En la década de 1910 las ideas de Lie y Killing fueron retomadas por el matemático francés Élie-Joseph Cartan, quien simplificó la teoría y reordenó la clasificación de lo que se llamó la clásica compleja álgebra de Lie. Las álgebras de Lie simples, de las cuales surgen todas las demás en la clasificación, eran todas representables como álgebras de matrices y, en cierto sentido, el álgebra de Lie es el conjunto abstracto para el álgebra matricial. Conectado a cada álgebra de Lie había un pequeño número de grupos de Lie, y había un canónico más simple para elegir en cada caso. Los grupos tenían una interpretación geométrica aún más simple que las álgebras correspondientes, pues resultaron describir movimientos que dejan ciertas propiedades de figuras inalteradas. Por ejemplo, en el espacio tridimensional euclidiano, las rotaciones dejan inalteradas las distancias entre puntos; el conjunto de todas las rotaciones alrededor de un punto fijo resulta formar un grupo de Lie, y es uno de los grupos de Lie en la clasificación. La teoría de las álgebras de Lie y de los grupos de Lie muestra que hay sólo unas pocas maneras sensibles de medir las propiedades de las figuras en un espacio lineal y que estos métodos producen grupos de movimientos dejando las figuras que son (más o menos) grupos de matrices inalteradas. El resultado es una poderosa teoría que podría esperarse se aplique a una amplia gama de problemas en geometría y física.
El líder en los esfuerzos para hacer que la teoría de Cartan, que se limitaba a álgebras de Lie, produjera resultados para una clase correspondiente de grupos de Lie fue Hermann Weyl. Él produjo una teoría rica y satisfactoria para la matemática pura y escribió extensivamente sobre geometría diferencial y teoría de grupo y sus aplicaciones a la física. Weyl intentó producir una teoría que unificara la gravitación y el electromagnetismo. Su teoría se encontró con la crítica de Einstein y se consideró generalmente como un fracaso. Sólo en el último cuarto del siglo XX teorías de cuerpo unificadas similares encontraron cierta aceptación. Sin embargo, el enfoque de Weyl demuestra cómo la teoría de los grupos de Lie puede ingresar en la física de manera sustancial.
En cualquier teoría física el esfuerzo está puesto en dar sentido a las observaciones. Diferentes observadores hacen diferentes observaciones. Si difieren en la elección y la dirección de sus ejes de coordenadas, dan coordenadas diferentes a los mismos puntos, y así sucesivamente. Sin embargo, los observadores están de acuerdo en ciertas consecuencias de sus observaciones: en la física newtoniana y en la geometría euclidiana coinciden en la distancia entre puntos. La relatividad especial explica cómo los observadores en un estado de movimiento relativo uniforme difieren sobre longitudes y tiempos, pero están de acuerdo en una cantidad llamada el intervalo. En cada caso son capaces de hacerlo porque la teoría relevante les presenta un grupo de transformaciones que convierte las mediciones de un observador en las del otro y deja las cantidades básicas apropiadas invariantes. Lo que Weyl propuso era un grupo que permitiría a los observadores en movimiento relativo no uniforme y cuyas medidas del mismo electrón en movimiento serían diferentes convertir sus mediciones y así permitir el estudio relativista (general) de las cargas eléctricas en movimiento.
En la década de 1950 los físicos estadounidenses Chen Ning Yang y Robert Laurence Mills dieron un tratamiento exitoso de la llamada interacción fuerte en la física de partículas desde el punto de vista del grupo de Lie. Veinte años más tarde los matemáticos tomaron su trabajo, y comenzó un resurgimiento dramático del interés en la teoría de Weyl. Estos nuevos desarrollos, que tuvieron el efecto incidental de permitir a los matemáticos escapar de los problemas en el enfoque original de Weyl, fueron el resultado de líneas de investigación que originalmente se habían realizado con poca consideración por cuestiones físicas. No por primera vez, la matemática demostraría ser sorprendentemente eficaz -o, como lo dijo el físico estadounidense de origen húngaro Eugene Wigner, «injustificadamente eficaz»- en la ciencia.
Cartan había investigado cuánto puede lograrse en la geometría diferencial usando la idea de mover los marcos de referencia. Este trabajo, inspirado en parte en la teoría de la relatividad general de Einstein, fue también un desarrollo de las ideas de la geometría riemanniana que había excitado originalmente a Einstein. En la teoría moderna, uno imagina un espacio (generalmente una variedad) compuesto de piezas coordenadas superpuestas. En cada pieza se supone que se definen algunas funciones, que en aplicaciones pueden ser los valores de ciertas magnitudes físicas. Se dan reglas para interpretar estas cantidades donde las piezas se superponen. Los datos se consideran como un paquete de información proporcionada en cada punto. Para cada función definida en cada pieza, se supone que en cada punto un espacio vectorial está disponible como espacio de almacenamiento matemático para todos sus valores posibles. Debido a que un espacio vectorial está unido en cada punto, la teoría se denomina teoría de haces vectoriales. Pueden conectarse otros tipos de espacio, entrando así en la teoría más general de los haces fibrados. El punto sutil y vital es que es posible crear haces muy diferentes que parecen similares en pequeñas piezas. El cilindro y la banda de Möbius se parecen en piezas pequeñas pero son topológicamente distintos, puesto que es posible dar un sentido estándar de la dirección a todas las líneas en el cilindro pero no en la banda de Möbius. Ambos espacios pueden ser pensados como haces vectoriales unidimensionales sobre el círculo, pero son muy diferentes. El cilindro es considerado como un haz «trivial», la banda de Möbius como uno torcido.
En las décadas de 1940 y 1950, una vigorosa rama de la topología algebraica estableció las características principales de la teoría de haces. Luego, en los años sesenta, el trabajo principalmente de Grothendieck y el matemático inglés Michael Atiyah mostró cómo el estudio de los haces de vectores sobre espacios podía considerarse como el estudio de la teoría de la cohomología (llamada teoría K). Atiyah, el americano Isadore Singer y otros, encontraron incluso la manera de relacionar esta obra con el estudio de una amplia variedad de cuestiones relacionadas con la diferenciación parcial, culminando en el célebre teorema de Atiyah-Singer para operadores elípticos. («Elíptico» es un término técnico para el tipo de operador estudiado en la teoría del potencial). Hay implicaciones notables para el estudio de la geometría pura, y mucha atención se ha dirigido al problema de cómo la teoría de haces abarca la teoría de Yang y Mills. Éstas implicaciones incluyen las teorías del superespacio y la supergravedad y la teoría de cuerdas de partículas fundamentales, que involucra la teoría de las superficies de Riemann de manera novedosa e inesperada.
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