Feeds:
Entradas
Comentarios

Posts Tagged ‘Teoría de números’

Mientras que la teoría de las funciones elípticas tipifica el entusiasmo del siglo XIX por la matemática pura, algunos matemáticos contemporáneos dijeron que los acontecimientos simultáneos en teoría de números llevaron al entusiasmo a su punto máximo. No obstante, durante el siglo XIX, la teoría algebraica de números pasó de tener un interés minoritario a la actual importancia central en la matemática pura. Las investigaciones anteriores de Fermat finalmente habían llamado la atención de Euler y Lagrange. Euler demostró algunas de las afirmaciones no probadas de Fermat y descubrió muchos hechos nuevos y sorprendentes. Lagrange no sólo suministró pruebas de muchos comentarios que Euler sólo había conjeturado sino que también los transformó en algo así como una teoría coherente. Por ejemplo, Fermat sabía que los números que se pueden escribir como suma de dos cuadrados son el número 2, los propios cuadrados, los primos de la forma 4n + 1 y los productos de estos números. Por lo tanto 29, que es 4\times 7 + 1, es 5^2+2^2, pero 35, que no es de esta forma, no se puede escribir como suma de dos cuadrados. Euler había demostrado este resultado y había considerado casos similares, como primos de la forma x^2+2y^2 o x^2+3y^2. Pero quedó para Lagrange la tarea de proporcionar una teoría general que abarque todas las expresiones de la forma ax^2 +bxy+cy^2, las llamadas formas cuadráticas.

La teoría de las formas cuadráticas de Lagrange hacía un uso considerable de la idea de que una forma cuadrática dada a menudo podía simplificarse a otra con las mismas propiedades pero con coeficientes más pequeños. Para ello, en la práctica, a menudo era necesario considerar si un entero dado dejaba un resto que fuera un cuadrado cuando era dividido por otro número entero dado. (Por ejemplo, 48 deja un resto 4 en la división por 11, y 4 es un cuadrado.) Legendre descubrió una notable conexión entre la pregunta “¿Deja el entero p un resto cuadrado en la división por q?” y la siguiente cuestión aparentemente no relacionada “¿el número entero q deja un resto cuadrado en la división por p?” Él, de hecho, dijo que cuando p y q son números primos, las dos preguntas tienen la misma respuesta a menos que ambos números primos sean de la forma 4n - 1. Debido a que esta observación conecta dos preguntas en las que los números enteros p y q juegan papeles opuestos entre sí, se la dio en llamar ley de reciprocidad cuadrática. Legendre también dio una manera efectiva de extender su ley a los casos en que p y q no son primos.

Todo este trabajo sentó las bases para el surgimiento de Carl Friedrich Gauss, cuya Disquisitiones Arithmeticae (1801) no sólo consumó lo que había pasado antes, sino que también dirigió la teoría de números hacia direcciones nuevas y más profundas. Con razón, mostró que la prueba de la ley de reciprocidad cuadrática de Legendre era fundamentalmente defectuosa y dio la primera prueba rigurosa. Su trabajo sugiere que había profundas conexiones entre la pregunta original y otras ramas de la teoría de números, un hecho que él percibió como de notable importancia para el tema. Él extendió la teoría de las formas cuadráticas de Lagrange, al mostrar cómo dos formas cuadráticas pueden ser “multiplicadas” para obtener una tercera. Los matemáticos que le siguieron volvieron a trabajar esto en un importante ejemplo de la teoría conmutativa de grupos finitos. Y en la sección final de su libro Gauss dio la teoría subyacente detrás de su primer descubrimiento como matemático: que una figura regular de 17 lados se puede construir mediante el círculo y una regla solamente.

El descubrimiento de que el  “17-ágono” regular es construible de este modo fue el primer descubrimiento de este tipo desde los griegos -que lo conocieron solamente para  el triángulo equilátero, el cuadrado, el pentágono regular, la figura regular de 15 lados, y las figuras que pueden ser obtenidas de estos bisecando sucesivamente todos los lados. Pero lo que fue mucho más importante que el descubrimiento fue la teoría que sustenta la ahora llamada teoría de los números algebraicos, la que trataremos en la próxima entrega.

