Historia del Análisis en el Siglo XVIII – Euler

La historia del análisis en el siglo XVIII se puede seguir en las memorias oficiales de las academias y en los tratados expositivos publicados de forma independiente. En las primeras décadas del siglo, el cálculo se cultivó en una atmósfera de entusiasmo intelectual con matemáticos aplicando los nuevos métodos a una serie de problemas de la geometría de las curvas. Los hermanos Johann y Jakob Bernoulli mostraron que la forma de un alambre liso largo del cual una partícula desciende en el menor tiempo es la cicloide, una curva trascendental muy estudiada en el siglo anterior.

Jacob and Johann Bernoulli

Trabajando en un espíritu de rivalidad aguda, los dos hermanos llegaron a ideas que más tarde se convertirían en el cálculo de variaciones. En su estudio de la rectificación de la lemniscata, una curva en forma de cinta descubierta por Jakob Bernoulli en 1694, Giulio Carlo Fagnano (1682-1766) introdujo ingeniosas transformaciones analíticas que sentaron las bases de la teoría de las integrales elípticas. Nikolaus I Bernoulli (1687-1759), sobrino de Johann y Jakob, demostró la igualdad de las derivadas parciales mixtas de segundo orden e hizo importantes contribuciones a las ecuaciones diferenciales mediante la construcción de trayectorias ortogonales a familias de curvas. Pierre Varignon (1654-1722), Johann Bernoulli y Jakob Hermann (1678-1733) continuaron desarrollando la dinámica analítica, al adaptar el cálculo de Leibniz a la mecánica inercial de los Principia de Newton.

Concepciones y problemas geométricos predominaron en los comienzos del cálculo. Este énfasis en la curva como objeto de estudio proporcionó coherencia a lo que fue una colección dispar de técnicas analíticas. Con su continuo desarrollo, el cálculo gradualmente abandonó sus orígenes en la geometría de las curvas, y surgió un movimiento para establecer el tema sobre una base puramente analítica. En una serie de libros de texto publicados a medidos del siglo, el matemático suizo Leonhard Euler llevó a cabo de forma sistemática la separación del cálculo de la geometría. En su Introductio in Analysin Infinitorum de 1748 hizo de la noción de función el concepto central de la organización del análisis:

Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier manera por la variable y de números o cantidades constantes.

El enfoque analítico de Euler es ilustrado por su introducción de las funciones seno y coseno. Las tablas trigonométricas habían existido desde la antigüedad, y las relaciones entre senos y cosenos se utilizaban comúnmente en la astronomía matemática. A comienzos del cálculo los matemáticos habían derivado de su estudio de fenómenos mecánicos periódicos la ecuación diferencial

y fueron capaces de interpretar geométricamente su solución en términos de líneas y ángulos en el círculo. Euler fue el primero en introducir las funciones seno y coseno en forma de cantidades cuya relación con otras cantidades podían ser estudiadas de forma independiente de cualquier diagrama geométrico.

El enfoque analítico de Euler para el cálculo recibió el apoyo de su contemporáneo más joven Joseph-Louis Lagrange, quien, tras la muerte de Euler en 1783, lo reemplazó como el líder de la matemática europea.

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Matemática islámica hasta el Siglo XV

En el siglo XII, el médico al-Samaw’al continuó y completó la obra de al-Karaji en álgebra y también proporcionó un tratamiento sistemático de las fracciones decimales como medio para aproximar cantidades irracionales. En su método de búsqueda de raíces de ecuaciones puras, , utilizó lo que ahora se conoce como método de Horner para desarrollar el binomio . Su contemporáneo Sharaf al-Din al-Tusi a finales del siglo XII proporcionó un método para aproximar las raíces positivas de ecuaciones arbitrarias, basado en un enfoque prácticamente idéntico al descubierto por François Viète en el siglo XVI en Francia. El paso importante aquí fue no tanto la idea general sino el desarrollo de los algoritmos numéricos necesarios para llevarla a cabo.

