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Los números más simples de entender y usar son los números enteros y los números racionales. Los números irracionales parecen plantear problemas. Famoso entre ellos es \sqrt{2}. No se puede escribir como un número decimal finito o con cifras que se repiten (porque no es racional), pero puede ser muy fácilmente manipulado de manera algebraica. Sólo es necesario reemplazar todas las apariciones de (\sqrt{2})^2 por 2. De este modo expresiones de la forma m + n\sqrt{2}, donde m y n son números enteros, se pueden manejar aritméticamente. Estas expresiones tienen muchas propiedades similares a las de los números enteros, y los matemáticos incluso han definido los números primos de esta forma; por lo tanto, se denominan enteros algebraicos. En este caso lo hemo obtenido al considerar sobre los números racionales una solución de la ecuación polinómica x^2 - 2 = 0. En general un entero algebraico es cualquier solución, real o compleja, de una ecuación polinómica con coeficientes enteros en la que el coeficiente de la potencia más alta de la incógnita es 1.

La teoría de números enteros algebraicos de Gauss dio lugar a la cuestión de determinar cuándo un polinomio de grado n con coeficientes enteros se puede resolver dada la solvencia de las ecuaciones polinómicas de grado menor pero con coeficientes que son enteros algebraicos. Por ejemplo, Gauss consideró las coordenadas de los 17 vértices de una figura regular de 17 lados como números complejos que satisfacen la ecuación x^{17} - 1 = 0 y por lo tanto como números enteros algebraicos. Uno de tales enteros es 1. Él mostró que el resto se obtiene resolviendo una sucesión de cuatro ecuaciones cuadráticas. Debido a que la solución de una ecuación cuadrática es equivalente a realizar una construcción con regla y compás, como Descartes había mostrado mucho antes, Gauss había demostrado cómo construir el 17-ágono regular.

Inspirado por las obras de Gauss sobre la teoría de los números, una escuela cada vez mayor de matemáticos se sintió atraída por el tema. Al igual que Gauss, el matemático alemán Ernst Eduard Kummer trató de generalizar la ley de reciprocidad cuadrática (ver entrada anterior) para hacer frente a preguntas sobre las potencias tercera, cuarta y más altas de números. Él vio que su trabajo lo llevaba en una dirección inesperada, hacia una resolución parcial del último teorema de Fermat. En 1637, Fermat escribió en el margen de su ejemplar de la Aritmética de Diofanto la pretensión de tener una prueba de que no hay soluciones en números enteros positivos a la ecuación x^n+y^n=z^n si n> 2. Sin embargo, ninguna prueba se descubrió entre sus notas.

El enfoque de Kummer fue el desarrollo de la teoría de números enteros algebraicos. Si se podía demostrar que la ecuación no tenía solución en números enteros algebraicos adecuados, entonces, a fortiori, no podía haber una solución en números enteros ordinarios. Él fue finalmente capaz de establecer la verdad del último teorema de Fermat para una clase grande de exponentes primos n (aquellos que cumplen algunas condiciones técnicas necesarias para hacer que la demostración funcione). Este fue el primer avance significativo en el estudio del teorema. Junto con el trabajo anterior de la matemática francesa Sophie Germain, permitió a los matemáticos establecer el último teorema de Fermat para cada valor de n de 3 a 4 millones. Sin embargo, el camino de Kummer en torno a las dificultades que encontró impulsó aún más la teoría de números enteros algebraicos al reino de la abstracción. Ascendió a la sugerencia de que no debía haber incluso otros tipos de números enteros, pero muchos encontraron oscuras estas ideas.

En Alemania, Richard Dedekind pacientemente creó un nuevo enfoque, en el que se definió cada nuevo número (llamado un ideal) por medio de un conjunto adecuado de enteros algebraicos, de tal manera que era el divisor común del conjunto de los enteros algebraicos utilizado para definirlo. El trabajo de Dedekind fue lento en cuanto a la obtención de una aprobación, sin embargo, ilustra varias de las características más profundas de la matemática moderna. Estaba claro para Dedekind que los enteros algebraicos ideales eran obra de la mente humana. Su existencia no puede basarse ni deducirse de la existencia de objetos físicos, deanalogías con procesos naturales, o de algún proceso de abstracción de cosas más familiares. Una segunda característica de la obra de Dedekind fue que se basó en la idea de conjuntos de objetos, tales como conjuntos de números, incluso conjuntos de conjuntos. El trabajo de Dedekind mostró como base la concepción ingenua de lo que un conjunto podría ser. La tercera característica crucial de su trabajo fue su énfasis en los aspectos estructurales del álgebra. La presentación de la teoría de números como una teoría acerca de objetos que pueden ser manipulados (en este caso, sumados y multiplicados) de acuerdo con ciertas reglas similares a las que rigen para los números ordinarios iba a ser un paradigma de las teorías más formales del siglo XX.

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