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Posts Tagged ‘Sophie Germain’

Sophie Germain es conocida como una de las mejores matemáticas de Francia. Hizo contribuciones importantes a la teoría de números, a las ecuaciones diferenciales parciales y a la geometría diferencial. Germain pudo lograr mucho a pesar de la falta de educación formal y la oposición de sus padres. 

Nacida como hija de Ambroise-François Germain y Marie-Madeleine Gruguelu el 1 de abril de 1776, en París, Sophie Germain vivió en una casa acomodada durante tiempos turbulentos. Su padre era diputado por los Estados Generales, y era de profesión comerciante; más tarde se convirtió en director del Banco de Francia. Bajo esta cómoda situación, Germain creció con la extensa biblioteca de su padre a su disposición. En un momento en que las mujeres no recibían regularmente educación, Germain se las arreglaba leyendo en casa. A los 13 años leyó un relato de la muerte de Arquímedes de Siracusa en manos de un descuidado soldado, y el matemático siciliano se convirtió en un símbolo heroico para ella. A esta edad tan joven, decidió ser matemática. Aunque sus padres se opusieron a esta dirección de sus energías, primero dominó el latín y el griego, y luego comenzó a leer a Sir Isaac Newton y a Euclides de Alejandría

Eventualmente, la biblioteca en el hogar se volvió insuficiente para las necesidades intelectuales de Germain, y a los 18 años buscó una mejor situación. Pudo obtener notas de conferencias de los cursos impartidos en la École Polytechnique, y estaba particularmente interesada en las conferencias de análisis de Joseph-Louis Lagrange. Aunque no está registrado, Germain fingió ser un estudiante, tomando el seudónimo de Le Blanc, y presentó un trabajo a largo plazo sobre análisis a Lagrange. Éste quedó debidamente impresionado por su originalidad, y buscó a su autor. Al descubrir que el escritor era en realidad Germain, Lagrange se convirtió en su patrocinador y consejero matemático. 

Germain obtuvo educación superior puramente por correspondencia con los grandes eruditos de Europa; por este medio ella se hizo muy versada en matemática, literatura, biología y filosofía. Se interesó en ciertos problemas de la teoría de números después de leer la Théorie des nombres (1798) de Adrien-Marie Legendre, y pronto surgió una correspondencia voluminosa entre los dos. En el curso de estas comunicaciones, colaboraron en resultados matemáticos, y algunos de los descubrimientos de Sophie se incluyeron en la segunda edición de la Théorie

También en este momento ella leyó Disquisitiones arithmeticae (Investigaciones aritméticas) de Carl Friedrich Gauss, y entró en una correspondencia con él bajo el seudónimo de Le Blanc. En 1807, cuando las tropas francesas ocuparon Hannover, temió por la seguridad de Gauss en Göttingen. Esperando que no se repitiera la muerte de Arquímedes en la persona de Gauss, se comunicó con un comandante francés que era amigo de su familia. De esta manera, Gauss llegó a conocer su verdadera identidad. 

Entre su trabajo en teoría de números, Germain trabajó en el famoso problema llamado último teorema de Fermat, que fue resuelto por Andrew Wiles en 1994. El teorema es una conjetura de Pierre de Fermat, que establece que no hay soluciones enteras x, y, z a la ecuación x^{n}+y^{n}=z^{n} si n es un número entero mayor que dos. Germain pudo demostrar que no existen soluciones enteras positivas si x, y, z son relativamente primos (no tienen divisores comunes) entre sí y n, donde n es cualquier primo menor que 100. 

Germain estaba interesada en matemática más allá de la teoría de números; de hecho, hizo contribuciones a la matemática aplicada y la filosofía. En 1808, el físico alemán Ernst Chladni visitó París y realizó experimentos de acústica y elasticidad. Tomaría una placa horizontal de metal o vidrio, rociaría arena uniformemente sobre ella y luego causaría vibraciones en la placa frotando el borde con un arco de violín. Las oscilaciones resultantes moverían las partículas de arena a ciertos grupos estables, llamados figuras de Chladni. En 1811, la Académie des Sciences ofreció un premio por la mejor explicación del fenómeno; el desafío era formular una teoría matemática de las superficies elásticas que estuviera de acuerdo con las figuras de Chladni. 

