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Archive for 27 febrero 2019

Quienes me siguen por twitter habrán posiblemente bajado el Calendario 2019 que he compartido por allí.

Con gran entusiasmo he recibido el apoyo para la difusión del material del weblog gaussianos, una referencia indiscutible para mí.

Dado que ya estamos cerca de comenzar a transitar el mes de marzo los invito a visitar el posteo de gaussianos respecto de mi Calendario, y no se pierdan de recorrer el sitio que tiene contenido de interés incalculable para quienes adoramos la matemática.

 

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Un cambio de paradigma importante en la intuición geométrica tuvo lugar en el siglo XIX, cuando Carl Friedrich Gauss, János Bolyai y Lobachevsky desarrollaron, independientemente, geometrías alternativas al espacio plano. Lobachevsky fue el primero en publicar este descubrimiento. Sus generalizaciones de la noción intuitiva de espacio han demostrado ser extremadamente relevantes dentro de la matemática (allanando el camino para la definición abstracta y el estudio de la geometría) y la física, a través del modelado del efecto de la gravedad en la forma del universo. 

Nikolai Lobachevsky nació el 2 de diciembre de 1792 en Gorki, Rusia. Su padre, Ivan Maksimovich, era empleado administrativo, y su madre se llamaba Praskovia Aleksandrovna Lobachevskaya. En 1800, la madre de Lobachevsky se trasladó, junto con Lobachevsky y sus dos hermanos, a Kazan. Allí los tres chicos se inscribieron en el Gymnasium con becas. En 1807 Lobachevsky ingresó a la Universidad de Kazan, donde estudió matemática y física, obteniendo su maestría en 1812. 

En 1814 Lobachevsky dio una conferencia sobre matemática y mecánica como adjunto y se convirtió en profesor el mismo año; fue promovido en 1822 y ocupó diversos cargos en la Universidad de Kazan, incluido el de decano del departamento de física y matemática, bibliotecario de la universidad, rector y asistente del fideicomisario del distrito de Kazan. Su primer trabajo importante, escrito en 1823, se llamó Geometriya (Geometría), y sus estudios geométricos básicos lo condujeron a sus investigaciones posteriores sobre geometría no euclidiana. Informó de sus primeros descubrimientos en 1826 y publicó estas ideas en 1829–1830. 

Lobachevsky intentó inicialmente probar el quinto postulado de Euclides de Alejandría, como muchos antes que él (incluyendo Claudio Ptolomeo, Thabit ibn Qurra, Abu Ali al-Haytham, Adrien-Marie Legendre y John Wallis) lo habían intentado y fracasado. Pronto recurrió a la construcción de una geometría más general que no requería el quinto postulado, que establece que dada una recta y un punto fuera de ella, existe una única recta a través del punto que es paralela a la recta dada. La geometría resultante, que Lobachevsky denominó “geometría imaginaria”, permitió la construcción de múltiples rectas paralelas distintas a través del punto dado. Desde aquí pudo deducir varias propiedades interesantes: la más importante es que la geometría era consistente(no había contradicción en sus reglas, por más que fueran intuitivas sus características). Curiosamente, la suma de los ángulos en un triángulo es menor que 180 grados; posteriormente, Lobachevsky intentó deducir la geometría del universo midiendo los ángulos de un vasto triángulo cósmico atravesado por estrellas distantes. Concluyó que, dentro de los márgenes del error de medición, los ángulos sumaban 180 grados y, por lo tanto, el universo es euclidiano. 

Lobachevsky produjo varios artículos más sobre este tema; dio tanto una definición axiomática como una constructiva de su “pangeometría”, que más tarde se conocería como geometría hiperbólica. Sus ideas no fueron aceptadas inicialmente en el extranjero, aunque fue promovido en Kazán y convertido en noble en 1837. Se casó en 1832 con una adinerada aristócrata, Lady Varvara Aleksivna Moisieva, y tuvieron siete hijos. 

Además de su importante trabajo geométrico, Lobachevsky contribuyó en álgebra, series infinitas y teoría de la integración. Sin embargo, este trabajo estaba condimentado por sus ideas geométricas y se relacionaba con su “geometría imaginaria”. Gauss apreció los esfuerzos de Lobachevsky, que eran similares a su propio trabajo sobre geometría no euclidiana, y ayudó a su elección a la Academia de Ciencias de Göttingen después de 1842. 

