Hemos enunciado aquí el Axioma de Completitud, una caracterización del conjunto de los números reales. Este Axioma tiene varias aplicaciones, y hoy nos dedicaremos a la primera de ellas que trataremos en este blog. Se trata de un resultado que puede verse como una forma más natural de expresar matemáticamente el sentimiento de que la recta real no contiene huecos, del que hablamos también aquí.
Principio de los Intervalos Encajados. Para cada , suponemos dado un intervalo cerrado
. Supongamos también que cada
contiene a
. Entonces, la sucesión anidada resultante de intervalos cerrados
tiene intersección no vacía; es decir, .
Dem. Con el fin de demostrar que es no vacío vamos a usar el Axioma de Completitud para producir un único número real
que satisface
para todo
. Ahora, el Axioma de Completitud es una afirmación acerca de conjuntos acotados, y lo que queremos considerar es el conjunto
de extremos izquierdos de los intervalos.
Debido a que los intervalos están anidados, vemos que cada sirve como una cota superior de
. Por lo tanto, está justificado el establecimiento de
Ahora, consideremos un intervalo particular . Debido a que
es una cota superior de
, tenemos
. El hecho de que cada
es una cota superior de
y que
es la menor cota superior implica que
.
En resumen, tenemos entonces , lo que significa que
para cada elección de
. Por lo tanto,
, y la intersección es no vacía.
Este principio se asocia al nombre de un famoso matemático alemán: Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845 – 1918), considerado junto a Dedekind y Frege el creador de la Teoría de Conjuntos.

Georg Cantor
Como veremos más adelante, el Principio de los Intervalos Encajados sirve de soporte para importantes resultados del Análisis Real.
Referencias bibliográficas:
- Abbott, Stephen (2010) Understanding Analysis. Springer.
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