Todos los debates citados en la entrada anterior se unieron a través del trabajo pionero del matemático alemán Georg Cantor sobre el concepto de conjunto. Cantor había comenzado a trabajar en esta área debido a su interés en la teoría de Riemann de las series trigonométricas, pero el problema de lo que caracterizaba al conjunto de todos los números reales llegó a ocuparlo cada vez más. Comenzó a descubrir propiedades inesperadas de los conjuntos. Por ejemplo, podía mostrar que el conjunto de todos los números algebraicos, y a fortiori el conjunto de todos los números racionales, es numerable en el sentido de que existe una correspondencia uno a uno entre los enteros y los miembros de cada uno de estos conjuntos por medio de la cual cualquier miembro del conjunto de los números algebraicos (o racionales), no importa cuán grande sea, siempre puede ser puesto en correspondencia con un único entero. Pero, más sorprendentemente, también podía mostrar que el conjunto de todos los números reales es no numerable. Así, aunque el conjunto de todos los enteros y el conjunto de todos los números reales son ambos infinitos, el conjunto de todos los números reales es un infinito estrictamente más grande. Esto estaba en completo contraste con la ortodoxia predominante, que proclamaba que el infinito podía significar sólo «más grande que cualquier cantidad finita».
Aquí el concepto de número se estaba extendiendo y socavando al mismo tiempo. El concepto se extendía porque ahora era posible contar y ordenar conjuntos que el conjunto de enteros era demasiado pequeño para medir, y se socavaba porque incluso los números enteros dejaron de ser objetos básicos no definidos. El mismo Cantor había dado una forma de definir los números reales como ciertos conjuntos infinitos de números racionales. Los números racionales eran fáciles de definir en términos de los enteros, pero ahora los números enteros se podían definir por medio de conjuntos. Un camino fue dado por Gottlob Frege en Die Grundlagen der Arithmetik (1884, Los fundamentos de la aritmética). Consideraba dos conjuntos iguales si contenían los mismos elementos. Así, en su opinión sólo había un conjunto vacío (hoy simbolizado por 
Las propuestas de Frege iban en la dirección de una reducción de toda la matemática a la lógica. Esperaba que cada término matemático pudiera definirse con precisión y manipularse de acuerdo con reglas lógicas de inferencia acordadas. Este, el programa «logicista», recibió un golpe inesperado en 1902 de parte del matemático y filósofo inglés Bertrand Russell, quien señaló complicaciones inesperadas con el ingenuo concepto de conjunto. Nada parecía impedir la posibilidad de que algunos conjuntos fueran elementos de sí mismos, mientras que otros no lo fueran, pero Russell preguntó: «¿Qué hay, pues, del conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos?» Si es un elemento de sí mismo, entonces no lo es (un elemento de sí mismo), pero, si no lo es, entonces lo es. Russell había identificado un problema fundamental en la teoría de conjuntos con su paradoja. O bien la idea de conjunto como una colección arbitraria de objetos ya definidos era defectuosa, o bien la idea de que uno podía legítimamente formar el conjunto de todos los conjuntos de un determinado tipo era incorrecta. El programa de Frege nunca se recuperó de este golpe, y el enfoque similar de Russell de definir la matemática en términos de la lógica, que desarrolló junto con Alfred North Whitehead en sus Principia Mathematica (1910-13), nunca encontró un atractivo duradero en los matemáticos.
Mayor interés atrajo las ideas que David Hilbert y su escuela comenzaron a andar. Les parecía que lo que había funcionado una vez para la geometría podría funcionar de nuevo para toda la matemática. En lugar de intentar definir las cosas de modo que no pudieran surgir problemas, sugirieron que era posible prescindir de definiciones y presentar toda la matemática en una estructura axiomática usando las ideas de la teoría de conjuntos. De hecho, la esperanza era que el estudio de la lógica pudiera ser abrazado en este espíritu, haciendo así de la lógica una rama de la matemática, lo opuesto a la intención de Frege. Hubo un progreso considerable en esta dirección y surgió una poderosa escuela de lógicos matemáticos (notablemente en Polonia) y una teoría axiomática de conjuntos que evitó las paradojas de Russell y otras que habían surgido.
En la década de 1920 Hilbert presentó su propuesta de modo más detallada para establecer la validez de la matemática. De acuerdo con su teoría de la demostración, todo debía ser puesto en una forma axiomática, permitiendo que las reglas de inferencia fueran sólo las de la lógica elemental, y sólo aquellas conclusiones que se podían obtener de este conjunto finito de axiomas y reglas de inferencia fuera admitido. Propuso que un sistema satisfactorio sería consistente, completo y decidible. Por «consistente» Hilbert quiso decir que sería imposible derivar tanto una declaración como su negación; por «completo», que toda declaración debidamente escrita debe ser tal que sea ella o su negación derivable de los axiomas; por «decidible», que uno debe tener un algoritmo que determina de cualquier declaración dada si ella o su negación es demostrable. Esos sistemas existían (por ejemplo, el cálculo de predicados de primer orden), pero ninguno había sido capaz de permitir a los matemáticos hacer matemáticas interesantes.
El programa de Hilbert, sin embargo, no duró mucho tiempo. En 1931, el matemático y lógico estadounidense Kurt Gödel demostró que no había ningún sistema del tipo de Hilbert dentro del cual los números enteros pudieran ser definidos y que fuera consistente y completo. Gödel y, de forma independiente, el matemático inglés Alan Turing, demostró más tarde que la decibilidad era también inalcanzable. Quizás paradójicamente, el efecto de este dramático descubrimiento fue alejar a los matemáticos de todo el debate. En su lugar, los matemáticos, que quizá no hayan estado demasiado descontentos con la idea de que no hay manera de decidir la verdad de una proposición automáticamente, aprendieron a vivir con la idea de que ni siquiera la matemática descansa sobre fundamentos rigurosos. El progreso desde entonces ha ido en otras direcciones. Un sistema de axiomas alternativo para la teoría de conjuntos fue presentado más tarde por el matemático norteamericano nacido en Hungría John von Neumann, que esperaba ayudar a resolver problemas contemporáneos en la mecánica cuántica. También hubo una renovación del interés en las declaraciones que son interesantes matemáticamente e independientes del sistema de axiomas en uso. La primera de ellas fue la sorprendente resolución del matemático estadounidense Paul Cohen en 1963 de la hipótesis del continuo, que era la conjetura de Cantor de que el conjunto de todos los subconjuntos de los números racionales era del mismo tamaño que el conjunto de todos los números reales. Esto resulta ser independiente de los axiomas habituales para la teoría de conjuntos, por lo que hay teorías establecidas (y por lo tanto tipos de matemática) en las cuales es verdadera y otras en las que es falsa.
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