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De los matemáticos de la antigüedad griega, Arquímedes debe ser considerado el más grande. Sus contribuciones a la geometría y a la mecánica, así como a la hidrostática, lo colocan en un pedestal más alto que sus contemporáneos. Y como sus obras fueron gradualmente traducidas e introducidas en Occidente, ejerció una influencia tan grande allí como su pensamiento ya lo había hecho en Bizancio y Arabia. En su método de agotamiento puede verse un predecesor clásico del cálculo integral, que sería desarrollado formalmente por Blaise Pascal, Gottfried Leibniz, Sir Isaac Newton y otros en el siglo XVII. Sólo su historia de vida ha inspirado a muchos matemáticos.

Como con muchas personas antiguas, los detalles exactos de la vida de Arquímedes son difíciles de determinar, ya que hay varios relatos de calidad variable. Su padre era el astrónomo Fidias, y es posible que Arquímedes fuera pariente del tirano de Siracusa, el rey Hierón II. Ciertamente él era íntimo del rey, pues su trabajo El Contador de Arena fue dedicado a Gelón, hijo de Hierón. Nacido en Siracusa, Arquímedes partió a Alejandría para seguir una educación matemática; allí estudió con Euclides de Alejandría y asistió al desarrollo de la matemática euclidiana. Pero fue en Siracusa, a donde pronto volvió, donde hizo la mayor parte de sus descubrimientos.

Aunque famoso por sus contribuciones a la matemática, Arquímedes también diseñó numerosas invenciones mecánicas. El caracol de agua, inventado en Egipto para ayudar al riego, era un artefacto tipo tornillo usado para levantar agua. Más impresionantes son las historias relacionadas con su construcción y aplicación de la polea compuesta: Hierón había solicitado a Arquímedes que demostrara cómo una pequeña fuerza podía mover un gran peso. El matemático ató una cuerda a un gran buque mercante que estaba cargado de carga y pasajeros, y pasó la cuerda por un sistema de poleas. De esta manera, sentado a cierta distancia del buque, Arquímedes pudo arrastrar sin esfuerzo el barco a la orilla del puerto.

Arquímedes también descubrió la utilidad de la palanca, al observar que cuanto más larga es la distancia desde el fulcro, más peso podía mover la palanca. Extendiendo lógicamente este principio, afirmó que era factible mover el mundo dada una palanca suficientemente larga. Otra historia popular relata que Hierón le dio a Arquímedes la tarea de averiguar si una cierta corona estaba hecha de oro puro, o si se había adulterado fraudulentamente con plata. Cuando Arquímedes reflexionó sobre este rompecabezas se encontraba en pleno baño y notó que la cantidad de agua desplazada era igual a la cantidad de su cuerpo que estaba sumergida. Esto inmediatamente le disparó un método para resolver el problema de Hierón, y saltó de la bañera con alegría, corriendo desnudo hacia su casa, gritando “Eureka”. 

Su habilidad en objetos mecánicos fue inigualable, y Hierón aprovechó a menudo esto para mejorar las defensas de la ciudad, insistiendo en que el intelecto de Arquímedes debía ser puesto al servicio de alguna aplicación práctica. Cuando Marcelo y los romanos llegaron a atacar Siracusa, encontraron la ciudad inexpugnable debido a la multiplicidad de catapultas, brazos mecánicos, espejos ardientes y varios dispositivos balísticos que Arquímedes había construido. Arquímedes escribió un libro titulado On Spheremaking en el que describe cómo construir un modelo planetario diseñado para simular el movimiento del Sol, la Luna y los planetas. Parece que Arquímedes estaba familiarizado con el heliocentrismo de Arquitas, y lo utilizó en su planetario.

Según Plutarco, Arquímedes se dedicó a la teoría pura y desdeñaba las aplicaciones prácticas de la matemática a la ingeniería; sólo aquellos sujetos libres de cualquier utilidad para la sociedad eran considerados dignos de perseguir de todo corazón. Las obras matemáticas de Arquímedes consisten principalmente en estudios de área y volumen, y el análisis geométrico de la estática y la hidrostática. Al calcular el área o el volumen de varias figuras planas y sólidas, utiliza el llamado Lema de Arquímedes y el “método de agotamiento”. Este lema afirma que la diferencia de dos magnitudes desiguales puede ser formada en una proporción con cualquier magnitud semejante; así, la diferencia de dos líneas será siempre una línea y no un punto. El método de agotamiento consiste en sustraer indefinidamente una cantidad mayor que la mitad de una magnitud dada, y apunta a la idea de la eterna divisibilidad del continuo (que siempre se puede quitar la mitad de un número y todavía queda algo). Estas ideas se limitan a las nociones de lo infinitesimal -lo infinitamente pequeño- y a la idea de límite, que son ingredientes clave del cálculo integral; sin embargo, los griegos eran adversos a la noción de infinito e infinitesimales, y Arquímedes se apartaba de hacer cualquier cosa que él sentía sería considerado como absurdo.

