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Posts Tagged ‘Sophus Lie’

Hermann Weyl, uno de los grandes matemáticos de principios del siglo XX, desarrolló con éxito las ideas de otros en teorías rigurosas. Sus documentos son notables por su originalidad y profundidad de conocimiento, y su trabajo ha ejercido una gran influencia en la investigación actual.

Hermann Weyl nació el 9 de noviembre de 1885 en Elmshorn, Alemania. Cuando era niño, asistió al Gymnasium en Altona e ingresó a la Universidad de Gotinga a los 18 años. Permaneció allí durante varios años estudiando matemática. Después de obtener su título, se convirtió en profesor en la Universidad de Zurich en 1913.

Weyl había estudiado con David Hilbert en Gotinga y seguramente fue uno de sus alumnos más talentosos. El primer trabajo importante de Weyl, que data de 1910, fue sobre la teoría espectral de las ecuaciones diferenciales, que era un área que Hilbert también estaba investigando. En 1911 comenzó a estudiar la teoría espectral de ciertos operadores en los llamados espacios de Hilbert. Sus métodos proporcionaron una idea geométrica de estos espacios abstractos y se convirtieron en técnicas importantes dentro del análisis funcional.

En 1916 Weyl publicó un famoso artículo sobre teoría analítica de números, que trata la distribución de ciertas secuencias especiales de números. Con un ingenio característico, dio una solución novedosa a preguntas no resueltas haciendo conexiones con la teoría de la integración. Sus técnicas han seguido siendo relevantes para la teoría aditiva de números.

Después de este trabajo en teoría de números, Weyl volvió a la geometría (anteriormente, en 1913, había dado una base rigurosa para la definición intuitiva de una variedad riemanniana). En 1915 atacó un problema relacionado con ciertas deformaciones de superficies convexas, y describió un método de demostración que finalmente resultaría fructífero. Weyl vió interrumpido su trabajo a raíz de la Primera Guerra Mundial, pero fue liberado del servicio militar en 1916. En Zurich trabajó con Albert Einstein y, en consecuencia, se interesó en la teoría general de la relatividad. Se propuso proporcionar una base matemática para las ideas físicas, descubriendo el concepto de conexión lineal. Élie-Joseph Cartan desarrolló aún más esta importante idea.

En la década de 1920, Weyl se interesó en los grupos de Lie, y sus artículos sobre este tema son probablemente los más importantes e influyentes. Parte del genio de su enfoque fue el uso de métodos topológicos sobre objetos algebraicos como los grupos de Lie. Sophus Lie había introducido los grupos de Lie como un nuevo e interesante campo de la matemática, pero Weyl avanzó mucho en esta rama a través de su nueva metodología.

Como matemático, Weyl creía en la importancia de las teorías abstractas, y creía que eran capaces de resolver problemas clásicos cuando se combinaban con un pensamiento cuidadoso y penetrante. Difirió con el formalista Hilbert en la filosofía de los fundamentos matemáticos, y en su lugar aceptó el intuicionismo de Luitzen Egbertus Jan Brouwer. Sin embargo, en muchos otros aspectos, mostró la influencia de Hilbert. En 1930 sucedió a Hilbert en Gotinga, pero decidió abandonar la Alemania nazi en 1933, llegando al Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. Permaneció en los Estados Unidos hasta que se retiró en 1951. Dividió los últimos años de su vida entre Princeton y Zurich. Murió el 8 de diciembre de 1955.

Hermann Weyl realizó varias contribuciones significativas a la teoría de números, la geometría y las ecuaciones diferenciales. Cuando resolvía un problema difícil, a menudo ideaba una técnica completamente nueva para la demostración; Estos nuevos métodos generalmente se convirtieron en herramientas estándar o, a veces, condujeron a nuevas áreas de investigación. Su trabajo sobre la teoría de los grupos de Lie proporcionó una base para avances posteriores.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Karl Weierstrass ha sido descrito como el padre del análisis moderno. De hecho, sus rigurosos estándares de rigor se han incorporado a la disciplina moderna del análisis, y muchos de los métodos y temas se deben a él. Weierstrass también hizo contribuciones fundamentales al análisis complejo y la teoría de las funciones elípticas.

