Al mismo tiempo que los matemáticos estaban tratando de poner su propia casa en orden, también estaban mirando con renovado interés el trabajo contemporáneo en física. El hombre que hizo más por reavivar su interés fue el matemático francés Henri Poincaré. Él demostró que los sistemas dinámicos descritos por ecuaciones diferenciales muy simples, como el sistema solar, pueden, sin embargo, producir un comportamiento caótico más aleatorio. Continuó explorando maneras en que los matemáticos podían decir cosas acerca de este comportamiento caótico y así fue pionero en la forma en que se pueden encontrar declaraciones probabilísticas sobre sistemas dinámicos para describir lo que de otra manera desafiaría a la inteligencia.
Poincaré más tarde cambió el rumbo hacia los problemas de la electrodinámica. Después de muchos años de trabajo, el físico holandés Hendrik Antoon Lorentz había sido llevado a una aparente dependencia de la longitud y el tiempo en el movimiento, y Poincaré disfrutó al notar que las transformaciones que Lorentz propuso como una forma de convertir los datos de un observador en otro formaba un grupo. Esto apeló a Poincaré y reforzó su creencia de que no había sentido en un concepto de movimiento absoluto; todo movimiento era relativo. Poincaré dio entonces una elegante formulación matemática de las ideas de Lorentz, que las encajaba en una teoría en la que el movimiento del electrón se rige por las ecuaciones de James Clerk Maxwell. Poincaré, sin embargo, se quedó corto de negar la realidad del éter o de proclamar que la velocidad de la luz es la misma para todos los observadores, así que el crédito de la primera teoría verdaderamente relativista del movimiento del electrón descansa en Albert Einstein y su teoría especial de la relatividad (1905).
La teoría especial de Einstein se llama así porque trata solamente el caso especial del movimiento relativo uniforme. El caso mucho más importante del movimiento acelerado y del movimiento en un campo gravitacional llegó una década más tarde y requirió una dosis mucho más sustancial de la matemática. Einstein cambió su estimación del valor de la matemática pura, a la que hasta entonces había despreciado, sólo cuando descubrió que muchas de las preguntas a las que se dirigía ya habían sido formuladas matemáticamente y habían sido resueltas. Le sorprendió más las teorías derivadas del estudio de la geometría en el sentido en que Riemann la había formulado.
En 1915 varios matemáticos estaban interesados en reaplicar sus descubrimientos a la física. La institución principal a este respecto fue la Universidad de Göttingen, donde Hilbert había intentado sin éxito producir una teoría general de la relatividad ante Einstein, y fue allí donde muchos de los líderes de la próxima revolución en mecánica cuántica estudiaron. Allí también muchos de los principales matemáticos de su generación, notablemente John von Neumann y Hermann Weyl, estudiaron con Hilbert. En 1904 Hilbert había recurrido al estudio de las ecuaciones integrales. Estas surgen en muchos problemas donde la incógnita es en sí misma una función de alguna variable, y especialmente en aquellas partes de la física que se expresan en términos de principios extremales (como el principio de la acción mínima). El principio extremal generalmente da información sobre una integral que implica la función buscada, de ahí el nombre de ecuación integral. La contribución de Hilbert fue reunir muchas corrientes diferentes del trabajo contemporáneo y mostrar cómo podían ser dilucidadas si se lanzan en forma de argumentos sobre objetos en ciertos espacios vectoriales infinitamente dimensionales.
La extensión a dimensiones infinitas no fue una tarea trivial, pero trajo consigo la oportunidad de utilizar la intuición geométrica y los conceptos geométricos para analizar problemas sobre ecuaciones integrales. Hilbert dejó a sus estudiantes la tarea de proporcionar el mejor ajuste abstracto para su trabajo, y así nació el concepto de espacio de Hilbert. Aproximadamente, este es un espacio vectorial de dimensión infinita en el que tiene sentido hablar de longitudes de vectores y ángulos entre ellos. Ejemplos útiles incluyen ciertos espacios de sucesiones y ciertos espacios de funciones. Los operadores definidos en estos espacios también son de gran interés; su estudio forma parte del campo del análisis funcional.
Cuando en la década de 1920 los matemáticos y los físicos estaban buscando maneras de formular la nueva mecánica cuántica, von Neumann propuso que el tema se escribiera en el lenguaje del análisis funcional. El mundo cuántico de estados y observables, con sus misteriosos paquetes de ondas que a veces eran como partículas y a veces como ondas dependiendo de cómo se los observaba, encajaba muy bien en la teoría de los espacios de Hilbert. El análisis funcional ha crecido desde entonces con la suerte de la física de partículas.
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