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Posts Tagged ‘Sistema sexagesimal’

Los científicos islámicos del siglo X han participado en tres grandes proyectos matemáticos: la realización de algoritmos aritméticos, el desarrollo del álgebra y la extensión de la geometría.

El primero de estos proyectos dio lugar a la aparición de tres sistemas de numeración completos, uno de los cuales era el «dedo aritmético» utilizado por los escribas y funcionarios del tesoro. Este antiguo sistema aritmético, que se hizo conocido en todo Oriente y Europa, empleaba aritmética mental y un sistema de almacenamiento de resultados intermedios con los dedos como una ayuda para la memoria. (Su uso de fracciones unitarias recuerda al sistema egipcio.) Durante los siglos X y XI matemáticos capaces, como Abul-Wafa (940-997/998), escribieron con este sistema, pero fue finalmente reemplazado por el sistema decimal.

Un segundo sistema común era la numeración en base 60 heredado de los babilonios a través de los griegos y conocido como la «aritmética de los astrónomos». Aunque los astrónomos utilizaban este sistema para sus tablas, por lo general los números se convertían al sistema decimal en presencia de cálculos complicados y luego se convertían de nuevo para obtener una respuesta sexagesimal.

El tercer sistema era la «aritmética india», cuya base numérica, con el cero, se extendió por el este del Islam proveniente de los hindúes. (Diferentes formas numéricas, cuyos orígenes no están del todo claros, se utilizaron en el oeste del Islam.) Los algoritmos básicos también vinieron de la India, pero éstos fueron adaptados por al-Uqlidisi (aprox. 950) usando lápiz y papel en lugar del tradicional tablero de arena, una movida que ayudó a popularizar este sistema. Además, los algoritmos aritméticos se completaron de dos maneras: mediante la extensión de los procedimientos de la extracción de raíces, conocidos por los hindúes y griegos sólo para raíces cuadradas y cúbicas, a raíces de grado superior y a través de la extensión del sistema decimal hindú desde los números enteros hasta incluir fracciones decimales. Estas fracciones aparecen simplemente como dispositivos computacionales en la labor tanto de al-Uqlidisi como de al-Baghdadi (aprox. 1000), pero en los siglos posteriores recibieron un tratamiento sistemático como método general. En cuanto a la extracción de raíces, Abul-Wafa escribió un tratado (ahora perdido) sobre el tema, y Omar Khayyam (1048-1131) resolvió el problema general de la extracción de raíces de cualquier grado deseado. El tratado de Omar también está perdido, pero el método es conocido por otros autores, y parece que un paso importante en su desarrollo fue la derivación de al-Karaji a mediados del siglo X, por inducción matemática, del teorema binomial para exponentes de números enteros -es decir, su descubrimiento de que

(a+b)^{n}=a^{n}+na^{n-1}b+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}b^{2}+

\frac{n(n-1)(n-2)}{2\cdot 3}a^{n-1}b^{3}+L+nab^{n-1}+b^{n}.

Durante el siglo X, los algebristas islámicos progresaron desde los polinomios cuadráticos de Al-Khwarizmi al dominio del álgebra de las expresiones que involucran potencias enteras arbitrarias positivas o negativas de la incógnita. Varios algebristas subrayaron expresamente la analogía entre las reglas para trabajar con potencias de la incógnita en el álgebra y las reglas para trabajar con potencias de 10 en la aritmética, y hubo una interacción entre el desarrollo de la aritmética y el del álgebra entre los siglos X y XII. Un estudiante de la obra de al-Karaji, al-Samaw’al, en el siglo XII, fue capaz de aproximar el cociente (20x^{2} + 30x)/(6x^{2} + 12) como

3\frac{1}{3}+5(\frac{1}{x})-6\frac{2}{3}(\frac{1}{x^{2}})-10(\frac{1}{x^{3}})+L-40(\frac{1}{x^{7}})

y también dio una regla para encontrar los coeficientes de las potencias sucesivas de 1/x. Aunque nada de esto emplea el álgebra simbólica, el simbolismo algebraico estaba en uso por el siglo XIV en la parte occidental del mundo islámico. El contexto de este simbolismo bien desarrollado fue, al parecer, los comentarios que estaban destinados a fines de enseñanza, tales como los de Ibn Qunfudh (1330-1407) de Argelia sobre el álgebra de Ibn al-Banna (1256-1321) de Marruecos.

 También se desarrollaron otras partes del álgebra. Tanto los griegos como los hindúes habían estudiado ecuaciones indeterminadas, y la traducción de este material y la aplicación del  nuevo desarrollo algebraico condujeron a la investigación de las ecuaciones diofánticas por escritores como Abu Kamil, al-Karaji y Abu Yafar al-Khazin (primera mitad del siglo X), así como los intentos por demostrar un caso especial de lo que ahora se conoce como el último teorema de Fermat , a saber, que no hay soluciones racionales para x^{3} + y^{3} = z^{3}. El gran científico Ibn al-Haytham (965-1040) resolvió  problemas de congruencias mediante lo que ahora se conoce como el teorema de Wilson, que establece que, si p es un número primo, entonces p divide a  (p - 1) \times (p - 2)\ldots \times 2 \times 1 + 1, y al-Baghdadi dio una variante de la idea de números amigos mediante la definición de dos números «equilibrados» si las sumas de sus divisores son iguales.