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass nació el 31 de octubre de 1815 en Ostenfelde, Alemania. Su padre, Wilhelm Weierstrass, era un funcionario público altamente educado. La madre de Weierstrass se llamaba Theodora Vonderforst, y Weierstrass era el mayor de cuatro hijos. Cuando Weierstrass tenía ocho años su padre se convirtió en inspector de impuestos, lo que implicaba una constante reubicación. En 1827 murió su madre.

La familia se estableció en 1829 cuando el padre de Weierstrass consiguió un puesto más permanente en Paderborn, y Weierstrass asistió a la escuela secundaria local. Allí se destacó en matemática por encima de todas las materias, y desarrolló una facilidad inusual y amor por esta disciplina. Ya estaba leyendo el famoso Journal de Crelle en 1834 cuando ingresó a un programa de finanzas en la Universidad de Bonn. La carrera de finanzas no era elección de Weierstrass sino de su padre; en rebeldía y con espíritu de aflicción Weierstrass desperdició sus años universitarios con exceso de alcohol y mucho tiempo de dedicación a la esgrima. Aunque no asistía a la mayoría de sus clases, Weierstrass continuó con sus clases privadas.

En 1840, Weierstrass aprobó sus exámenes con excelentes resultados, habiendo demostrado una cierta derivación de Niels Henrik Abel a partir de una ecuación diferencial; su examinador pensó que la prueba era digna de publicación. Weierstrass pasó a enseñar en la escuela secundaria de Münster, y escribió tres artículos entre 1841 y 1842 sobre variables complejas. En estos documentos reformuló el concepto de función analítica en términos de series de potencias convergentes, en oposición al típico enfoque a través de la diferenciación. Mientras tanto, enseñó una variedad de temas, como historia, geografía e incluso gimnasia, y se aburrió por completo. La carga de trabajo era bastante pesada, porque realizaba investigaciones sobre matemática teórica en cada momento libre. Este ajetreo puede haber causado sus problemas de salud posteriores, que comenzaron en 1850: sufrió ataques de mareos, seguidos de náuseas.

Weierstrass trabajó en Brauensberg desde 1848, pero después de la publicación en 1854 de su Toward the Theory of Abelian Functions, que fue ampliamente aclamado por los matemáticos, recibió varias ofertas de universidades destacadas. Este artículo esbozaba la representación de funciones abelianas como series de potencias convergentes, y la Universidad de Königsberg le confirió un doctorado honorario en 1854. Ernst Eduard Kummer intentó conseguir un puesto para Weierstrass en la Universidad de Breslau, pero este intento fracasó. Weierstrass permaneció como profesor titular en Brauensberg hasta 1856, cuando aceptó el trabajo de sus sueños en la Universidad de Berlín. Mientras tanto, publicó un seguimiento de su artículo de 1854, que daba todos los detalles de su método de inversión de integrales hiperelípticas.

El mandato de Weierstrass en Berlín, junto con Kummer y Leopold Kronecker, convirtió a esa escuela en la meca matemática de Alemania en ese momento. Las concurridas conferencias de Weierstrass de los próximos años dan una idea de la diversidad y la profundidad de su investigación matemática: en 1856 discutió la teoría de las funciones elípticas aplicadas a la geometría y la mecánica, en 1859 abordó los fundamentos del análisis y en 1860 impartido conferencias sobre cálculo integral. Sus investigaciones produjeron una función continua que no era diferenciable en ninguna parte; la existencia de una función tan extraña destrozó la excesiva dependencia de la mayoría de los analistas en la intuición, ya que hasta ese momento los matemáticos solo podían concebir la no diferenciabilidad que ocurre en puntos aislados. El curso de Weierstrass de 1863 fundó la teoría de los números reales, un área en la que otros matemáticos como Richard Dedekind y George Cantor, también trabajarían. Él demostró que los números complejos son la única extensión algebraica conmutativa de los números reales, un resultado que Carl Friedrich Gauss declaró anteriormente pero nunca probó.