Germain intentó resolver el problema, y después de una serie de revisiones y concursos subsecuentes, ganó el premio en 1816 con un artículo que llevaba su propio nombre. Su trabajo trataba las vibraciones de las superficies elásticas curvas y planas en general. En 1821, ella produjo una versión mejorada de su trabajo premiado, en la que afirmó que la ley para la superficie elástica vibratoria general está dada por una ecuación diferencial parcial de cuarto orden. Uno de los conceptos que desempeña un papel en este trabajo fue la noción de curvatura media, que era un promedio de las curvaturas principales, es decir, las curvaturas de una superficie en dos direcciones perpendiculares. 

En trabajos posteriores, Germain amplió la física de las superficies elásticas curvadas vibrantes, teniendo en cuenta el efecto de grosor variable. También contribuyó a la filosofía, desarrollando el concepto de unidad de pensamiento: que la ciencia y las humanidades siempre estarían unificadas con respecto a su motivación, metodología e importancia cultural. Ella murió el 27 de junio de 1831 en París.   

El trabajo de Germain no ha recibido muchos seguidores, y esto puede deberse en parte a su género. Su trabajo sobre teoría de números y ecuaciones diferenciales fue de la más alta calidad, y ella contribuyó al desarrollo de la geometría diferencial a través de su noción de curvatura media.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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Conocido como el “príncipe de las matemáticas”, Carl Gauss a menudo se clasifica con Sir Isaac Newton y Arquímedes de Siracusa como el principal pensador; ciertamente, entre sus contemporáneos no tenía rivales, como incluso ellos reconocieron. Conservador, frío, introspectivo, brillante, prolífico, trágico y ambicioso: la vida de Gauss representa la del matemático ideal o arquetípico en muchos aspectos. Su trabajo se extendió a través de las matemáticas puras, incluidas la aritmética y la teoría de números, la geometría, el álgebra y el análisis; a las matemáticas aplicadas, probabilidad y estadística, mecánica y física; a las ciencias de la astronomía, geodesia, magnetismo y dioptras, a labores industriales en ciencia actuarial y valores financieros. Gauss fue un investigador de campo activo, empirista, analista de datos y estadístico, teórico e inventor, con más de 300 publicaciones y más de 400 ideas originales a lo largo de una larga vida de esfuerzo intenso y sostenido. Su genio floreció en una época de poca actividad matemática en Alemania, y es más notable por su estilo solitario. 

Carl Friedrich Gauss nació el 30 de abril de 1777, en Brunswick, Alemania, de padres de clase baja. La madre de Gauss era muy inteligente pero semi-analfabeta, y fue una ferviente defensora de su hijo a lo largo de su larga vida. Su padre trabajó en varias profesiones en un intento de sacar a su familia de la pobreza; de una inclinación práctica, nunca apreció los dones extraordinarios de su hijo, que se manifestaron a una edad temprana. Antes de poder hablar, Carl había aprendido a calcular y, a los tres años, ¡había corregido los errores en los cálculos salariales de su padre! En su octavo año, mientras estaba en su primera clase de aritmética, Gauss encontró una fórmula para la suma de los primeros n números consecutivos. Su maestro, adecuadamente impresionado, le proporcionó al niño literatura para alentar su desarrollo intelectual.  

En 1788, a la edad de 11 años, el niño prodigio ingresó al Gymnasium, donde progresó rápidamente en todos sus estudios, especialmente los clásicos y matemática. Gracias a la benevolencia de sus maestros, el duque de Brunswick le asignó un estipendio, lo que lo hizo independiente; Gauss tenía 16 años en ese momento. En 1792 ingresó en el Collegium Carolinum, que ya poseía una educación científica completa. Sus extensos cálculos e investigaciones empíricas lo habían llevado a una profunda familiaridad con los números y sus propiedades; él ya había descubierto independientemente la ley del movimiento planetario de Bode y el teorema binomial para exponentes racionales. 

Mientras estaba en el Collegium, Gauss continuó sus investigaciones en aritmética empírica y formuló el principio de mínimos cuadrados utilizado en estadística. En 1795 ingresó en la Universidad de Göttingen, y para entonces había redescubierto la ley de la reciprocidad cuadrática, relacionado la media aritmético-geométrica con los desarrollos de series infinitas, conjeturado el teorema del número primo y encontrado algunos resultados tempranos en la geometría no euclidiana. Gauss leyó a Newton, pero la mayoría de los clásicos matemáticos no estaban disponibles; como resultado, casi se convirtió en filólogo. Sin embargo, en 1796 hizo el importante descubrimiento de que el 17-ágono regular podía construirse con regla y compás, un problema pendiente que no se había resuelto durante 2.000 años. Este éxito lo motivó a seguir el camino de la matemática. 

