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Encontrando el radio de convergencia

Posted in Análisis de Variable Compleja, Producción propia, tagged Convergencia de series, Disco de convergencia, Fórmula de Cauchy-Hadamard, Fórmula de D´Alembert, Radio de convergencia, Series de potencias, Teorema de Cauchy-Hadamard, Test de la raíz, Test de la razón on 25 septiembre 2014| 1 Comment »

Dada una serie compleja de potencias $f(z)=\sum c_{j}z^{j}$ , existen varias maneras de determinar su radio de convergencia directamente a partir de sus coeficientes. Como ellas son formalmente idénticas a los métodos utilizados en las series reales, nos limitaremos aquí sólo a enunciarlas.

El test de la razón nos dice que

$R=\displaystyle\lim_{j\rightarrow\infty}\left|\frac{c_{j}}{c_{j+1}}\right|$

siempre que este límite exista. Esta fórmula es conocida como Fórmula de D’Alembert y su demostración puede encontrarse en el libro de Conway. Por ejemplo, si

$f(z)=1+z+\displaystyle\frac{z^{2}}{2^{2}}+\frac{z^{3}}{3^{2}}+\cdots$

entonces

$R=\displaystyle\lim_{j\rightarrow\infty}\left|\frac{1/j^{2}}{1/(j+1)^{2}}\right|=\lim_{j\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{j}\right)^{2}=1$

Si $\displaystyle\left|\frac{c_{j}}{c_{j+1}}\right|$ tiende a infinito entonces (formalmente) $R=\infty$ , correspondiendo a la convergencia en todo el plano complejo. Por ejemplo,

$e^{z}=\displaystyle\sum^{\infty}_{j=0}\frac{z^{j}}{j!}$

converge en todo el plano complejo, dado que

$R=\displaystyle\lim_{j\rightarrow\infty}\left|\frac{1/j!}{1/(j+1)!}\right|=\lim_{j\rightarrow\infty}(j+1)=\infty.$

Cuando no es posible aplicar el test de la razón, o resulta dificil hacerlo, podemos emplear el test de la raíz, que dice que

$R=\displaystyle\lim_{j\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt[j]{\left|c_{j}\right|}}$

siempre que este límite exista. Por ejemplo, si recordamos primero que la función real $e^{x}$ se expresa como

$e^{x}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}$

entonces aplicando el test de la raíz a la serie

$f(z)=\displaystyle\sum^{\infty}_{j=1}\left(\frac{j-3}{j}\right)^{j^{2}}z^{j}$

obtenemos mediante un simple cálculo que $R=e^{3}$ .

Existen ocasiones en las cuales tanto el test de la razón como el test de la raíz fallan, pero existe una versión ligeramente refinada de estos que funciona en todos los casos. Es conocido como el Teorema de Cauchy-Hadamard y dice que

$R=\displaystyle\frac{1}{\lim\sup\sqrt[j]{\left|c_{j}\right|}}$

No discutiremos esto aquí pero el lector interesado puede encontrar la demostración correspondiente en el libro de Conway.

Los ejemplos anteriores de series de potencias surgen de la nada, pero a menudo el punto de partida es una función compleja conocida $f(z)$ que a continuación se expresa como una serie de potencias. El problema de determinar $R$ tiene entonces una respuesta conceptualmente mucho más satisfactoria. A grandes rasgos,

Si $f(z)$ puede expresarse como una serie de potencias centrada en $k$ , entonces el radio de convergencia es la distancia de $k$ a la singularidad más cercana de $f(z)$ .

La Figura 1 muestra esto; las singularidades de $f(z)$ son representadas como pequeñas estrellas. Para entender qué funciones pueden desarrollarse en series de potencias necesitamos resultados más profundos, pero estamos en condiciones de verificar que podemos hacerlo para una función racional (cociente de dos polinomios), y que el radio de convergencia para su desarrollo está dado por la afirmación anterior.

Figura 1

Para empezar, reconsideremos las Figuras 1 y 2 en «Un misterio detrás de las series reales de potencias«. Recordemos que en la Figura 2 simplemente nos limitamos a afirmar que $R=\sqrt{1+k^{2}}$ para el desarrollo en serie de $h_{1}(z)=1/(1+z^{2})$ centrado en el punto real $k$ . Ahora verifiquemos esto encontrando explícitamente la serie.

