Los matemáticos griegos clásicos rehuyeron el estudio del infinito, tanto lo infinitamente grande como lo infinitamente pequeño (lo infinitesimal). Los infinitesimales son la piedra angular del cálculo, y muchos griegos, como Arquímedes de Siracusa, dieron los primeros pasos vacilantes hacia un descubrimiento completo del cálculo. Sin embargo, la mayoría rechazó la noción de cantidades infinitamente divisibles, como un continuo, y esta reacción se debió en gran parte a las paradojas de Zenón.
Zenón de Elea nació aproximadamente en el año 490 a.C. en Elea, Italia. Él es de ascendencia griega a pesar de su nacimiento en Italia, y es considerado en la historia miembro del grupo de filósofos griegos. Existe muy poca información confiable sobre su vida, pero se dice que su padre era Telautagoras. Zenón finalmente estudió en la escuela de filosofía de Elea, donde conoció a su maestro Parménides. La escuela eleática, fundada por Parménides, enseñó el monismo, el concepto de que todo es uno. Esta filosofía influyó en Zenón para formular varias paradojas que desafiaban los conceptos de divisibilidad infinita.
Platón afirma que Zenón y Parménides viajaron a Atenas en el 450 a.C., donde se encontraron con el joven Sócrates y discutieron filosofía con él. Antes de viajar a Atenas, Zenón ya había adquirido cierta fama a través de la publicación de un libro (que no ha sobrevivido) que contenía 40 paradojas. Estas paradojas forman una disección profundamente estimulante del concepto del continuo, perturbando así las cómodas nociones de cosas comunes como el movimiento, el tiempo y el espacio. Una de las suposiciones de Zenón es la divisibilidad: si una magnitud se puede dividir en dos, entonces se puede dividir para siempre. El trabajo de Richard Dedekind luego establecería esta propiedad de continuo para los números reales. Zenón también asumió que no existe ningún objeto de magnitud cero (no lo expresó de esta manera, ya que los griegos no tenían el cero).
En la paradoja llamada «La dicotomía», Zenón afirma que para atravesar una distancia, primero es necesario atravesar la mitad de esa distancia; pero para llegar a la mitad, primero se requiere ir un cuarto del camino. Continuando con este razonamiento indefinidamente, Zenón concluye que comenzar es imposible y que, por lo tanto, el movimiento es imposible. Esta paradoja generalmente se resuelve sumando la serie geométrica de potencias recíprocas de dos. En «La flecha», Zenón declara que el movimiento es imposible, porque (suponiendo que la instancia actual de tiempo «ahora» es indivisible) si una flecha se mueve cierta distancia en un instante de tiempo indivisible, entonces se movió la mitad de esa distancia en la mitad del tiempo, lo que resulta en una división del instante. Esto puede resolverse permitiendo que el tiempo sea un continuo, infinitamente divisible.
La paradoja más famosa de Zenón es la de Aquiles: establece que se ejecuta una carrera entre el héroe griego Aquiles y una tortuga, donde la lenta tortuga comienza con una ventaja. Después de un tiempo, Aquiles alcanza la mitad de la distancia intermedia. Pero la tortuga ha seguido su camino; Aquiles luego corre la mitad de la distancia restante, pero nuevamente la tortuga ha avanzado más. ¡Llevando este argumento hasta el infinito, Zenón concluye que Aquiles nunca puede ponerse al día! Esto también se puede resolver configurando una serie geométrica adecuada. Sin embargo, las resoluciones de estas paradojas se basan en ciertas nociones de infinito y propiedades del continuo. La estructura matemática detrás de estos conceptos no se desarrolló hasta muchos siglos después. Sir Isaac Newton, Gottfried Leibniz y Blaise Pascal sentaron las bases modernas del cálculo. A finales del siglo XIX, Georg Cantor, Friedrich Ludwig Gottlob Frege y Bertrand Arthur William Russell realizaron trabajos más avanzados sobre el continuo, así como las propiedades básicas de los números reales, entre otros. Por lo tanto, la influencia de Zenón fue de gran alcance, ya que hizo algunas preguntas muy profundas sobre el tiempo, el espacio y el movimiento.
Zenón murió en algún momento alrededor del año 425 a.C., y una fuente cuestionable relata que fue ejecutado después de un intento fallido de eliminar a un tirano de Elea. Aunque era filósofo, las ideas de Zenón provocaron una revolución matemática milenios después, ya que sus paradojas apuntaban a la necesidad de proporcionar una base rigurosa a los conceptos intuitivos del espacio y el tiempo. Sus paradojas sobre el movimiento demostraron las dificultades de considerar la velocidad como una distancia dividida por el tiempo, ya que esta relación parece ser cero dividida por cero cuando el tiempo transcurrido de viaje se reduce a cero; solo con el descubrimiento de límites e infinitesimales en la disciplina del cálculo diferencial se resolvió este enigma. Además de proporcionar una gran cantidad de obstáculos mentales para los intelectuales posteriores, Zenón también sirvió para inhibir el crecimiento de las matemáticas griegas para abarcar el infinito; por lo tanto, fue una influencia retardadora clásica, pero milenios más tarde se convirtió en un impulso para el desarrollo matemático.
Fuente bibliográfica:
- McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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