Su destino como matemático quedó establecido, y los años hasta 1800 estuvieron marcados por una notable profusión de ideas. En estilo, Gauss adoptó el rigor de la geometría griega, aunque pensó algebraicamente y numéricamente. Persiguió intensas investigaciones empíricas, seguidas por la construcción de teorías rigurosamente establecidas. Este enfoque de la ciencia aseguraba que había una estrecha conexión entre la teoría y la práctica. 

En 1798, terminada la universidad, Gauss regresó a Brunswick, donde vivió solo y trabajó asiduamente. El año siguiente presentó la prueba del teorema fundamental del álgebra, que establece que cualquier polinomio de grado n tiene exactamente n raíces en los números complejos; con este resultado, la primera de las cuatro pruebas que escribiría para este teorema, obtuvo su doctorado en la Universidad de Helmstedt. El año 1801 marcó dos grandes logros para Gauss: las Disquisitiones arithmeticae (Investigaciones aritméticas) y el cálculo de la órbita del recién descubierto planeta Ceres. El primero fue un resumen sistemático del trabajo previo en teoría de números, en el que resolvió la mayoría de las preguntas pendientes difíciles y formuló conceptos que influirían en la investigación futura durante dos siglos. Introdujo el concepto de congruencia modular, probó la ley de la reciprocidad cuadrática, desarrolló la teoría de las formas cuadráticas y analizó la ecuación ciclotómica. Este libro ganó la fama y el reconocimiento de Gauss entre los matemáticos como su “príncipe”, pero su estilo austero aseguró que sus lectores fueran pocos. En cuanto a Ceres, era un planeta nuevo que había sido observado por Giuseppe Piazzi y posteriormente se perdió de vista. Gauss, equipado con sus talentos computacionales, se encargó de ubicar el cuerpo celeste. Con una teoría de órbita más precisa, que utilizaba una órbita elíptica en lugar de circular, y sus métodos numéricos de mínimos cuadrados, pudo predecir la ubicación de Ceres. Debido a que no reveló sus métodos, la hazaña parecía sobrehumana y estableció a Gauss como un genio científico de primera clase. 

Durante la próxima década, Gauss explotó las ideas científicas de los 10 años anteriores. Pasó de matemático puro a astrónomo y científico físico. Aunque fue tratado bien por el duque de Brunswick, que todavía lo apoyaba con un estipendio, Gauss decidió tomar la astronomía como carrera estable en la que podría seguir investigando sin la carga de la enseñanza; en 1807 aceptó la dirección del observatorio de Göttingen. Hizo algunos contactos entre otros científicos que brotaron en colaboraciones, pero tuvo poca interacción con otros matemáticos: intercambió algunas cartas con Sophie Germain y más tarde tuvo a Gustav Peter Lejeune Dirichlet y Bernhard Riemann como estudiantes, pero no trabajó de cerca con ninguna de estas personas. Esto parece deberse a su arraigada introspección, una consecuencia de sus poco apreciados talentos de la infancia, y una ambición de conducción que lo hizo no estar dispuesto a compartir el descubrimiento con los demás. Gran parte del trabajo de Gauss fue inédito, aparentemente porque creía que no era digno de difusión; la verdadera razón parece ser su secretismo posesivo que fomentó la renuencia a revelar sus métodos. 

En este período de tiempo, se fijaron las opiniones políticas de Gauss: un acérrimo conservador, estaba desconcertado por el caos de la revolución y era escéptico de la democracia. En filosofía fue un empirista, rechazando el idealismo de Immanuel Kant y Georg Hegel. También experimentó algo de felicidad personal en este momento; en 1805 se casó con Johanna Osthoff, con quien engendró una hija y un hijo. Pero en 1809 murió en el parto, y Gauss se sumió en la soledad. Aunque pronto se volvió a casar con Minna Waldeck, este matrimonio fue menos feliz, ya que a menudo estaba enferma. Gauss dominó a sus hijas y peleó con sus hijos, que dejaron Alemania para irse a Estados Unidos. 

