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Posts Tagged ‘Sistemas de numeración’

Los egipcios, como los romanos después de ellos, expresaron los números  de acuerdo a un esquema decimal, utilizando símbolos separados para 1, 10, 100, 1.000, y así sucesivamente. Cada símbolo aparecía en la expresión de un número tantas veces como el valor que representa aparecía en el propio número.

Se utiliza esta notación bastante engorrosa dentro de la escritura jeroglífica encontrada en inscripciones en piedra y en otros textos formales, pero en los documentos sobre papiro los escribas empleaban una escritura abreviada más conveniente, llamada  escritura hierática.

En tal sistema, para sumar y restar cantidades se contaba el número de símbolos que hay de cada tipo  en las expresiones numéricas y luego se escribía el número resultante de símbolos. Los textos que sobreviven no revelan los procedimientos especiales que los escribas utilizaban para ayudarse en estos casos. Sin embargo, para la multiplicación introdujeron un método de duplicación sucesiva.

Para dividir 308 por 28 los egipcios aplicaban el mismo procedimiento a la inversa.

En la mayoría de los casos, por supuesto, no había un resto que fuera menor que el divisor.

Para números más grandes este procedimiento puede mejorarse teniendo en cuenta los múltiplos de uno de los factores por 10, 20, ... o incluso por órdenes superiores de magnitud (100, 1000, ...), según sea necesario (en la notación decimal egipcia estas multiplicaciones son fáciles de hacer). Así, puede hallar el producto de 28 por 27 mediante los múltiplos de 28, a saber, 1, 2, 4, 8, 10, 20, se observa que los elementos 1, 2, 4 y 20 suman 27, por lo que basta sumar los múltiplos correspondientes para encontrar la respuesta.

Los cálculos con fracciones se llevaban a cabo bajo la restricción de considerar fracciones unitarias (es decir, fracciones que en notación moderna se escriben con numerador igual a 1). Expresar el resultado de dividir 4 por 7, por ejemplo, en notación moderna no es más que escribir 4/7, sin embargo el escriba escribía 1/2+1/14. El procedimiento para encontrar cocientes de esta forma se limitaba a extender el método habitual para la división de números enteros, inspeccionando ahora los  elementos en las tablas para 2/3, 1/3, 1/6, etc., y 1/2, 1/4, 1/8, etc., hasta que los múltiplos correspondientes del divisor sumaran el dividendo. (Se puede observar que los escribas incluían 2/3 como excepción a al exclusividad del uso de fracciones unitarias.) En la práctica el procedimiento a veces puede llegar a ser bastante complicado (por ejemplo, el valor de 2/29 que se da en el papiro Rhind es 1/24+1/58+1/174+1/232) y puede ser llevado a cabo de diferentes maneras (por ejemplo, la misma fracción 2/29 podría encontrarse como  1/15+1/435 o como 1/16+1/232+1/464, entre otros.). Una parte considerable de los textos en papiro está dedicada a tablas para facilitar el hallazgo de tales fracciones  unitarias.

Estas operaciones elementales son todo lo que se necesita para resolver los problemas aritméticos en los papiros. Por ejemplo, «para dividir 6 panes entre 10 hombres» (Problema 3 del papiro Rhind), simplemente se divide para obtener la respuesta 1/2+1/10. En un grupo de problemas hay un truco interesante: «Una cantidad (aha) y su séptima  parte suman 19; ¿cuál es la cantidad?» (Problema 24 del papiro Rhind). Aquí el escriba supone  primero que la cantidad es 7; dado que 1\ 1/7 de esa cantidad se convierte en 8, el resultado no es 19 como se esperaba, sino 19/8 (es decir, 2+1/4+1/8, que multiplicado  por 7 se convierte en la respuesta requerida. Este tipo de procedimiento (a veces llamado el método de «falsa posición») es conocido en muchas otras tradiciones aritméticas (por ejemplo, en chinos, hindúes, musulmanes y renacentistas europeos), a pesar de que parecen no haber tenido una relación directa con los egipcios.