Read Full Post »

Aunque Euclides dictó un precedente para la teoría de números en los Libros VII-IX de los Elementos, escritores posteriores no hicieron ningún esfuerzo adicional para extender el campo de la aritmética teórica en su forma demostrativa. Comenzando con Nicómaco de Gerasa (aprox. 100 d.C.), varios escritores produjeron colecciones donde exponen una forma mucho más simple de la teoría de números. Un resultado favorito es la representación de progresiones aritméticas en forma de “números poligonales.” Por ejemplo, si los números

1, 2, 3, 4, ...

se suman sucesivamente, se obtienen los números “triangulares”

1, 3,  6, 10, ...

Del mismo modo, los números impares

1, 3, 5, 7, ...

suman los números “cuadrados”

1, 4, 9, 16, ...

Por otro lado, la sucesión

1, 4, 7, 10, ...

con una diferencia constante de 3, suma los “números pentagonales”

1, 5, 12, 22, ...

En general, estos resultados se pueden expresar como arreglos de formas geométricas determinadas alineando puntos en configuraciones de dos dimensiones apropiadas, como vemos en las Figuras arriba. En la aritmética antigua tales resultados son invariablemente presentados como casos particulares, sin ningún método de notación general ni una demostración general. Los autores de esta tradición son llamados neo-pitagóricos, ya que se veían a sí mismos como la continuación de la escuela pitagórica del siglo V a.C. y, en el espíritu antiguo pitagórico, ataron sus intereses numéricos a una teoría filosófica que era una amalgama de las doctrinas platónicas metafísicas y teológicas. Con su exponente Jámblico de Calcis (siglo IV d.C.), los neo-pitagóricos se convirtieron en una parte importante de la reactivación de la religión pagana en oposición al cristianismo de la antigüedad.

Un concepto interesante de esta escuela de pensamiento, que Jámblico atribuye al mismísimo Pitágoras, es el de “números amigos”: dos números son amigos  si cada uno es igual a la suma de los divisores propios del otro.

Atribuir virtudes tales como la amistad y la justicia a los números era característico de los pitagóricos de todos los tiempos.

De mucha mayor importancia es el trabajo matemático Aritmética de Diofanto de Alejandría (aprox. Siglo III d.C.). Escrita originalmente en 13 libros (seis sobreviven en griego, otros cuatro a través de una traducción árabe medieval), enuncia cientos de problemas aritméticos con sus soluciones. Por ejemplo, el Libro II, Problema 8, busca expresar un número cuadrado dado como suma de dos números cuadrados (aquí y en todas partes, los “números” son racionales). Al igual que los de los neo-pitagóricos, sus tratamientos son siempre casos particulares en lugar de soluciones generales. Por lo tanto, en este problema, el número dado se toma como 16, y las soluciones alcanzadas son 256/25 y 144/25. En este ejemplo, como es a menudo el caso, las soluciones no son únicas. De hecho, en el siguiente problema Diofanto muestra cómo un número dado como la suma de dos cuadrados (por ejemplo, 13 = 4 + 9) se puede expresar de manera diferente como la suma de otros dos cuadrados (por ejemplo, 13 = 324/25 + 1/25).

Para encontrar sus soluciones, Diofanto adoptó una forma aritmética del método de análisis. Primero reformulaba el problema en términos de una de las incógnitas, y luego la manipulaba como si la conociera hasta alcanzar un valor explícito para la incógnita. Incluso adoptó un esquema de notación abreviada para facilitar dichas operaciones en el que, por ejemplo, la incógnita es simbolizada por una figura un tanto parecida a la letra romana S. (Esta es una abreviatura estándar para la palabra número en los manuscritos griegos antiguos.) Por lo tanto, en el primer problema mencionado anteriormente, si S es una de las soluciones desconocidas, entonces 16 - S^{2} es un cuadrado.

Suponiendo que la otra variable sea 2S - 4 (donde el 2 es arbitrario, pero el 4 es elegido porque es la raíz cuadrada del número dado 16), Diofanto encuentra de sumar las dos incógnitas ([2S - 4]^{2} y S^{2}) que

4S^{2} - 16S + 16 + S2 = 16

o 5S^{2}2 = 16S; es decir, S = 16/5. Así que una solución es S^{2} = 256/25, mientras que la otra solución es 16 - S^{2}, o 144/25.

Nos tomamos un recreo?

Read Full Post »