Para ello, primero notemos que en la entrada citada obtuvimos que

$\displaystyle\frac{1}{a-x}=\sum^{\infty}_{j=0}\frac{X^{j}}{(a-k)^{j+1}}$

si y sólo si $\left|X\right|<\left|a-k\right|$ . Generalizando tenemos que

$\displaystyle\frac{1}{a-z}=\sum^{\infty}_{j=0}\frac{Z^{j}}{(a-k)^{j+1}}$

si y sólo si $\left|Z\right|<\left|a-k\right|$ , donde $a$ y $k$ son ahora números complejos arbitrarios, y $Z=(z-k)$ es el número complejo que conecta el centro del desarrollo en $z$ . La condición $\left|z-k\right|<\left|a-k\right|$ para la convergencia significa que $z$ pertenece al interior del círculo centrado en $k$ y que pasa por $a$ . La Figura 2 abajo muestra esta situación, y además los discos de convergencia cuando elegimos desarrollar $1/(a-z)$ alrededor de $k_{1}$ o $k_{2}$ . Como la función $1/(a-z)$ tiene sólo una singularidad en $z=a$ hemos verificado la afirmación anterior para esta función particular.

Figura 2

Al principio encontramos el desarrollo de $1/(1-x^{2})$ factorizando el denominador y usando fracciones simples. Ahora estamos en condiciones de usar exactamente el mismo enfoque para hallar el desarrollo de $h_{1}(z)=1/(1+z^{2})$ centrado en un número complejo arbitrario $k$ :

$\displaystyle\frac{1}{1+z^{2}}=\frac{1}{(z-i)(z+i)}=\frac{1}{2i}\left(\frac{1}{-i-z}-\frac{1}{i-z}\right)$

Aplicando el desarrollo obtenido para $\displaystyle\frac{1}{a-z}$ en ambos términos resulta

$\displaystyle\frac{1}{1+z^{2}}=\sum^{\infty}_{j=0}\frac{1}{2i}\left(\frac{1}{(-i-k)^{j+1}}-\frac{1}{(i-k)^{j+1}}\right)Z^{j}$

La serie para $1/(\pm i-z)$ converge dentro de las circunferencias concéntricas $\left|z-k\right|=\left|\pm i-k\right|$ centradas en $k$ y que pasan por los puntos $\mp i$ , que son las singularidades de $h_{1}(z)=1/(1+z^{2})$ . Pero el desarrollo obtenido sólo convergerá cuando ambas series converjan, es decir, en el disco $\left|z-k\right|<R$ donde $R$ es la distancia del centro $k$ a la singularidad más cercana de $h_{1}$ . Esto confirma la afirmación anterior para $h_{1}(z)$ .

En particular, si $k$ es real entonces el desarrollo anterior converge en el disco que se muestra en la Figura 3 de «Un misterio detrás de las series reales de potencias». Si restringimos los valores de $z$ al eje real entonces $h_{1}(z)$ se reduce a la función real $1/(1-x^{2})$ , y el desarrollo de esta función en potencias de $X=x-k$ se deduce fácilmente del desarrollo anterior. Como $k$ ahora es real, $\left|i-k\right|=\sqrt{1+k^{2}}$ , y podemos escribir $i-k=\sqrt{1+k^{2}}e^{i\theta}$ donde $\theta=\arg(i-k)$ es el valor apropiado de $\tan^{-1}(-1/k)$ . Así,

$\displaystyle\frac{1}{1+x^{2}}=\sum^{\infty}_{j=0}\left(\frac{\sin(j+1)\theta}{(\sqrt{1+k^{2}})^{j+1}}\right)X^{j}$

lo que resulta de un simple cálculo que se bosqueja a continuación:

Nuevamente tenemos aquí un resultado concerniente a funciones reales que podría ser muy difícil de obtener usando sólo números reales.

El análisis anterior de $1/(1+z^{2})$ puede fácilmente ser generalizado para demostrar que cualquier función racional puede ser expresada como una serie de potencias, con radio de convergencia dado por la afirmación anterior.