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Posts Tagged ‘Teón de Alejandría’

De los matemáticos de la antigüedad griega, Arquímedes debe ser considerado el más grande. Sus contribuciones a la geometría y a la mecánica, así como a la hidrostática, lo colocan en un pedestal más alto que sus contemporáneos. Y como sus obras fueron gradualmente traducidas e introducidas en Occidente, ejerció una influencia tan grande allí como su pensamiento ya lo había hecho en Bizancio y Arabia. En su método de agotamiento puede verse un predecesor clásico del cálculo integral, que sería desarrollado formalmente por Blaise Pascal, Gottfried Leibniz, Sir Isaac Newton y otros en el siglo XVII. Sólo su historia de vida ha inspirado a muchos matemáticos.

Como con muchas personas antiguas, los detalles exactos de la vida de Arquímedes son difíciles de determinar, ya que hay varios relatos de calidad variable. Su padre era el astrónomo Fidias, y es posible que Arquímedes fuera pariente del tirano de Siracusa, el rey Hierón II. Ciertamente él era íntimo del rey, pues su trabajo El Contador de Arena fue dedicado a Gelón, hijo de Hierón. Nacido en Siracusa, Arquímedes partió a Alejandría para seguir una educación matemática; allí estudió con Euclides de Alejandría y asistió al desarrollo de la matemática euclidiana. Pero fue en Siracusa, a donde pronto volvió, donde hizo la mayor parte de sus descubrimientos.

Aunque famoso por sus contribuciones a la matemática, Arquímedes también diseñó numerosas invenciones mecánicas. El caracol de agua, inventado en Egipto para ayudar al riego, era un artefacto tipo tornillo usado para levantar agua. Más impresionantes son las historias relacionadas con su construcción y aplicación de la polea compuesta: Hierón había solicitado a Arquímedes que demostrara cómo una pequeña fuerza podía mover un gran peso. El matemático ató una cuerda a un gran buque mercante que estaba cargado de carga y pasajeros, y pasó la cuerda por un sistema de poleas. De esta manera, sentado a cierta distancia del buque, Arquímedes pudo arrastrar sin esfuerzo el barco a la orilla del puerto.

Arquímedes también descubrió la utilidad de la palanca, al observar que cuanto más larga es la distancia desde el fulcro, más peso podía mover la palanca. Extendiendo lógicamente este principio, afirmó que era factible mover el mundo dada una palanca suficientemente larga. Otra historia popular relata que Hierón le dio a Arquímedes la tarea de averiguar si una cierta corona estaba hecha de oro puro, o si se había adulterado fraudulentamente con plata. Cuando Arquímedes reflexionó sobre este rompecabezas se encontraba en pleno baño y notó que la cantidad de agua desplazada era igual a la cantidad de su cuerpo que estaba sumergida. Esto inmediatamente le disparó un método para resolver el problema de Hierón, y saltó de la bañera con alegría, corriendo desnudo hacia su casa, gritando “Eureka”. 

Su habilidad en objetos mecánicos fue inigualable, y Hierón aprovechó a menudo esto para mejorar las defensas de la ciudad, insistiendo en que el intelecto de Arquímedes debía ser puesto al servicio de alguna aplicación práctica. Cuando Marcelo y los romanos llegaron a atacar Siracusa, encontraron la ciudad inexpugnable debido a la multiplicidad de catapultas, brazos mecánicos, espejos ardientes y varios dispositivos balísticos que Arquímedes había construido. Arquímedes escribió un libro titulado On Spheremaking en el que describe cómo construir un modelo planetario diseñado para simular el movimiento del Sol, la Luna y los planetas. Parece que Arquímedes estaba familiarizado con el heliocentrismo de Arquitas, y lo utilizó en su planetario.

