Hemos enunciado aquí el Axioma de Completitud, una caracterización del conjunto de los números reales. Este Axioma tiene varias aplicaciones, y hoy nos dedicaremos a la primera de ellas que trataremos en este blog. Se trata de un resultado que puede verse como una forma más natural de expresar matemáticamente el sentimiento de que la recta real no contiene huecos, del que hablamos también aquí.
Principio de los Intervalos Encajados. Para cada 
![I_{n}=[a_{n},b_{n}]=\left\{x\in\mathbb{R}:a_{n}\leq x\leq b_{n}\right\}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=I_%7Bn%7D%3D%5Ba_%7Bn%7D%2Cb_%7Bn%7D%5D%3D%5Cleft%5C%7Bx%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D%3Aa_%7Bn%7D%5Cleq+x%5Cleq+b_%7Bn%7D%5Cright%5C%7D&bg=ffffff&fg=333333&s=0&c=20201002)
tiene intersección no vacía; es decir, 
Dem. Con el fin de demostrar que 
de extremos izquierdos de los intervalos.
Debido a que los intervalos están anidados, vemos que cada 
Ahora, consideremos un intervalo particular ![I_{n}=[a_{n},b_{n}]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=I_%7Bn%7D%3D%5Ba_%7Bn%7D%2Cb_%7Bn%7D%5D&bg=ffffff&fg=333333&s=0&c=20201002)
En resumen, tenemos entonces 
Este principio se asocia al nombre de un famoso matemático alemán: Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845 – 1918), considerado junto a Dedekind y Frege el creador de la Teoría de Conjuntos.
Georg Cantor
Como veremos más adelante, el Principio de los Intervalos Encajados sirve de soporte para importantes resultados del Análisis Real.
Referencias bibliográficas:
- Abbott, Stephen (2010) Understanding Analysis. Springer.
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