Había preocupación en la matemática europea al momento de ubicar al cálculo sobre una base sólida, y Lagrange aprovechó la ocasión para desarrollar sus ideas para una base algebraica del tema. Las conferencias fueron publicadas en 1797 bajo el título Théorie des fonctions analytiques («Teoría de las funciones analíticas»), un tratado cuyo contenido contiene los Principios del Cálculo Diferencial desacoplados de toda consideración de infinitesimales, límites que se anulan o fluxiones y lo reduce al análisis algebraico de cantidades finitas. Lagrange publicó un segundo tratado sobre el tema en 1801, una obra que apareció en una forma revisada y ampliada en 1806.

La gama de temas presentados y la consistencia de estilo  distinguía los escritos didácticos de Lagrange de otras exposiciones contemporáneas del cálculo. Comenzó con la noción de Euler de una función como una expresión analítica compuesta de variables y constantes. Definió la «función derivada,» o derivada f '(x) de f(x), como el coeficiente de i en el desarrollo de Taylor de f(x+i). Asumiendo la posibilidad general de tales desarrollos, intentó una teoría más completa del cálculo diferencial e integral, incluyendo aplicaciones extensivas a la geometría y la mecánica. Las conferencias de Lagrange representan el desarrollo más avanzado del siglo XVIII de la concepción analítica del cálculo.

Comenzando con el Barón de Cauchy en la década de 1820, los matemáticos posteriores utilizaron el concepto de límite para establecer el cálculo sobre una base aritmética. El punto de vista algebraico de Euler y LaGrange fue rechazado. Para llegar a una apreciación histórica adecuada de su trabajo, es necesario reflexionar sobre el significado del análisis en el siglo XVIII. Desde Viète, el análisis se había referido en general a métodos matemáticos que empleaban ecuaciones, variables y constantes. Con el amplio desarrollo del cálculo de Leibniz y su escuela, el análisis se identificó con todos los temas relacionados con el cálculo. Además de esta asociación histórica, había un sentido más profundo en el que los métodos analíticos eran fundamentales para la nueva matemática. Una ecuación analítica implicaba la existencia de una relación que sigue siendo válida cuando las variables cambian continuamente en magnitud. Los algoritmos del análisis y las transformaciones presuponían una correspondencia entre el cambio local y global, la preocupación fundamental del cálculo. Es este aspecto del análisis lo que fascinó a Euler y Lagrange y les provocó ver en él la «metafísica verdadera» del cálculo.

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