Sharaf al-Din fue el descubridor de un dispositivo, llamado astrolabio lineal, que lo ubica en otra importante tradición matemática islámica, una que se centró en el diseño de nuevas formas del antiguo instrumento astronómico conocido como astrolabio. El astrolabio, cuya teoría matemática se basaba en la proyección estereográfica de la esfera, fue inventado en la antigüedad, pero su amplio desarrollo en el Islam lo convirtió en el reloj de bolsillo de los medievales. En su forma original, requería una placa distinta del horizonte de coordenadas para cada latitud, pero en el siglo XI el astrónomo español musulmán al-Zarqallu inventó una sola placa que funcionaba para todas las latitudes. Un poco antes, los astrónomos en el Este habían experimentado con proyecciones planas de la esfera, y al-Biruni inventó una proyección de tal manera que se podía utilizar para producir un mapa de un hemisferio. La obra maestra culminante fue el astrolabio del sirio Ibn al Shatir (1305-1375), una herramienta matemática que podía ser utilizado para resolver todos los problemas de astronomía esférica estándar de cinco maneras diferentes.

Por otro lado, los astrónomos musulmanes habían desarrollado otros métodos para resolver estos problemas mediante tablas de trigonometría de alta precisión y habían desarrollado nuevos teoremas de trigonometría. Fuera de estos desarrollos vino la creación de la trigonometría como una disciplina matemática, separada de sus aplicaciones astronómicas, de la mano de Nasir al-Din al-Tusi en su observatorio de Maragheh en el siglo XIII. (Fue allí también que el alumno de al-Tusi, Qutb al-Din al-Shirazi (1236-1311), y su alumno Kamal al-Din Farisi utilizando la gran obra de Ibn al-Haytham, Óptica, fueron capaces de dar la primera  explicación matemáticamente satisfactoria del arco iris.)

El observatorio de al-Tusi fue apoyado por un nieto de Genghis Khan, Hülegü, que saqueó Bagdad en 1258. Ulugh Beg, el nieto del conquistador mongol Tamerlán, fundó un observatorio en Samarcanda en los primeros años del siglo XV. Ulugh Beg era un buen astrónomo, y sus tablas de senos y tangentes para cada minuto de arco (con una precisión de cinco lugares sexagesimales) fueron uno de los grandes logros en matemática numérica hasta su tiempo. También fue el patrón de Jamshid al-Kashi (fallecido en 1429), cuya obra The Reckoners’ Key resume la mayor parte de la aritmética de su tiempo e incluye también secciones sobre álgebra y geometría práctica. Entre los trabajos de al-Kashi hay un cálculo magistral del valor de que, cuando se expresa en fracciones decimales, tiene una precisión de 16 lugares, así como la aplicación de un método numérico, ahora conocido como iteración de punto fijo, para la solución de la ecuación cúbica con el seno de 1 grado como una raíz. Su trabajo es de una calidad que merece la descripción de Ulugh Beg de «conocido entre los famosos del mundo.»

Al-Kashi vivió casi cinco siglos después de las primeras traducciones de material árabe al latín, y por su época la cultura matemática islámica había dado a Occidente no sólo sus primeras versiones de muchos de los clásicos griegos, sino también un conjunto completo de algoritmos para la aritmética indo-arábiga, la trigonometría plana y esférica, y la poderosa herramienta del álgebra. Aunque la investigación matemática continuó en el Islam en los siglos después de la época de al-Kashi, el centro matemático de gravedad se desplazó hacia el oeste. Que esto fuera así es, por supuesto, en gran medida debido a lo que los matemáticos occidentales aprendieron de sus predecesores islámicos durante los siglos precedentes.

Resumiendo…

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Trigonometría griega y mediciones

Para facilitar sus investigaciones astronómicas los griegos desarrollaron técnicas para la medición numérica de ángulos, precursoras de la trigonometría, y produjeron tablas adecuadas para el cálculo práctico. Los primeros esfuerzos para medir las proporciones numéricas en triángulos fueron hechas por Arquímedes y Aristarco.  Sus resultados pronto  se extendieron, y tratados completos sobre la medición de cuerdas  (de hecho, una construcción de una tabla de valores equivalentes al seno trigonométrico) fueron producidos por Hiparco y por Menelao de Alejandría (siglo I d.C.). Estos trabajos se han perdido, pero los teoremas y las tablas esenciales se conservan en el Almagesto de Ptolomeo (Libro I, Capítulo 10).

Para hacer cálculos con ángulos los griegos adoptaron en aritmética el método sexagesimal mesopotámico, de donde sobreviven las unidades estándar de ángulos y tiempo empleadas en la actualidad.

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