El método de agotamiento, que se usó raramente en los Elementos de Euclides, se ilustrará a través del siguiente ejemplo: En Sobre la medida de un círculo, Arquímedes asume, en aras de la contradicción, que el área de un triángulo rectángulo con base igual a la circunferencia y altura igual al radio del círculo es realmente mayor que el área del círculo. Entonces él puede, usando el lema de Arquímedes, inscribir un polígono en el círculo, con la misma área que el triángulo; esta contradicción muestra que el área del triángulo no puede ser mayor que el círculo, y hace un argumento similar de que no puede ser menor.

El concepto básico del método de aproximación, que es similar al método de agotamiento, consiste en inscribir figuras regulares dentro de una figura plana y sólida tal que el área o el volumen restante se reduce constantemente; el área o el volumen de las figuras regulares se pueden calcular fácilmente, y ésta será una aproximación cada vez más exacta. El área o volumen restante está “agotado”. Por supuesto, la manera moderna de obtener una determinación exacta de la medida es a través del límite; Arquímedes evitó esta cuestión al demostrar que el área o el volumen restante podría hacerse tan pequeño como se deseara inscribiendo figuras más regulares. Por supuesto, uno podría realizar el mismo procedimiento circunscribiendo figuras regulares.

También aplicó estos métodos a los sólidos, calculando la superficie y el volumen de la esfera, y el volumen de conos y pirámides. Los métodos de Arquímedes eran a veces puramente geométricos, pero a veces usaban principios de estática, como un “método de equilibrio”. Su conocimiento de la ley de la palanca y el centro de gravedad del triángulo, junto con sus métodos de aproximación y agotamiento le permitieron mejorar demostraciones de teoremas conocidos, así como establecer resultados completamente nuevos.

Arquímedes también hizo algunas contribuciones en el ámbito del  cálculo numérico, produciendo algunas aproximaciones muy precisas para el número pi y para la raíz cuadrada de tres. En El contador de Arena crea una notación para números muy grandes y estima el número de granos de arena para llenar el universo. En Sobre el equilibrio de los planos prueba la ley de la palanca a partir de principios geométricos, y en Sobre los cuerpos flotantes  explica el concepto de presión hidrostática. El llamado Principio de Arquímedes establece que sólidos colocados en un fluido serán más ligeros en el fluido en una cantidad igual al peso del fluido desplazado.

Su influencia en la matemática posterior fue extensa, aunque Arquímedes pudo no haber gozado de mucha fama en su propia vida. Griegos posteriores, entre ellos Pappus de Alejandría y Teón de Alejandría, escribieron comentarios sobre sus escritos, y más tarde los autores bizantinos estudiaron su obra. Desde Bizancio sus textos llegaron a Occidente antes del comienzo del Renacimiento; mientras tanto, los matemáticos árabes conocían a Arquímedes y explotaron sus métodos en sus propias investigaciones sobre  secciones cónicas. En el siglo XII aparecieron traducciones del árabe al latín, de las que Leonardo de Pisa (Fibonacci) hizo uso en el siglo XIII. En los años 1400, el conocimiento de Arquímedes se había expandido por partes de Europa, y su matemática influyó más tarde en Simon Stevin, Johannes Kepler, Galileo Galilei y Bonaventura Cavalieri.

Tal vez la historia más conocida acerca de Arquímedes es la que relata su muerte, que se produjo en el año 212 a.C. durante el asedio de Siracusa por los romanos. Al parecer, no estaba preocupado por la situación cívica, y estaba ocupado haciendo diagramas en la arena de su casa (en ese momento tenía al menos 75 años de edad). Aunque el general romano Marcelo había dado órdenes estrictas para que el famoso matemático siciliano no fuera perjudicado, un soldado romano irrumpió en la casa de Arquímedes y arruinó su diagrama. Cuando el anciano matemático expresó verbalmente su disgusto, el soldado lo mató rápidamente.

Arquímedes fue un destacado matemático y científico. De hecho, es considerado por muchos como uno de los tres mejores matemáticos de todos los tiempos, junto con Carl Friedrich Gauss y Newton. Una vez descubierto por los europeos medievales, sus obras propulsaron el descubrimiento del cálculo. Es interesante que este profundo intelecto fuera remoto en tiempo y espacio al de los grandes matemáticos griegos clásicos; Arquímedes trabajó en la isla de Siracusa, lejos de Atenas, fuente de mucho pensamiento griego, y trabajó siglos después del declive de la cultura griega.

 

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Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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El desarrollo de nuevos métodos de cálculo numérico fue una respuesta a las crecientes exigencias prácticas del cálculo numérico, en particular en la trigonometría, la navegación y la astronomía. Las nuevas ideas se propagaron rápidamente a través de Europa y para el año 1630 se convirtieron en una gran revolución en la práctica numérica.