En sus primeros años en Göttingen, Gauss tuvo otra oleada de ideas matemáticas sobre funciones hipergeométricas, la aproximación de la integración y el análisis de la eficacia de estimadores estadísticos. Sus deberes astronómicos devoraron gran parte de su tiempo, pero continuó con las investigaciones matemáticas en sus momentos libres. En este momento desarrolló muchas de las nociones de la geometría no euclidiana, elaborada desde sus primeros años en Göttingen como estudiante. Sin embargo, su conservadurismo lo hizo reacio a aceptar la verdad de sus descubrimientos, y no estaba dispuesto a enfrentar el ridículo público que acompañaba a tales matemáticas novedosas. Esto condujo a argumentos posteriores sobre la prioridad con János Bolyai, quien desarrolló independientemente la geometría no euclidiana a pesar de la influencia negativa de Gauss. 

Los esfuerzos de Gauss en ciencia también fueron considerables, pero los repasaremos brevemente y nos centraremos en sus aspectos matemáticos. En 1817 Gauss se interesó en la geodesia, la medida de la Tierra. Completó, después de muchos obstáculos administrativos, la triangulación de Hannover 30 años después. Como resultado de su arduo trabajo de campo, inventó el heliotropo, un dispositivo que podría actuar como un faro incluso durante el día al reflejar la luz solar. Su trabajo en geodesia inspiró las primeras matemáticas de la teoría potencial, y el mapeo de una superficie a otra, un concepto importante en la geometría diferencial. También se sintió estimulado a continuar su investigación en estadística matemática, y sus Disquisitiones generales circa superficies curves (Investigaciones generales de superficies curvas) de 1828 alimentarían más de un siglo de actividad en geometría diferencial. En 1825, Gauss obtuvo nuevos resultados sobre la reciprocidad bicuadrática y estaba trabajando en geometría no euclidiana y funciones elípticas. Disminuyendo la velocidad debido a la edad, Gauss recurrió a la física y el magnetismo para una nueva inspiración. En 1829 declaró la ley de menor restricción, y en 1830 contribuyó al tema de la capilaridad y el cálculo de variaciones. El año 1830-1831 fue bastante difícil, ya que Gauss estaba afligido por un problema cardíaco y su esposa murió de tuberculosis. En este momento, Gauss comenzó a colaborar con Wilhelm Weber en magnetismo e inventó el primer telégrafo en 1834. El trabajo de Gauss en 1839 basado en datos de observatorios magnéticos de todo el mundo expresó el potencial magnético en la superficie de la Tierra mediante una serie infinita de funciones esféricas. Su fructífera colaboración con Weber ya había terminado con el exilio de este último por razones políticas. En 1840 Gauss dio un tratamiento sistemático de la teoría potencial como un tema matemático, y en 1841 analizó el camino de la luz a través de un sistema de lentes. 

Desde principios de la década de 1840, la productividad de Gauss disminuyó gradualmente. Tenía más gusto por la enseñanza, y Dedekind y Riemann estaban entre sus alumnos más dotados. Trabajando en ciencia actuarial, recopiló muchas estadísticas de publicaciones periódicas; esta información lo ayudó en sus especulaciones financieras, que lo hicieron bastante rico. Su salud gradualmente falló, hasta que murió en su sueño el 23 de febrero de 1855, en Göttingen. 

Gauss fue uno de los matemáticos más grandes de todos los tiempos. Más tarde, los matemáticos, ignorantes de que Gauss ya se había ido antes que ellos, replicaron muchos de sus descubrimientos. Su nombre está asociado con muchas áreas diversas de la matemática, y su impacto no puede ser sobreestimado.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Los números más simples de entender y usar son los números enteros y los números racionales. Los números irracionales parecen plantear problemas. Famoso entre ellos es \sqrt{2}. No se puede escribir como un número decimal finito o con cifras que se repiten (porque no es racional), pero puede ser muy fácilmente manipulado de manera algebraica. Sólo es necesario reemplazar todas las apariciones de (\sqrt{2})^2 por 2. De este modo expresiones de la forma m + n\sqrt{2}, donde m y n son números enteros, se pueden manejar aritméticamente. Estas expresiones tienen muchas propiedades similares a las de los números enteros, y los matemáticos incluso han definido los números primos de esta forma; por lo tanto, se denominan enteros algebraicos. En este caso lo hemo obtenido al considerar sobre los números racionales una solución de la ecuación polinómica x^2 - 2 = 0. En general un entero algebraico es cualquier solución, real o compleja, de una ecuación polinómica con coeficientes enteros en la que el coeficiente de la potencia más alta de la incógnita es 1.

