Quizás la contribución más importante a los fundamentos de la matemática hecha por los antiguos griegos fue el método axiomático y la noción de demostración. Esto fue enfatizado en la Academia de Platón y alcanzó su punto más alto en Alejandría alrededor del año 300 a.C. con los Elementos de Euclides. Esta noción sobrevive hoy, excepto por algunos cambios cosméticos.
La idea es ésta: hay una serie de verdades matemáticas básicas, llamadas axiomas o postulados, de las cuales se pueden derivar otras afirmaciones verdaderas en un número finito de pasos. Puede ser necesario un considerable ingenio para descubrir una demostración. Pero ahora se sostiene que debe ser posible comprobar mecánicamente, paso a paso, si una pretendida prueba es realmente correcta, y hoy en día una computadora debe ser capaz de hacer esto. Los enunciados matemáticos que se pueden probar son llamados teoremas, y se deduce que, en principio, un dispositivo mecánico, como un ordenador moderno, puede generar todos los teoremas.
Dos preguntas sobre el método axiomático fueron dejadas sin respuesta por los antiguos: ¿son todas las verdades matemáticas axiomas o teoremas? (esto se conoce como completitud), y ¿se puede determinar mecánicamente si una determinada afirmación es un teorema? (esto se llama decibilidad). Estas preguntas fueron planteadas implícitamente por David Hilbert (1862-1943) alrededor del 1900 y fueron resueltas más tarde por la negativa: la completitud en manos del lógico austro-americano Kurt Gödel (1906-1978) y la decibilidad en manos del lógico estadounidense Alonzo Church (1903-95) .
El trabajo de Euclides se ocupaba de teoría de números y geometría, esencialmente toda la matemática entonces conocida. Desde mediados del siglo XX, un grupo gradualmente cambiante de matemáticos en su mayoría franceses bajo el seudónimo de Nicolas Bourbaki ha tratado de emular a Euclides en la escritura de un nuevo Elementos de Matemática basado en su teoría de las estructuras. Desafortunadamente, apenas esbozaron las nuevas ideas de la teoría de la categoría.
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