Sin embargo, no sólo la aritmética y el álgebra sino que también la geometría se sometió a un amplio desarrollo. Thabit Ibn Qurrah, su nieto Ibrahim Ibn Sinan (909-946), Abu Sahl al-Kuhi (que murió aprox. 995) e Ibn al-Haytham resolvieron problemas que involucraban la geometría pura de las secciones cónicas, incluyendo áreas y volúmenes de figuras planas y sólidas formadas a partir de ellas, y también investigaron las propiedades ópticas de espejos hechos a partir de secciones cónicas. Ibrahim Ibn Sinan, Abu Sahl al-Kuhi e Ibn al-Haytham utilizaron la antigua técnica de análisis para reducir la solución de problemas a construcciones que implican secciones cónicas. (Ibn al-Haytham, por ejemplo, utilizó este método para encontrar el punto en un espejo esférico convexo en el que un objeto dado es visto por un observador dado.) Thabit e Ibrahim mostraron cómo diseñar las curvas necesarias para relojes de sol. Abu’l-Wafa, cuyo libro sobre la aritmética de los escribas fue mencionado anteriormente, también escribió sobre métodos geométricos necesarios para los artesanos.

Además, a finales del siglo X Abu’l-Wafa y el príncipe Abu Nasr Mansur enunciaron y demostraron teoremas de geometría plana y esférica que podían ser aplicados por astrónomos y geógrafos, incluyendo las leyes de senos y tangentes. El pupilo de Abu Nasr, al-Biruni (973-1048), que produjo una gran cantidad de trabajos de alta calidad, fue uno de los maestros en la aplicación de estos teoremas a la astronomía y a problemas en la geografía matemática como la determinación de latitudes y longitudes, de las distancias entre ciudades y de la dirección de una ciudad a otra.

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Para facilitar sus investigaciones astronómicas los griegos desarrollaron técnicas para la medición numérica de ángulos, precursoras de la trigonometría, y produjeron tablas adecuadas para el cálculo práctico. Los primeros esfuerzos para medir las proporciones numéricas en triángulos fueron hechas por Arquímedes y Aristarco.  Sus resultados pronto  se extendieron, y tratados completos sobre la medición de cuerdas  (de hecho, una construcción de una tabla de valores equivalentes al seno trigonométrico) fueron producidos por Hiparco y por Menelao de Alejandría (siglo I d.C.). Estos trabajos se han perdido, pero los teoremas y las tablas esenciales se conservan en el Almagesto de Ptolomeo (Libro I, Capítulo 10).

Para hacer cálculos con ángulos los griegos adoptaron en aritmética el método sexagesimal mesopotámico, de donde sobreviven las unidades estándar de ángulos y tiempo empleadas en la actualidad.

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El método sexagesimal desarrollado por los babilonios tiene un potencial mucho mayor de cálculo que lo que realmente se necesita para los antiguos textos de problemas. Sin embargo, con el desarrollo de la astronomía matemática en el período seléucida se hizo indispensable. Los astrónomos trataron de predecir futuras apariciones de fenómenos importantes, como los eclipses lunares y los puntos críticos en los ciclos planetarios (conjunciones, oposiciones, puntos estacionarios y primera y última visibilidad). Idearon una técnica para el cálculo de estas posiciones (expresadas en términos de grados de latitud y longitud, medidas con relación a la trayectoria del movimiento anual aparente del Sol) por sumas sucesivas de términos apropiados en progresión aritmética. Los resultados se organizaron luego en una tabla que lista las posiciones con la antelación que el escriba elegía. (Aunque el método es puramente aritmético, se puede interpretar gráficamente: los valores tabulados forman una aproximación lineal «zig-zag» a lo que es en realidad una variación sinusoidal.) Si bien se requerían observaciones que se extienden durante siglos para encontrar los parámetros necesarios (por ejemplo, períodos, rango angular entre valores máximos y mínimos y similares), sólo el aparato computacional a su disposición hizo posible la previsión de los astrónomos.

 Dentro de un tiempo relativamente corto (quizás un siglo o menos) los elementos de este sistema llegaron a manos de los griegos. Aunque Hiparco (siglo II  a.C.) favoreció el enfoque geométrico de sus predecesores griegos, se hizo cargo de los parámetros de los mesopotámicos y adoptó su estilo de cálculo sexagesimal. A través de los griegos pasó a los científicos árabes durante la Edad Media y de allí a Europa, donde permaneció prominente en la astronomía matemática durante el Renacimiento y la Edad Moderna. Al día de hoy persiste en el uso de los minutos y los segundos para medir el tiempo y los ángulos.

Aspectos de la matemática babilónica antigua pueden haber llegado a los griegos incluso antes, tal vez en el siglo V a.C., durante el período formativo de la geometría griega. Hay una serie de paralelismos que los estudiosos han observado: por ejemplo, la técnica griega de la «aplicación de áreas» correspondía a los métodos cuadráticos de Babilonia (aunque en una forma geométrica, no aritmética). Además, la regla babilónica para calcular raíces cuadradas fue ampliamente utilizada en los cálculos geométricos griegos, y también puede haber habido algunos matices compartidos de la terminología técnica. Aunque los detalles del momento y la manera de una tal transmisión son oscuros debido a la ausencia de documentación explícita, parece que la matemática occidental, derivada fundamentalmente de los griegos, está considerablemente endeudada con la matemática mesopotámica antigua.

 

 

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