Según Plutarco, Arquímedes se dedicó a la teoría pura y desdeñaba las aplicaciones prácticas de la matemática a la ingeniería; sólo aquellos sujetos libres de cualquier utilidad para la sociedad eran considerados dignos de perseguir de todo corazón. Las obras matemáticas de Arquímedes consisten principalmente en estudios de área y volumen, y el análisis geométrico de la estática y la hidrostática. Al calcular el área o el volumen de varias figuras planas y sólidas, utiliza el llamado Lema de Arquímedes y el “método de agotamiento”. Este lema afirma que la diferencia de dos magnitudes desiguales puede ser formada en una proporción con cualquier magnitud semejante; así, la diferencia de dos líneas será siempre una línea y no un punto. El método de agotamiento consiste en sustraer indefinidamente una cantidad mayor que la mitad de una magnitud dada, y apunta a la idea de la eterna divisibilidad del continuo (que siempre se puede quitar la mitad de un número y todavía queda algo). Estas ideas se limitan a las nociones de lo infinitesimal -lo infinitamente pequeño- y a la idea de límite, que son ingredientes clave del cálculo integral; sin embargo, los griegos eran adversos a la noción de infinito e infinitesimales, y Arquímedes se apartaba de hacer cualquier cosa que él sentía sería considerado como absurdo.

El método de agotamiento, que se usó raramente en los Elementos de Euclides, se ilustrará a través del siguiente ejemplo: En Sobre la medida de un círculo, Arquímedes asume, en aras de la contradicción, que el área de un triángulo rectángulo con base igual a la circunferencia y altura igual al radio del círculo es realmente mayor que el área del círculo. Entonces él puede, usando el lema de Arquímedes, inscribir un polígono en el círculo, con la misma área que el triángulo; esta contradicción muestra que el área del triángulo no puede ser mayor que el círculo, y hace un argumento similar de que no puede ser menor.

El concepto básico del método de aproximación, que es similar al método de agotamiento, consiste en inscribir figuras regulares dentro de una figura plana y sólida tal que el área o el volumen restante se reduce constantemente; el área o el volumen de las figuras regulares se pueden calcular fácilmente, y ésta será una aproximación cada vez más exacta. El área o volumen restante está “agotado”. Por supuesto, la manera moderna de obtener una determinación exacta de la medida es a través del límite; Arquímedes evitó esta cuestión al demostrar que el área o el volumen restante podría hacerse tan pequeño como se deseara inscribiendo figuras más regulares. Por supuesto, uno podría realizar el mismo procedimiento circunscribiendo figuras regulares.

También aplicó estos métodos a los sólidos, calculando la superficie y el volumen de la esfera, y el volumen de conos y pirámides. Los métodos de Arquímedes eran a veces puramente geométricos, pero a veces usaban principios de estática, como un “método de equilibrio”. Su conocimiento de la ley de la palanca y el centro de gravedad del triángulo, junto con sus métodos de aproximación y agotamiento le permitieron mejorar demostraciones de teoremas conocidos, así como establecer resultados completamente nuevos.

Arquímedes también hizo algunas contribuciones en el ámbito del  cálculo numérico, produciendo algunas aproximaciones muy precisas para el número pi y para la raíz cuadrada de tres. En El contador de Arena crea una notación para números muy grandes y estima el número de granos de arena para llenar el universo. En Sobre el equilibrio de los planos prueba la ley de la palanca a partir de principios geométricos, y en Sobre los cuerpos flotantes  explica el concepto de presión hidrostática. El llamado Principio de Arquímedes establece que sólidos colocados en un fluido serán más ligeros en el fluido en una cantidad igual al peso del fluido desplazado.

Su influencia en la matemática posterior fue extensa, aunque Arquímedes pudo no haber gozado de mucha fama en su propia vida. Griegos posteriores, entre ellos Pappus de Alejandría y Teón de Alejandría, escribieron comentarios sobre sus escritos, y más tarde los autores bizantinos estudiaron su obra. Desde Bizancio sus textos llegaron a Occidente antes del comienzo del Renacimiento; mientras tanto, los matemáticos árabes conocían a Arquímedes y explotaron sus métodos en sus propias investigaciones sobre  secciones cónicas. En el siglo XII aparecieron traducciones del árabe al latín, de las que Leonardo de Pisa (Fibonacci) hizo uso en el siglo XIII. En los años 1400, el conocimiento de Arquímedes se había expandido por partes de Europa, y su matemática influyó más tarde en Simon Stevin, Johannes Kepler, Galileo Galilei y Bonaventura Cavalieri.