Simon Stevin de Holanda, en su breve folleto La Disme de 1585, presentó las fracciones decimales a Europa y mostró cómo extender los principios de la aritmética hindú-arábiga al cálculo con estos números. Stevin hizo hincapié en la utilidad de la aritmética decimal “para todas las cuentas que aparecen en los asuntos de los hombres”, y explicó en un apéndice cómo se podía aplicar a la topografía, la estereometría, la astronomía y  la medición. Su idea era extender el principio posicional de base 10 a números con partes fraccionarias, con una extensión correspondiente en la notación para cubrir estos casos. En su sistema denotó al número 237.578 por

en donde los dígitos a la izquierda del cero son la parte entera del número. A la derecha del cero están los dígitos de la parte fraccionaria, con cada dígito seguido por un número rodeado con un círculo que indica la potencia negativa a la que se eleva 10. Stevin demostró cómo la aritmética habitual de los números enteros podía extenderse a fracciones decimales, utilizando las reglas que determinan el posicionamiento de las potencias negativas de 10.

Simon Stevin

Además de su utilidad práctica, La Disme fue significativa por la forma en que socavó el estilo dominante de la geometría clásica griega en la matemática teórica. La propuesta de Stevin requería rechazar la distinción en la geometría euclidiana entre la magnitud, que es continua, y el número, que es una multitud de unidades indivisibles. Para Euclides, la unidad, o uno, era un tipo especial de cosa, no un número sino el origen o principio del número. La introducción de las fracciones decimales parecía dar a entender que la unidad podía subdividirse y que una magnitud arbitraria continua podía ser representada numéricamente. Se suponía implícitamente el concepto de número real positivo en general.

En 1614 el escocés lord John Napier  publicó por primera vez tablas de logaritmos  en su tratado Description of the Marvelous Canon of Logarithms. Este trabajo fue seguido (postumamente) cinco años después por otro en el que Napier estableció los principios utilizados en la construcción de sus tablas. La idea básica detrás de los logaritmos es que la suma y la resta son más fáciles de realizar que la multiplicación y la división que, como observó Napier, requieren un “gasto de tiempo tedioso” y están sujetos a “errores resbaladizos”. Por la ley de los exponentes,

a_{n}a_{m} = a_{n+m};

es decir, en la multiplicación de números, los exponentes se relacionan de forma aditiva. Por correlación, la secuencia geométrica de números

a, a_{2}, a_{3},\ldots

(con a la base) y la secuencia aritmética

1, 2, 3, \ldots

e interpolando valores fraccionarios, es posible reducir el problema de la multiplicación y la división a uno de sumas y restas. Para ello Napier escogió una base que fuera muy cercana a 1, que difiera de él solamente en 1/107. Por tanto, la secuencia geométrica resultante produjo un conjunto denso de valores, adecuado para la construcción de una tabla.

John Napier

En su obra de 1619 Napier presentó un modelo cinemático interesante para generar las secuencias geométricas y aritméticas utilizadas en la construcción de sus tablas. Asume dos partículas que se mueven a lo largo de líneas separadas desde puntos iniciales dados. Las partículas comienzan a moverse en el mismo instante con la misma velocidad. La primera partícula continúa moviéndose con una velocidad que va disminuyendo, proporcional en cada instante a la distancia que queda entre ella y algún punto fijo dado sobre la línea. La segunda partícula se mueve con una velocidad constante igual a su velocidad inicial. Dado cualquier incremento de tiempo, las distancias recorridas por la primera partícula en los sucesivos incrementos forman una sucesión geométricamente decreciente. Las correspondientes distancias recorridas por la segunda partícula forman una sucesión aritmética creciente. Napier fue capaz de utilizar este modelo para derivar teoremas que producen límites precisos para aproximar valores en las dos sucesiones.

El modelo cinemático de Napier indicaba cómo los matemáticos expertos se habían volcado a principios del siglo XVII al análisis del movimiento no uniforme. Las ideas cinemáticas, que aparecían con frecuencia en la matemática de la época, proporcionaban un medio claro y visible para la generación de magnitudes geométricas. La concepción de una curva trazada por una partícula que se mueve a través del espacio jugó más tarde un papel significativo en el desarrollo del cálculo.

Las ideas de Napier fueron recogidas y revisadas por el matemático inglés Henry Briggs, el primer profesor saviliano de geometría en Oxford. En 1624 Briggs publicó una extensa tabla de logaritmos comunes, o logaritmos de base 10. Debido a que la base ya no era cercana a 1, la tabla no se podía obtener en la forma más sencilla de Napier, y por tanto Briggs ideó técnicas que implicaban el cálculo de diferencias finitas para facilitar el cálculo de las entradas. También ideó procedimientos de interpolación de gran eficiencia computacional para obtener valores intermedios.

Henry Briggs

En Suiza, el fabricante de instrumentos llegó a la idea de los logaritmos de Napier de forma independiente, aunque no publicó sus resultados hasta 1620. Cuatro años más tarde, una tabla de logaritmos preparada por Kepler apareció en Marburg. Tanto Bürgi como Kepler eran observadores astronómicos, y Kepler incluyó tablas logarítmicas en su famoso Tabulae Rudolphinae de 1627, tabulaciones astronómicas del movimiento planetario derivadas mediante el uso de la suposición de órbitas elípticas alrededor del Sol.

Joost Bürgi

 

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