Lobachevsky, a pesar de su matrimonio ventajoso, experimentó dificultades financieras en sus últimos años, debido al costo de su familia numerosa y al mantenimiento de su patrimonio. Sus ojos se deterioraron con la edad hasta que quedó totalmente ciego. Murió el 24 de febrero de 1856, en Kazán. 

El reconocimiento del trabajo pionero de Lobachevsky llegó lentamente. Muchos matemáticos, como Arthur Cayley, no pudieron comprender su significado y lo denigraron. En la década de 1860, las obras de Bolyai y Lobachevsky ganaron cada vez más renombre entre los franceses, y Eugenio Beltrami más tarde dio una construcción de la geometría lobachevskiana en un círculo cerrado del plano. Después de 1870 Karl Weierstrass y Felix Klein se interesaron por el trabajo de Lobachevsky, y Klein finalmente formuló las diversas geometrías (elíptica, plana e hiperbólica) en términos de invariantes de transformaciones de grupo. Posteriormente se demostró que la geometría lobachevskiana era un caso especial de las geometrías de Cayley. Henri Poincaré, junto con Klein, se basó en las ideas de Bernhard Riemann y Lobachevsky. En el siglo XX se demostró que la geometría no euclidiana era relevante para la teoría general de la relatividad. Es intrigante que luego se demostró que el espacio del universo tiene curvatura variable, con la urdimbre y la trama de su tejido definidas por fuerzas gravitacionales. Esta realidad está modelada por la geometría de Lobachevsky.

 

 

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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Rudolf Lipschitz fue un importante analista y geómetra en la segunda mitad del siglo XIX que avanzó en el conocimiento de las variedades riemannianas, las formas diferenciales y las funciones continuas, contribuyendo así a los fundamentos de gran parte de la matemática del siglo XX. Sus intereses en el área de la investigación eran bastante amplios, pero sus trabajos en geometría (basándose en el trabajo de Bernhard Riemann) son los más notables. 

Rudolf Lipschitz nació el 14 de mayo de 1832 en Königsberg, Alemania. Su padre era terrateniente y Lipschitz recibió una buena educación. Comenzó su estudio de la matemática en la Universidad de Königsberg a los 15 años, pero más tarde fue a Berlín, donde se convirtió en alumno de Peter Lejeune Dirichlet. Sufrió un retraso en sus estudios debido a una enfermedad, pero pudo completar su doctorado en la Universidad de Berlín en 1853. 

Después de varios años de enseñar en Gymnasiums locales, Lipschitz obtuvo un puesto en la Universidad de Berlín en 1857, y ese mismo año se casó con Ida Pascha. Primero se convirtió en profesor en la Universidad de Breslau en 1862, y luego en la Universidad de Bonn en 1864. Fue miembro de varias academias y se distinguió por la variedad y la profundidad de su investigación. 

Lipschitz investigó sobre teoría de números, funciones de Bessel, series de Fourier, ecuaciones diferenciales y mecánica. El más importante fue su trabajo sobre formas diferenciales de alta dimensión y sus relaciones con el cálculo de variaciones y la geometría. En esta área, Lipschitz desarrolló las ideas tempranas de Riemann y pudo conformar una nueva área de la matemática que ha demostrado tener un interés y relevancia duraderos en el siglo XX. 

Lipschitz también escribió un libro, Foundation of Analysis, que reunió varios temas de investigación matemática en un trabajo y fue el primero de su tipo escrito en alemán. Formuló una condición de continuidad para funciones llamada “condición de Lipschitz” que ha demostrado ser importante en la teoría de funciones y en la teoría de la aproximación, y se relaciona con cuestiones de existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales. 

El trabajo de Lipschitz sobre formas diferenciales se llevó a cabo en colaboración con el matemático Elwin Christoffel. Lipschitz obtuvo muchos resultados significativos con respecto a la curvatura de variedades y subvariedades de Riemann. Sus investigaciones fueron posteriormente continuadas por Gregorio Ricci-Curbastro, e implementadas por Albert Einstein en su teoría de la relatividad general. 

Lipschitz murió el 7 de octubre de 1903 en Bonn. Su principal aporte radica en el fundamento de la teoría de las formas diferenciales; esta rama de la matemática es elegante y útil para comprender geometrías de alta dimensión. Su trabajo sobre variedades fue indicativo de la dirección que tomaría pronto la investigación geométrica.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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