Tal vez la historia más conocida acerca de Arquímedes es la que relata su muerte, que se produjo en el año 212 a.C. durante el asedio de Siracusa por los romanos. Al parecer, no estaba preocupado por la situación cívica, y estaba ocupado haciendo diagramas en la arena de su casa (en ese momento tenía al menos 75 años de edad). Aunque el general romano Marcelo había dado órdenes estrictas para que el famoso matemático siciliano no fuera perjudicado, un soldado romano irrumpió en la casa de Arquímedes y arruinó su diagrama. Cuando el anciano matemático expresó verbalmente su disgusto, el soldado lo mató rápidamente.

Arquímedes fue un destacado matemático y científico. De hecho, es considerado por muchos como uno de los tres mejores matemáticos de todos los tiempos, junto con Carl Friedrich Gauss y Newton. Una vez descubierto por los europeos medievales, sus obras propulsaron el descubrimiento del cálculo. Es interesante que este profundo intelecto fuera remoto en tiempo y espacio al de los grandes matemáticos griegos clásicos; Arquímedes trabajó en la isla de Siracusa, lejos de Atenas, fuente de mucho pensamiento griego, y trabajó siglos después del declive de la cultura griega.

 

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Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Notables en la fase de cierre de la matemática griega fueron Pappus (principios del siglo IV d.C.), Teón (finales del siglo IV) y su hija Hipatia. Todos estaban activos en Alejandría como profesores de matemática y astronomía, y produjeron extensos comentarios sobre las principales autoridades de la época -Pappus y Teón de Ptolomeo, Hipatia de Diofanto y Apolonio. Más tarde, Eutocio (principios del siglo VI) produjo comentarios sobre Arquímedes y Apolonio. Si bien gran parte de esta producción se ha perdido, otro tanto sobrevive. Ellos demostraron ser razonablemente competentes en materia técnica, pero poco inclinados a dar luz al tema (su objetivo era generalmente llenar pasos menores asumidos en las pruebas, anexar pruebas alternativas, y similares), y su nivel de originalidad fue muy bajo. Pero estos eruditos con frecuencia conservaron fragmentos de obras más antiguas que se han perdido, y su enseñanza y esfuerzo editorial aseguró la supervivencia de las obras de Euclides, Arquímedes, Apolonio, Diofanto, Ptolomeo y otros que ahora existen, ya sea en manuscritos griegos o en traducciones medievales (al árabe, hebreo y latín) derivados de ellos.

El legado de la matemática griega, sobre todo en los campos de la geometría y la ciencia geométrica, fue enorme. Desde los primeros tiempos los griegos formularon los objetivos de la matemática no en términos de procedimientos prácticos sino como una disciplina teórica comprometida con el desarrollo de proposiciones generales y demostraciones formales. El alcance y la diversidad de sus hallazgos geométricos, especialmente los de los maestros del siglo III a.C., suministraron material durante siglos a partir de entonces, a pesar de que la cultura que fue transmitida a la Edad Media y al Renacimiento estaba incompleta y defectuosa.

El rápido crecimiento de la matemática en el siglo XVII se basó en parte en la imitación consciente de los clásicos antiguos y en la competencia de ellos. En la mecánica geométrica de Galileo y en las investigaciones infinitesimales de Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri, es posible percibir una inspiración directa en Arquímedes. El estudio de la geometría avanzada de Apolonio y Pappus estimuló nuevos enfoques en la geometría, por ejemplo, los métodos analíticos de René Descartes y la teoría proyectiva de Girard Desargues. Los puristas como Christiaan Huygens e Isaac Newton insistieron en el estilo geométrico griego como un modelo de rigor, al igual que otros buscaban escapar de sus demandas prohibiendo completamente pruebas elaboradas. El impacto total de la obra de Diofanto es evidente sobre todo con Pierre de Fermat en sus investigaciones en álgebra y teoría de números. A pesar de que la matemática ha ido hoy mucho más allá de los logros antiguos, las obras de las principales figuras de la antigüedad, como Arquímedes, Apolonio y Ptolomeo, todavía pueden ser una gratificante lectura para ilustrarnos de su ingenio y sus puntos de vista.

Antes de abandonar la matemática griega, es interesante resumir un poco los hechos acaecidos.

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