Los problemas de salud de Weierstrass continuaron y experimentó un colapso total en 1861; se tomó el año siguiente para recuperarse, pero nunca fue el mismo. A partir de ese momento, tuvo un asistente para escribir sus conferencias, y los dolores crónicos en el pecho reemplazaron su mareo.

Weierstrass organizó sus diversas conferencias en cuatro cursos principales: funciones analíticas, funciones elípticas, funciones abelianas y el cálculo de variaciones. Los cursos eran frescos y estimulantes, ya que gran parte del material era su propia investigación innovadora. Es un testimonio del legado de su estilo que los cursos modernos de análisis siguen la progresión de temas de Weierstrass, incluido el concepto de serie de potencia de una función, continuidad y diferenciabilidad y continuación analítica.

Weierstrass colaboró con Kummer y Kronecker de manera rentable durante muchos años, pero luego él y Kronecker se separaron de las ideas radicales de Cantor; Weierstrass apoyaba las ideas innovadoras de Cantor en teoría de conjuntos, pero Kronecker no podía aceptar las construcciones patológicas. Weierstrass tuvo muchos estudiantes excelentes, algunos de los cuales se convirtieron en matemáticos famosos, como Cantor, Sophus Lie y Felix Klein. Instruyó en privado a Sofia Vasilyevna Kovalévskaya, a quien no se le permitió inscribirse formalmente debido a su género. Weierstrass tuvo una gran relación intelectual con esta mujer, a quien ayudó a encontrar un puesto adecuado.

Weierstrass estaba muy preocupado por el rigor matemático. Sus altos estándares quedaron impresos para la generación siguiente y provocaron una intensiva investigación sobre los fundamentos de la matemática, como la construcción del sistema de números reales. Los estudios de convergencia de Weierstrass lo llevaron a distinguir diferentes tipos, lo que provocó la investigación en varias topologías para espacios de funciones. Estudió el concepto de convergencia uniforme, que preserva la continuidad, e ideó varias pruebas para la convergencia de series y productos infinitos. Su enfoque de publicación fue cuidadoso y metódico, por lo que sus publicaciones fueron pocas pero extremadamente profundas y exactas.

Weierstrass continuó enseñando hasta 1890. Sus últimos años se dedicaron a publicar los trabajos recopilados de Jakob Steiner y Carl Jacobi. Murió de neumonía el 19 de febrero de 1897 en Berlín, Alemania. Sus contribuciones a la matemática, en particular al análisis real y complejo, fueron extensas y de gran alcance, lo que le valió el epíteto de “padre del análisis moderno”. Su influencia también se extendió a través de la gran cantidad de estudiantes talentosos a quienes dirigió y que además desarrolló sus ideas en varias nuevas direcciones. Desde sus humildes comienzos como profesor de secundaria, Weierstrass logró grandes cosas para el campo de la matemática.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Una de las ramas más populares y elegantes de la matemática en el siglo XX ha sido la teoría de grupos de Lie. Esta disciplina combina ideas de álgebra, geometría y análisis, y es relevante para la física teórica. Sophus Lie descubrió estos objetos por primera vez y, por lo tanto, fundó una arena fructífera para futuras investigaciones. 

Marius Sophus Lie, comúnmente conocido como Sophus Lie, nació el 17 de diciembre de 1842 en Nordfjordeide, Noruega. Fue el sexto y más joven hijo de Johann Lie, un pastor luterano. Asistió a una escuela local y, desde 1857 hasta 1859, estudió en la Private Latin School de Nissen en Oslo. De 1859 a 1865 continuó su educación en la Universidad de Christiania en Oslo. Originalmente mostró poco interés en la matemática. Después de su examen en 1865, Lie dio lecciones privadas y se interesó por la astronomía. 

