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Aritmética simbólica «versus» aritmética geométrica

Posted in Análisis de Variable Compleja, tagged Argumento de un número complejo, Multiplicación de números complejos, Números complejos, Operaciones elementales, Suma módulo 10 on 12 diciembre 2013| Leave a Comment »

Es usual emplear las reglas simbólicas y las reglas geométricas para operar con números complejos indistintamente, pero es hora de que justifiquemos nuestro proceder demostrando que estas reglas son efectivamente equivalentes. La equivalencia entre las reglas de la adición deberían ser familiares para aquellos que han estudiado vectores, por lo que no me detendré aquí en ellas. Por lo tanto, centremos nuestra atención en la equivalencia de las reglas de multiplicación de números complejos:

(1) Regla geométrica: El módulo de $AB$ es el producto de los módulos de $A$ y $B$ , y el argumento de $AB$ es la suma de los argumentos de $A$ y $B$ .

(2) Regla simbólica: $AB=(a + i\tilde{a})(b + i\tilde{b})=(ab-\tilde{a}\tilde{b})+i(a\tilde{b}+\tilde{a}b).$

En primer lugar vamos a mostrar cómo la regla simbólica se puede derivar de la regla geométrica. Para ello vamos a reformular la regla geométrica (1) de una manera particularmente útil e importante. Sea $z$ un punto cualquiera de $\mathbb{C}$ , y analicemos lo que ocurre con él -a dónde se mueve- cuando se lo multiplica por un número complejo fijo $A=R\angle\phi$ . Si recordamos la multiplicación de números complejos en coordenadas polares vista en «Coordenadas cartesianas y polares de números complejos«, el módulo de $z$ es magnificado o ampliado por $R$ , mientras que el ángulo o argumento de $z$ se incrementa en $\phi$ . Ahora imaginemos que esto le ocurre de forma simultánea a todos los puntos del plano:

Geométricamente, la multiplicación por un número complejo $A=R\angle\phi$ es una rotación del plano respecto de un ángulo $\phi$ , y una expansión del plano por el factor $R$ .

Merece la pena hacer algunos comentarios:

Tanto la rotación como la expansión se centran en el origen.
No hay ninguna diferencia si hacemos la rotación seguida por la expansión o la expansión seguida de la rotación.
Si $R <1$ , entonces la «expansión» es en realidad una contracción.

La Figura 1 ilustra el efecto de tal transformación, donde las formas celestes se transforman en las formas naranjas. [En este ejemplo, $A=1+i\sqrt{3}=2\angle\frac{\pi}{3}$ .]

Figura 1

Ahora es una cuestión sencilla deducir la regla simbólica a partir de la regla geométrica. Recordemos los pasos esenciales tomados por Bombelli al derivar (2): (i) $i^{2} = -1$ ; (ii) Los paréntesis se pueden multiplicar, es decir, si $A$ , $B$ y $C$ son números complejos, entonces $A (B + C) = AB + AC$ . Ya hemos visto que la regla geométrica nos da (i), y la figura anterior revela ahora que (ii) también es cierto, por la sencilla razón de que las rotaciones y las dilataciones preservan paralelogramos. Por la definición geométrica de la adición, $B + C$ es el cuarto vértice del paralelogramo con vértices $0$ , $B$ y $C$ . Para establecer (ii), es suficiente observar simplemente que la multiplicación por $A$ gira y expande este paralelogramo en otro paralelogramo con vértices $0$ , $AB$ , $AC$ y $A (B + C)$ . Esto completa la derivación de (2).

Recíprocamente, demostremos ahora cómo la regla geométrica se puede derivar de la regla simbólica. Comencemos considerando la transformación $z\mapsto iz$ . De acuerdo con la regla simbólica, esto significa que $(x + iy) \mapsto (-y + ix)$ . Analice el applet a continuación:

Clic sobre la imagen

Se nos revela que $iz$ gira $z$ en un ángulo recto. Ahora utilicemos este hecho para interpretar la transformación $z\mapsto Az$ , donde $A$ es un número complejo en general. Cómo se hace esto puede ser comprendido suficientemente bien con el ejemplo $A=4+3i=5\angle\phi$ , donde $\phi=\tan^{-1}(3/4)$ . Véase la Figura 2.

Figura 2

La regla simbólica dice que los paréntesis se pueden multiplicar, así que nuestra transformación se puede reescribir de la siguiente manera:

Esto se visualiza en la Figura 3. Ahora podemos ver que los triángulos en las Figuras 2 y 3 son semejantes, por lo que la multiplicación por $5\angle\phi$ en efecto, rota el plano un ángulo $\phi$ , y lo expande por $5$ .

Figura 3

Por lo tanto, de ahora en más, cada vez que necesitemos sumar o multiplicar números complejos podremos elegir la manera más cómoda para hacerlo, dependiendo del contexto en el que estemos inmersos.

Fuente bibliográfica:

Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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16 dígitos mágicos

Posted in Aplicaciones de la Matemática, tagged Hans Peter Luhn, Suma módulo 10 on 15 diciembre 2010| Leave a Comment »

Cuán poca importancia damos a veces a 16 dígitos, sin embargo no usamos seguido nuestra tarjeta de crédito?

En gaussianos encontramos una interesante reseña acerca del significado de esos números, lo que demuestra otra aplicación de la matemática a la vida diaria. Detrás de esos números mágicos se encuentra un algoritmo debido a Hans Peter Luhn, un informático alemán, cuya explicación encontraremos en el artículo citado.