A finales del siglo XIX, la hegemonía de la geometría euclidiana había sido desafiada por la geometría no euclidiana y la geometría proyectiva. El primer intento notable de reorganizar el estudio de la geometría fue hecho por el matemático alemán Felix Klein y publicado en Erlangen en 1872. En su Programa de Erlanger, Klein propuso que la geometría euclidiana y no euclidiana se consideraran casos especiales de la geometría proyectiva. En cada caso, las características comunes que, según Klein, las hacían geometrías eran que había un conjunto de puntos, llamado «espacio», y un conjunto de transformaciones mediante las cuales las figuras podían moverse en el espacio sin alterar su propiedades esenciales. Por ejemplo, en la geometría plana euclidiana el espacio es el plano familiar y las transformaciones son rotaciones, reflexiones, traslaciones y sus composiciones, ninguna de los cuales cambia ni la longitud ni el ángulo, las propiedades básicas de las figuras en la geometría euclidiana. Las diferentes geometrías tendrían diferentes espacios y diferentes grupos, y las figuras tendrían diferentes propiedades básicas.
Klein produjo un relato que unificaba una gran clase de geometrías -en términos generales, todas aquellas que eran homogéneas en el sentido de que cada pieza del espacio se parecía a cualquier otra pieza del espacio. Esto excluía, por ejemplo, a las geometrías sobre superficies de curvatura variable, pero producía un paquete atractivo para el resto y satisfacía la intuición de los que sentían que la geometría proyectiva de alguna manera era básica. Siguió pareciendo el enfoque correcto cuando aparecieron las ideas del matemático noruego Marius Sophus Lie, y parecía haber una buena conexión entre la clasificación de Lie y los tipos de geometría organizados por Klein.
Los matemáticos ahora podían preguntarse por qué habían creído que la geometría euclidiana era la única cuando, de hecho, existían muchas geometrías diferentes. El primero en aceptar esta pregunta con éxito fue el matemático alemán Moritz Pasch, quien argumentó en 1882 que el error había sido confiar demasiado en la intuición física. En su opinión, un argumento en matemática debe depender de su validez no en la interpretación física de los términos involucrados, sino en criterios puramente formales. De hecho, el principio de la dualidad violó el sentido de la geometría como una formalización de lo que se creía acerca de los puntos y líneas (físicos). No se creía que estos términos fueran intercambiables.
Las ideas de Pasch llamaron la atención del matemático alemán David Hilbert, que con el matemático francés Henri Poincaré llegó a dominar la matemática a principios del siglo XX. Al preguntarse por qué la matemática -y en particular la geometría- produce resultados correctos, llegó a sentir cada vez más que no era debido a la lucidez de sus definiciones. Más bien, la matemática funcionaba porque sus términos (elementales) carecían de sentido. Lo que la mantenía en la dirección correcta era sus reglas de inferencia. Las pruebas eran válidas porque se construían mediante la aplicación de reglas de inferencia, según las cuales las nuevas afirmaciones podían ser declaradas verdaderas simplemente porque podían derivarse, por medio de estas reglas, de axiomas o de teoremas previamente probados. Los teoremas y axiomas fueron vistos como declaraciones formales que expresaban las relaciones entre estos términos.
Las reglas que rigen el uso de los términos matemáticos eran arbitrarias, argumentó Hilbert, y cada matemático podía elegirlas a voluntad, siempre que las decisiones tomadas fueran consistentes con sí mismas. Un matemático produjo sistemas abstractos sin restricciones por las necesidades de la ciencia y, si los científicos encontraron un sistema abstracto que encajaba en una de sus preocupaciones, podían aplicar el sistema con seguridad con el conocimiento de que era lógicamente consistente.
Hilbert primero se entusiasmó con este punto de vista (presentado en su Grundlagen der Geometrie [1899, Fundamentos de la geometría]) cuando vio que no sólo conducía a una manera clara de clasificar las geometrías en la jerarquía de Klein según los diferentes sistemas de axiomas, sino que también se cumplía para nuevas geometrías. Por primera vez, había una manera de discutir la geometría que estaba más allá incluso de los términos muy generales propuestos por Riemann. No todas estas geometrías han continuado siendo de interés, pero la moral general que Hilbert primero dibujó para la geometría fue pronto dibujada para el conjunto de la matemática.
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