La vida de Lie adquirió una nueva dirección después de que descubriera en 1868 algunos artículos geométricos de los matemáticos Jean-Victor Poncelet y Julius Plücker. La idea de que el espacio podría estar formado por líneas en lugar de puntos tuvo un profundo impacto en la concepción de la geometría de Lie. Obtuvo una beca en el extranjero, viviendo en Berlín durante el invierno de 1869, donde conoció a Felix Klein. Los esfuerzos científicos de ambos hombres se beneficiaron enormemente de la amistad que siguió. Klein era un algebraista intrigado por problemas particulares, mientras que Lie era un geómetra y analista interesado en generalizar conceptos. 

Pasaron el verano de 1870 en París, donde entraron en contacto con Camille Jordan y Gaspard Monge, así como con otros matemáticos franceses. Lie descubrió su famosa transformación, que fue un importante descubrimiento geométrico inicial: fue un primer paso hacia su posterior desarrollo de la teoría de los grupos de Lie. La guerra franco-prusiana estalló el mismo año, y Lie fue arrestado como espía mientras caminaba por el campo. Pronto fue liberado y logró escapar de Francia antes del bloqueo de París. En 1871 regresó a Oslo, donde enseñó en la Private Latin School de Nissen. Obtuvo su doctorado en 1872.  

En este momento, Lie desarrolló la teoría de integración de las ecuaciones diferenciales parciales, que todavía se enseña como método clásico en textos matemáticos. Su trabajo inicial sobre geometría diferencial más tarde lo llevó a su importante trabajo sobre grupos de transformación y ecuaciones diferenciales. El grupo de transformación, más tarde conocido como grupo Lie, trajo herramientas algebraicas para abordar problemas geométricos y analíticos, y en particular resultó ser un poderoso enfoque de las ecuaciones diferenciales parciales. Aunque estas ideas no fueron aceptadas inicialmente, en gran parte debido al estilo engorroso de presentar ideas analíticas que estaba de moda en ese momento, su importancia para la matemática moderna no se puede sobreestimar. Completó su trabajo sobre los grupos de Lie en la década de 1870, pero su publicación llevó varias décadas de esfuerzo. 

En 1872 se creó una cátedra de matemática para Lie en la Universidad de Christiania. Además de la investigación mencionada sobre las transformaciones de contacto, estaba ocupado editando los trabajos recopilados de Niels Henrik Abel. Lie se casó con Anna Birch en 1874, y juntos criaron dos hijos y una hija. 

En Oslo Lie se mantuvo aislado de otros matemáticos; no tenía alumnos, y solo dos matemáticos, Klein y Emile Picard, prestaron atención a su trabajo. Friedrich Engel ayudó a Lie en la publicación de un extenso texto sobre grupos de transformación, que apareció dividido en tres partes entre 1888 y 1893. Su trabajo paralelo sobre la transformación de contacto y las ecuaciones diferenciales parciales con Felix Hausdorff no se completó. En 1886, Lie llegó a Leipzig sucediendo a Klein, y su situación de colaboración mejoró. 

La salud de Lie había sido excelente, y fue descrito como un hombre de corazón abierto y de gran estatura. Sin embargo, en 1889 fue golpeado con una enfermedad mental. Cuando reanudó el trabajo en 1890, su carácter había cambiado mucho, ahora era paranoico y beligerante. Finalmente, regresó a la Universidad de Christiania con el atractivo de una silla especial en 1898. Murió un año después, el 18 de febrero de 1899 en Oslo, por anemia. 

El trabajo de Lie revolucionó el estudio de la geometría y las ecuaciones diferenciales, ya que las técnicas teóricas y algebraicas de grupo ahora podían resolver problemas. El estudio de los grupos de Lie finalmente se convirtió en una disciplina propia. El aprecio por el trabajo de Lie creció gradualmente. Inicialmente, Engel e Issai Schur desarrollaron aún más sus ideas, y más tarde Picard, Killing, Élie-Joseph Cartan y Hermann Weyl continuaron el trabajo teórico de Lie en el siglo XX. A principios del siglo XX, se descubrieron las álgebras de Lie, y el trabajo original de Lie se ha generalizado de muchas maneras. Una razón para la popularidad perdurable de su pensamiento es la aplicación de los grupos de Lie a la física cuántica.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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