La teoría de números enteros algebraicos de Gauss dio lugar a la cuestión de determinar cuándo un polinomio de grado n con coeficientes enteros se puede resolver dada la solvencia de las ecuaciones polinómicas de grado menor pero con coeficientes que son enteros algebraicos. Por ejemplo, Gauss consideró las coordenadas de los 17 vértices de una figura regular de 17 lados como números complejos que satisfacen la ecuación x^{17} - 1 = 0 y por lo tanto como números enteros algebraicos. Uno de tales enteros es 1. Él mostró que el resto se obtiene resolviendo una sucesión de cuatro ecuaciones cuadráticas. Debido a que la solución de una ecuación cuadrática es equivalente a realizar una construcción con regla y compás, como Descartes había mostrado mucho antes, Gauss había demostrado cómo construir el 17-ágono regular.

Inspirado por las obras de Gauss sobre la teoría de los números, una escuela cada vez mayor de matemáticos se sintió atraída por el tema. Al igual que Gauss, el matemático alemán Ernst Eduard Kummer trató de generalizar la ley de reciprocidad cuadrática (ver entrada anterior) para hacer frente a preguntas sobre las potencias tercera, cuarta y más altas de números. Él vio que su trabajo lo llevaba en una dirección inesperada, hacia una resolución parcial del último teorema de Fermat. En 1637, Fermat escribió en el margen de su ejemplar de la Aritmética de Diofanto la pretensión de tener una prueba de que no hay soluciones en números enteros positivos a la ecuación x^n+y^n=z^n si n> 2. Sin embargo, ninguna prueba se descubrió entre sus notas.

El enfoque de Kummer fue el desarrollo de la teoría de números enteros algebraicos. Si se podía demostrar que la ecuación no tenía solución en números enteros algebraicos adecuados, entonces, a fortiori, no podía haber una solución en números enteros ordinarios. Él fue finalmente capaz de establecer la verdad del último teorema de Fermat para una clase grande de exponentes primos n (aquellos que cumplen algunas condiciones técnicas necesarias para hacer que la demostración funcione). Este fue el primer avance significativo en el estudio del teorema. Junto con el trabajo anterior de la matemática francesa Sophie Germain, permitió a los matemáticos establecer el último teorema de Fermat para cada valor de n de 3 a 4 millones. Sin embargo, el camino de Kummer en torno a las dificultades que encontró impulsó aún más la teoría de números enteros algebraicos al reino de la abstracción. Ascendió a la sugerencia de que no debía haber incluso otros tipos de números enteros, pero muchos encontraron oscuras estas ideas.

En Alemania, Richard Dedekind pacientemente creó un nuevo enfoque, en el que se definió cada nuevo número (llamado un ideal) por medio de un conjunto adecuado de enteros algebraicos, de tal manera que era el divisor común del conjunto de los enteros algebraicos utilizado para definirlo. El trabajo de Dedekind fue lento en cuanto a la obtención de una aprobación, sin embargo, ilustra varias de las características más profundas de la matemática moderna. Estaba claro para Dedekind que los enteros algebraicos ideales eran obra de la mente humana. Su existencia no puede basarse ni deducirse de la existencia de objetos físicos, deanalogías con procesos naturales, o de algún proceso de abstracción de cosas más familiares. Una segunda característica de la obra de Dedekind fue que se basó en la idea de conjuntos de objetos, tales como conjuntos de números, incluso conjuntos de conjuntos. El trabajo de Dedekind mostró como base la concepción ingenua de lo que un conjunto podría ser. La tercera característica crucial de su trabajo fue su énfasis en los aspectos estructurales del álgebra. La presentación de la teoría de números como una teoría acerca de objetos que pueden ser manipulados (en este caso, sumados y multiplicados) de acuerdo con ciertas reglas similares a las que rigen para los números ordinarios iba a ser un paradigma de las teorías más formales del siglo XX.

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