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A diferencia de los egipcios, los matemáticos del período babilónico antiguo fueron mucho más allá de los retos inmediatos de sus funciones oficiales de contabilidad. Por ejemplo, introdujeron un versátil sistema de numeración que, al igual que el sistema moderno, explotó la noción de valor posicional, y desarrollaron métodos de cálculo que se aprovecharon de este medio para expresar los números. También resolvieron problemas lineales y cuadráticos por métodos muy parecidos a los que ahora se utilizan en el álgebra. Su éxito con el estudio de lo que ahora se llama ternas de números pitagóricos fue una hazaña notable de la teoría de números. Los escribas que hicieron esos descubrimientos deben haber creído que la matemática es digna de estudio por derecho propio, no sólo como una herramienta práctica.

El sistema de números sumerio más antiguo siguió un principio decimal aditivo (en base 10) similar al de los egipcios. Pero el viejo sistema babilónico convertía esto en un sistema posicional con base de 60 (sexagesimal). Las razones de la elección de 60 son oscuras, pero una buena razón matemática podría haber sido la existencia de muchos divisores (2, 3, 4 y 5, y algunos múltiplos) de la base, lo que habría facilitado en gran medida la operación de división. Para los números de 1 a 59, combinaron los símbolos para 1 y para 10 en la sencilla forma aditiva. Pero para expresar valores más grandes, los babilonios aplicaron el concepto de valor posicional. De hecho, podían representar cualquier potencia de 60. El contexto determinaba cómo interpretar la  potencia. Los babilonios parecen haber desarrollado un símbolo de marcador de posición que funcionaba como un cero en el siglo III a.C., pero su significado preciso y su uso son  todavía inciertos. Por otra parte, no tenían ninguna marca para separar los números en partes enteras y fraccionarias (como el punto (o coma) decimal moderno).

Las cuatro operaciones aritméticas se realizaban de la misma manera como en el sistema decimal moderno, excepto que el acarreo se producía cada vez que una suma alcanzaba 60 en lugar de 10. La multiplicación fue facilitada por tablas; una tablilla típica muestra los múltiplos de un número por 1, 2, 3, …, 19, 20, 30, 40 y 50. Para multiplicar dos números de varios lugares de longitud, el primer escriba primero dividía el problema en varias multiplicaciones, cada una por un número de un solo lugar, y luego tomaba el valor de cada producto de las tablas correspondientes. Encontraba la respuesta al problema sumando estos resultados intermedios. Estas tablas también ayudaban en la división; pero los valores en sus encabezados eran todos recíprocos de números regulares.

Los números regulares son aquellos cuyos factores primos dividen la base. Así, los recíprocos de tales números sólo tienen un número finito de lugares (por el contrario, los recíprocos de los números no regulares producen un número infinito de repeticiones). En base 10, por ejemplo, sólo los números con factores 2 y 5 (por ejemplo, 8 o 50) son regulares, y sus recíprocos (1/8 = 0,125 y 1/50 = 0,02) tienen expresiones finitas; pero los recíprocos de otros números (por ejemplo, 3 y 7) se repiten infinitamente (0.33333…. y 0.142857142857142857…., respectivamente). En base 60, sólo los números con factores de 2, 3 y 5 son regulares. Por ejemplo, 6 y 54 son regulares, por lo que sus recíprocos (10 y 1 6 40) son finitos. Las entradas de la tabla de multiplicar por 1 6 40 son, pues, al mismo tiempo múltiplos de su recíproco 1/54. Para dividir un número por cualquier número regular se podía entonces consultar la tabla de múltiplos para su recíproco.

Una tablilla interesante de la colección de la Universidad de Yale muestra un cuadrado con sus diagonales. En un lado está escrito «30», bajo una diagonal «42 25 35», y a la derecha a lo largo de la misma diagonal «1 24 51 10» (es decir, 1+24/60+51/60^{2}+10/60^{3}). Este tercer número es el valor correcto de \sqrt{2} con cuatro lugares sexagesimales (equivalente en el sistema decimal a 1,414213…), mientras que el segundo número es el producto del tercer número y el primero y así da la longitud de la diagonal cuando el lado es 30. Así pues el escriba parece haber conocido un equivalente del método familiar de la búsqueda de raíces cuadradas. Un elemento adicional de sofisticación es que, debido a la elección de 30 (es decir, 1/2) para el lado, el escriba obtuvo como diagonal el recíproco del valor de \sqrt{2} (pues \sqrt{2}/2=1/\sqrt{2}), un resultado útil para los propósitos de la división.

 

 

 


Referencias bibliográficas:

  • (2011) The Britannica Guide to The History of Mathematics. Rosen Educational  Services.

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El lenguaje del universo – Parte 1

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